해석학 에서 함수의 극한 (영어 : limit of a function )은 독립 변수 가 일정한 값에 한없이 가까워질 때, 함수의 값이 한없이 가까워지는 값이다. 함수의 극한은 존재할 수도(수렴), 존재하지 않을 수도(발산) 있다. 실수 를 비롯한 거리 공간 의 경우, 함수의 극한 개념은 엡실론-델타 논법 을 사용하여 엄밀히 정의된다. 임의의 위상 공간 에서도 함수의 극한을 정의할 수 있다.
열린구간
I
∋
a
{\displaystyle I\ni a}
실수 함수
f
:
I
∖
{
a
}
→
R
{\displaystyle f\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} }
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
극한 은 다음 조건을 만족시키는 실수
L
∈
R
{\displaystyle L\in \mathbb {R} }
임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
{\displaystyle 0<|x-a|<\delta }
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ϵ
{\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }
또한, 이를 다음과 같이 표기한다.
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}
f
(
x
)
→
L
(
x
→
a
)
{\displaystyle f(x)\to L\quad (x\to a)}
정의에 따라,
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
단측 극한 (單側極限, 영어 : one-sided limit ) 또는 한쪽 극한 은 보다 더 약한 개념의 극한이며, 좌극한 (左極限, 영어 : left-handed limit )과 우극한 (右極限, 영어 : right-handed limit )으로 나뉜다. 이들은 다음과 같이 정의된다. 실수 함수
f
:
(
b
,
a
)
→
R
{\displaystyle f\colon (b,a)\to \mathbb {R} }
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
좌극한 은 다음 조건을 만족시키는 실수
L
∈
R
{\displaystyle L\in \mathbb {R} }
임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
0
<
a
−
x
<
δ
{\displaystyle 0<a-x<\delta }
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ϵ
{\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }
또한, 이를 다음과 같이 표기한다.
lim
x
→
a
−
0
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to a-0}f(x)=L}
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L}
비슷하게, 실수 함수
f
:
(
a
,
b
)
→
R
{\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} }
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
우극한 은 다음 조건을 만족시키는 실수
L
∈
R
{\displaystyle L\in \mathbb {R} }
임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
0
<
x
−
a
<
δ
{\displaystyle 0<x-a<\delta }
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ϵ
{\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }
또한, 이를 다음과 같이 표기한다.
lim
x
→
a
+
0
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to a+0}f(x)=L}
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=L}
정의역의 특정 부분 집합에서 취하는 값들만을 생각하는 극한을 정의할 수 있다. 열린구간
I
{\displaystyle I}
실수 함수
f
:
I
→
R
{\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }
I
{\displaystyle I}
E
⊆
I
{\displaystyle E\subseteq I}
극한점
a
∈
E
′
{\displaystyle a\in E'}
E
{\displaystyle E}
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
극한 은 다음 조건을 만족시키는 실수
L
=
lim
E
∋
x
→
a
f
(
x
)
∈
R
{\displaystyle L=\lim _{E\ni x\to a}f(x)\in \mathbb {R} }
임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
{\displaystyle 0<|x-a|<\delta }
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ϵ
{\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }
좌극한과 우극한은 이런 극한의 특수한 경우이다. 물론 유리수 점에서의 값들만을 생각하는 등 더 다양한 경우가 존재한다. 만약
I
∖
{
a
}
⊆
E
{\displaystyle I\setminus \{a\}\subseteq E}
I
∋
a
{\displaystyle I\ni a}
E
∋
{\displaystyle E\ni }
실수 점 대신 무한대 점에서의 극한을 정의할 수 있다. 즉, 실수 함수
f
:
(
b
,
∞
)
→
R
{\displaystyle f\colon (b,\infty )\to \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
극한 은 다음 조건을 만족시키는 실수
L
=
lim
x
→
∞
f
(
x
)
∈
R
{\displaystyle L=\lim _{x\to \infty }f(x)\in \mathbb {R} }
임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
M
>
0
{\displaystyle M>0}
x
>
M
{\displaystyle x>M}
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ϵ
{\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }
비슷하게, 실수 함수
f
:
(
−
∞
,
b
)
→
R
{\displaystyle f\colon (-\infty ,b)\to \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
극한 은 다음 조건을 만족시키는 실수
L
=
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
∈
R
{\displaystyle L=\lim _{x\to -\infty }f(x)\in \mathbb {R} }
임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
M
>
0
{\displaystyle M>0}
x
<
−
M
{\displaystyle x<-M}
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ϵ
{\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }
실수 극한 대신 무한대 극한을 정의할 수 있다. 다만, 무한대 극한은 더 넓은 의미의 극한이다. 다시 말해, 무한대 극한을 갖는 경우 극한이 존재한다고 보지 않는다. 열린구간
I
∋
a
{\displaystyle I\ni a}
f
:
I
∖
{
a
}
→
R
{\displaystyle f\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} }
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\infty }
임의의
M
>
0
{\displaystyle M>0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
{\displaystyle 0<|x-a|<\delta }
f
(
x
)
>
M
{\displaystyle f(x)>M}
비슷하게,
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=-\infty }
임의의
M
>
0
{\displaystyle M>0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
{\displaystyle 0<|x-a|<\delta }
f
(
x
)
<
−
M
{\displaystyle f(x)<-M}
이와 마찬가지로, 무한대 좌극한 · 무한대 우극한 · 무한대에서의 무한대 극한 등을 정의할 수 있다.
극한의 종류가 많으므로 가장 일반적인 경우만을 생각하자. (좌극한 · 우극한 · 범위 안 극한 · 무한대에서의 극한 · 무한대 극한의 성질도 이와 비슷하다.)
어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 이는 유일하다. 이는 함수의 극한에 표기
lim
{\displaystyle \lim }
열린구간
I
∋
a
{\displaystyle I\ni a}
f
:
I
∖
{
a
}
→
R
{\displaystyle f\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} }
동치 이다.
(극한 존재)
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}
(좌극한과 우극한 존재 및 일치)
lim
x
→
a
+
0
f
(
x
)
=
lim
x
→
a
−
0
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to a+0}f(x)=\lim _{x\to a-0}f(x)=L}
(상극한과 하극한 존재 및 일치)
lim sup
x
→
a
f
(
x
)
=
lim inf
x
→
a
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\liminf _{x\to a}f(x)=L}
('닿지 않는' 수열의 극한 보존) 모든
(
x
n
)
n
∈
N
⊆
I
∖
{
a
}
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq I\setminus \{a\}}
lim
n
→
∞
x
n
=
a
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}
lim
n
→
∞
f
(
x
n
)
=
L
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L}
('닿지 않는' 수열의 극한 보존) 다음 두 조건을 만족시킨다.
모든
(
x
n
)
n
∈
N
⊆
I
∖
{
a
}
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq I\setminus \{a\}}
lim
n
→
∞
x
n
=
a
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}
lim
n
→
∞
f
(
x
n
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})}
어떤
(
x
n
)
n
∈
N
⊆
I
∖
{
a
}
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq I\setminus \{a\}}
lim
n
→
∞
x
n
=
a
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}
lim
n
→
∞
f
(
x
n
)
=
L
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L}
어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 함수는 그 점에서 국소 유계 함수이다. 즉, 열린구간
I
∋
a
{\displaystyle I\ni a}
a
{\displaystyle a}
f
:
I
∖
{
a
}
→
R
{\displaystyle f\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} }
빠진 근방
J
∖
{
a
}
⊆
I
∖
{
a
}
{\displaystyle J\setminus \{a\}\subseteq I\setminus \{a\}}
M
>
0
{\displaystyle M>0}
임의의
x
∈
J
∖
{
a
}
{\displaystyle x\in J\setminus \{a\}}
|
f
(
x
)
|
<
M
{\displaystyle |f(x)|<M}
함수의 극한은 순서를 보존한다. 즉, 열린구간
I
∋
a
{\displaystyle I\ni a}
a
{\displaystyle a}
f
,
g
:
I
∖
{
a
}
→
R
{\displaystyle f,g\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} }
어떤 빠진 근방
J
∖
{
a
}
⊆
I
∖
{
a
}
{\displaystyle J\setminus \{a\}\subseteq I\setminus \{a\}}
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)\leq g(x)}
lim
x
→
a
f
(
x
)
≤
lim
x
→
a
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}g(x)}
lim
x
→
a
f
(
x
)
<
lim
x
→
a
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)<\lim _{x\to a}g(x)}
J
∖
{
a
}
⊆
I
∖
{
a
}
{\displaystyle J\setminus \{a\}\subseteq I\setminus \{a\}}
f
(
x
)
<
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)<g(x)}
함수의 극한은 사칙 연산을 보존한다. 즉, 열린구간
I
∋
a
{\displaystyle I\ni a}
a
{\displaystyle a}
f
,
g
:
I
∖
{
a
}
→
R
{\displaystyle f,g\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} }
lim
x
→
a
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
=
lim
x
→
a
f
(
x
)
+
lim
x
→
a
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to a}f(x)+\lim _{x\to a}g(x)}
lim
x
→
a
(
f
(
x
)
−
g
(
x
)
)
=
lim
x
→
a
f
(
x
)
−
lim
x
→
a
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to a}f(x)-\lim _{x\to a}g(x)}
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
f
(
x
)
lim
x
→
a
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)g(x)=\lim _{x\to a}f(x)\lim _{x\to a}g(x)}
만약 추가로 어떤 빠진 근방
J
∖
{
a
}
⊆
I
∖
{
a
}
{\displaystyle J\setminus \{a\}\subseteq I\setminus \{a\}}
g
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g(x)\neq 0}
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
f
(
x
)
lim
x
→
a
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}{\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)}}}
함수의 극한의 엄밀한 정의인 엡실론-델타 논법 을 이용하면 쉽게 보일 수 있다.
lim
x
→
a
{
f
(
x
)
+
g
(
x
)
}
=
α
+
β
{\displaystyle \lim _{x\to a}\left\{f(x)+g(x)\right\}=\alpha +\beta }
삼각 부등식 에 의하여
|
f
(
x
)
+
g
(
x
)
−
(
α
+
β
)
|
=
|
(
f
(
x
)
−
α
)
+
(
g
(
x
)
−
β
)
|
≤
|
f
(
x
)
−
α
|
+
|
g
(
x
)
−
β
|
{\displaystyle |f(x)+g(x)-(\alpha +\beta )|=|(f(x)-\alpha )+(g(x)-\beta )|\leq |f(x)-\alpha |+|g(x)-\beta |}
가 성립한다.
모든 양의 실수
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
ϵ
2
>
0
{\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}>0}
|
x
−
a
|
<
δ
1
⇒
|
f
(
x
)
−
α
|
<
ϵ
2
{\displaystyle |x-a|<\delta _{1}\Rightarrow |f(x)-\alpha |<{\frac {\epsilon }{2}}}
|
x
−
a
|
<
δ
2
⇒
|
g
(
x
)
−
β
|
<
ϵ
2
{\displaystyle |x-a|<\delta _{2}\Rightarrow |g(x)-\beta |<{\frac {\epsilon }{2}}}
δ
1
{\displaystyle \delta _{1}}
δ
2
{\displaystyle \delta _{2}}
δ
{\displaystyle \delta }
min
(
δ
1
,
δ
2
)
{\displaystyle \min(\delta _{1},\delta _{2})}
0
<
δ
≤
δ
1
{\displaystyle 0<\delta \leq \delta _{1}}
0
<
δ
≤
δ
2
{\displaystyle 0<\delta \leq \delta _{2}}
|
{
f
(
x
)
+
g
(
x
)
}
−
(
α
+
β
)
|
≤
|
f
(
x
)
−
α
|
+
|
g
(
x
)
−
β
|
<
ϵ
2
+
ϵ
2
=
ϵ
{\displaystyle |\left\{f(x)+g(x)\right\}-(\alpha +\beta )|\leq |f(x)-\alpha |+|g(x)-\beta |<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon }
다시 말해 모든 양의 실수
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
⇒
|
f
(
x
)
+
g
(
x
)
−
(
α
+
β
)
|
<
ϵ
{\displaystyle 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |{f(x)+g(x)}-(\alpha +\beta )|<\epsilon }
그러므로 극한에 정의에 의하여
lim
x
→
a
{
f
(
x
)
+
g
(
x
)
}
=
α
+
β
{\displaystyle \lim _{x\to a}\left\{f(x)+g(x)\right\}=\alpha +\beta }
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
α
β
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)g(x)=\alpha \beta }
증명하고자 하는 명제의 결론은 다음과 같다. 모든 양의 실수
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
⇒
|
f
(
x
)
g
(
x
)
−
α
β
|
<
ϵ
{\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|<\epsilon }
여기서
α
g
(
x
)
{\displaystyle \alpha g(x)}
|
f
(
x
)
g
(
x
)
−
α
β
|
=
|
f
(
x
)
g
(
x
)
−
α
g
(
x
)
+
α
g
(
x
)
−
α
β
|
=
|
{
f
(
x
)
−
α
}
g
(
x
)
+
α
{
g
(
x
)
−
β
}
|
{\displaystyle \left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|=\left|f(x)g(x)-\alpha g(x)+\alpha g(x)-\alpha \beta \right|=\left|\left\{f(x)-\alpha \right\}g(x)+\alpha \left\{g(x)-\beta \right\}\right|}
삼각 부등식 을 사용한다면
|
f
(
x
)
g
(
x
)
−
α
β
|
≤
|
{
f
(
x
)
−
α
}
g
(
x
)
|
+
|
α
{
g
(
x
)
−
β
}
|
=
|
f
(
x
)
−
α
|
|
g
(
x
)
|
+
|
α
|
|
g
(
x
)
−
β
|
{\displaystyle \left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|\leq \left|\left\{f(x)-\alpha \right\}g(x)\right|+\left|\alpha \left\{g(x)-\beta \right\}\right|=\left|f(x)-\alpha \right|\left|g(x)\right|+\left|\alpha \right|\left|g(x)-\beta \right|}
모든 양의 실수
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
ϵ
2
(
1
+
|
α
|
)
>
0
,
1
>
0
,
ϵ
2
(
1
+
|
β
|
)
>
0
{\displaystyle {\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\alpha \right|\right)}}>0,~1>0,~{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\beta \right|\right)}}>0}
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
1
⇒
|
g
(
x
)
−
β
|
<
ϵ
2
(
1
+
|
α
|
)
,
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
2
⇒
|
g
(
x
)
−
β
|
<
1
,
{\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta _{1}\Rightarrow \left|g(x)-\beta \right|<{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\alpha \right|\right)}},~0<\left|x-a\right|<\delta _{2}\Rightarrow \left|g(x)-\beta \right|<1,}
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
3
⇒
|
f
(
x
)
−
α
|
<
ϵ
2
(
1
+
|
β
|
)
{\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta _{3}\Rightarrow \left|f(x)-\alpha \right|<{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\beta \right|\right)}}}
δ
1
,
δ
2
,
δ
3
{\displaystyle \delta _{1},~\delta _{2},~\delta _{3}}
삼각 부등식 에 의해
|
g
(
x
)
|
=
|
g
(
x
)
−
β
+
β
|
≤
|
g
(
x
)
−
β
|
+
|
β
|
<
1
+
|
β
|
{\displaystyle \left|g(x)\right|=\left|g(x)-\beta +\beta \right|\leq \left|g(x)-\beta \right|+\left|\beta \right|<1+\left|\beta \right|}
δ
{\displaystyle \delta }
min
(
δ
1
,
δ
2
,
δ
3
)
{\displaystyle \min(\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3})}
0
<
δ
≤
δ
1
,
0
<
δ
≤
δ
2
,
0
<
δ
≤
δ
3
{\displaystyle 0<\delta \leq \delta _{1},~0<\delta \leq \delta _{2},~0<\delta \leq \delta _{3}}
|
f
(
x
)
g
(
x
)
−
α
β
|
≤
|
f
(
x
)
−
α
|
|
g
(
x
)
|
+
|
α
|
|
g
(
x
)
−
β
|
<
ϵ
2
(
1
+
|
β
|
)
(
1
+
|
β
|
)
+
|
α
|
ϵ
2
(
1
+
|
α
|
)
<
ϵ
2
+
ϵ
2
=
ϵ
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|&\leq &\left|f(x)-\alpha \right|\left|g(x)\right|+\left|\alpha \right|\left|g(x)-\beta \right|\\&<&{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\beta \right|\right)}}\left(1+\left|\beta \right|\right)+\left|\alpha \right|{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\alpha \right|\right)}}\\&<&{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=&\epsilon \end{array}}}
다시 말해 모든 양의 실수
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
⇒
|
f
(
x
)
g
(
x
)
−
α
β
|
<
ϵ
{\displaystyle 0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|<\epsilon }
그러므로 극한에 정의에 의하여
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
α
β
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)g(x)=\alpha \beta }
lim
x
→
a
k
=
k
{\displaystyle \lim _{x\to a}k=k}
k
{\displaystyle k}
모든 양의 실수
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
|
x
−
a
|
<
1
⇒
|
k
−
k
|
=
0
<
ϵ
{\displaystyle \left|x-a\right|<1\Rightarrow \left|k-k\right|=0<\epsilon }
그러므로 극한에 정의에 의하여
lim
x
→
a
k
=
k
{\displaystyle \lim _{x\to a}k=k}
lim
x
→
a
k
f
(
x
)
=
k
α
{\displaystyle \lim _{x\to a}kf(x)=k\alpha }
k
{\displaystyle k}
상수 )
g
(
x
)
=
k
{\displaystyle g(x)=k}
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
k
=
k
{\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}k=k}
lim
x
→
a
k
f
(
x
)
=
lim
x
→
a
g
(
x
)
f
(
x
)
=
k
α
{\displaystyle \lim _{x\to a}kf(x)=\lim _{x\to a}g(x)f(x)=k\alpha }
이다.
lim
x
→
a
{
f
(
x
)
−
g
(
x
)
}
=
α
−
β
{\displaystyle \lim _{x\to a}\left\{f(x)-g(x)\right\}=\alpha -\beta }
c
=
−
1
{\displaystyle c=-1}
lim
x
→
a
(
−
1
)
g
(
x
)
=
(
−
1
)
⋅
β
=
−
β
{\displaystyle \lim _{x\to a}(-1)g(x)=(-1)\cdot \beta =-\beta }
lim
x
→
a
{
f
(
x
)
−
g
(
x
)
}
=
lim
x
→
a
{
f
(
x
)
+
(
−
1
)
g
(
x
)
}
=
α
+
(
−
β
)
=
α
−
β
{\displaystyle \lim _{x\to a}\left\{f(x)-g(x)\right\}=\lim _{x\to a}\left\{f(x)+(-1)g(x)\right\}=\alpha +(-\beta )=\alpha -\beta }
그러므로
lim
x
→
a
{
f
(
x
)
−
g
(
x
)
}
=
α
−
β
{\displaystyle \lim _{x\to a}\left\{f(x)-g(x)\right\}=\alpha -\beta }
lim
x
→
a
g
(
x
)
f
(
x
)
=
β
α
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {g(x)}{f(x)}}={\frac {\beta }{\alpha }}}
f
(
x
)
≠
0
,
α
≠
0
{\displaystyle f(x)\neq 0,\alpha \neq 0}
증명하기에 앞서 다음과 같은 보조정리를 증명하자.
lim
x
→
a
1
f
(
x
)
=
1
α
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{\alpha }}}
모든 양의 실수
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
|
α
|
2
>
0
,
α
2
2
ϵ
>
0
{\displaystyle {\frac {\left|\alpha \right|}{2}}>0,~{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\epsilon >0}
|
x
−
a
|
<
δ
1
⇒
|
f
(
x
)
−
α
|
<
|
α
|
2
,
|
x
−
a
|
<
δ
2
⇒
|
f
(
x
)
−
α
|
<
α
2
2
ϵ
{\displaystyle \left|x-a\right|<\delta _{1}\Rightarrow \left|f(x)-\alpha \right|<{\frac {\left|\alpha \right|}{2}},~\left|x-a\right|<\delta _{2}\Rightarrow \left|f(x)-\alpha \right|<{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\epsilon }
δ
1
,
δ
2
{\displaystyle \delta _{1},\delta _{2}}
|
f
(
x
)
−
α
|
<
|
α
|
2
{\displaystyle \left|f(x)-\alpha \right|<{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}}
삼각 부등식 에 의하여
|
α
|
=
|
α
−
f
(
x
)
+
f
(
x
)
|
≤
|
α
−
f
(
x
)
|
+
|
f
(
x
)
|
=
|
f
(
x
)
−
α
|
+
|
f
(
x
)
|
<
|
α
|
2
+
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle \left|\alpha \right|=\left|\alpha -f(x)+f(x)\right|\leq \left|\alpha -f(x)\right|+\left|f(x)\right|=\left|f(x)-\alpha \right|+\left|f(x)\right|<{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}+\left|f(x)\right|}
|
f
(
x
)
|
>
|
α
|
2
{\displaystyle \left|f(x)\right|>{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}}
따라서
1
|
α
f
(
x
)
|
=
1
|
α
|
|
f
(
x
)
|
<
1
|
α
|
⋅
2
|
α
|
=
2
α
2
{\displaystyle {\frac {1}{\left|\alpha f(x)\right|}}={\frac {1}{\left|\alpha \right|\left|f(x)\right|}}<{\frac {1}{\left|\alpha \right|}}\cdot {\frac {2}{\left|\alpha \right|}}={\frac {2}{\alpha ^{2}}}}
δ
{\displaystyle \delta }
min
(
δ
1
,
δ
2
)
{\displaystyle \min(\delta _{1},\delta _{2})}
0
<
δ
≤
δ
1
,
0
<
δ
≤
δ
2
{\displaystyle 0<\delta \leq \delta _{1},~0<\delta \leq \delta _{2}}
|
1
f
(
x
)
−
1
α
|
=
|
α
−
f
(
x
)
|
|
α
f
(
x
)
|
<
2
α
2
⋅
α
2
2
ϵ
=
ϵ
{\displaystyle \left|{\frac {1}{f(x)}}-{\frac {1}{\alpha }}\right|={\frac {\left|\alpha -f(x)\right|}{\left|\alpha f(x)\right|}}<{\frac {2}{\alpha ^{2}}}\cdot {\frac {\alpha ^{2}}{2}}\epsilon =\epsilon }
다시 말해 모든 양의 실수
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
⇒
|
1
f
(
x
)
−
1
α
|
<
ϵ
{\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|{\frac {1}{f(x)}}-{\frac {1}{\alpha }}\right|<\epsilon }
그러므로 극한의 정의에 의하여
lim
x
→
a
1
f
(
x
)
=
1
α
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{\alpha }}}
위에서 증명한 보조정리와 4번 성질을 적용시키자.
lim
x
→
a
g
(
x
)
f
(
x
)
=
lim
x
→
a
g
(
x
)
(
1
f
(
x
)
)
=
β
⋅
1
α
=
β
α
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {g(x)}{f(x)}}=\lim _{x\to a}g(x)\left({\frac {1}{f(x)}}\right)=\beta \cdot {\frac {1}{\alpha }}={\frac {\beta }{\alpha }}}
그러므로
lim
x
→
a
g
(
x
)
f
(
x
)
=
β
α
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {g(x)}{f(x)}}={\frac {\beta }{\alpha }}}
그 밖에, 함수의 극한에 대하여 로피탈의 정리 가 성립한다.
함수의 극한의 예는 다음과 같다.
(상수 함수 의 극한)
lim
x
→
a
c
=
c
{\displaystyle \lim _{x\to a}c=c}
(유리 함수 의 극한)
lim
x
→
∞
a
n
x
n
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
b
m
x
m
+
⋯
+
b
1
x
+
b
0
=
{
∞
n
>
m
a
n
b
m
n
=
m
0
n
<
m
(
n
,
m
∈
N
;
a
n
,
b
m
>
0
)
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}={\begin{cases}\infty &n>m\\{\frac {a_{n}}{b_{m}}}&n=m\\0&n<m\end{cases}}\qquad (n,m\in \mathbb {N} ;\;a_{n},b_{m}>0)}
(자연로그의 밑 )
lim
x
→
∞
(
1
+
1
x
)
x
=
lim
x
→
0
(
1
+
x
)
1
x
=
e
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e}
(동위 무한소)
lim
x
→
0
sin
x
x
=
lim
x
→
0
e
x
−
1
x
=
lim
x
→
0
ln
(
1
+
x
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}
(고위 무한소)
lim
x
→
∞
log
a
x
x
p
=
lim
x
→
∞
x
p
b
x
=
0
(
a
,
b
>
1
;
p
>
0
)
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}x}{x^{p}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{p}}{b^{x}}}=0\qquad (a,b>1;\;p>0)}
다음과 같은 등위 무한소 기호를 도입하자.
f
∼
g
(
x
→
0
)
⟺
lim
x
→
0
f
(
x
)
=
lim
x
→
0
g
(
x
)
=
0
;
lim
x
→
0
f
(
x
)
g
(
x
)
=
1
{\displaystyle f\sim g\quad (x\to 0)\iff \lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}g(x)=0;\;\lim _{x\to 0}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}
그렇다면, 다음과 같은 관계들이 성립한다.
x
∼
sin
x
∼
tan
x
∼
arcsin
x
∼
arctan
x
∼
e
x
−
1
∼
ln
(
1
+
x
)
(
x
→
0
)
{\displaystyle x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x\sim e^{x}-1\sim \ln(1+x)\quad (x\to 0)}
a
x
−
1
∼
x
ln
a
(
x
→
0
)
(
a
>
0
)
{\displaystyle a^{x}-1\sim x\ln a\quad (x\to 0)\qquad (a>0)}
(
1
+
x
)
a
−
1
∼
a
x
(
x
→
0
)
(
a
>
0
)
{\displaystyle (1+x)^{a}-1\sim ax\quad (x\to 0)\qquad (a>0)}
1
−
cos
x
∼
1
2
x
2
(
x
→
0
)
{\displaystyle 1-\cos x\sim {\frac {1}{2}}x^{2}\quad (x\to 0)}
tan
x
−
sin
x
∼
1
2
x
3
(
x
→
0
)
{\displaystyle \tan x-\sin x\sim {\frac {1}{2}}x^{3}\quad (x\to 0)}
유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
연결 열린집합
a
∈
D
⊆
R
n
{\displaystyle \mathbf {a} \in D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
f
:
D
∖
{
a
}
→
R
m
{\displaystyle \mathbf {f} \colon D\setminus \{\mathbf {a} \}\to \mathbb {R} ^{m}}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
극한 은 다음 조건을 만족시키는 점
L
=
lim
x
→
a
f
(
x
)
∈
R
m
{\displaystyle \mathbf {L} =\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )\in \mathbb {R} ^{m}}
임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
0
<
‖
x
−
a
‖
R
n
<
δ
{\displaystyle 0<\Vert \mathbf {x} -\mathbf {a} \Vert _{\mathbb {R} ^{n}}<\delta }
‖
f
(
x
)
−
L
‖
R
m
<
ϵ
{\displaystyle \Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {L} \Vert _{\mathbb {R} ^{m}}<\epsilon }
또한, 점
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
다중 극한 은 반복적으로 각각의 변수에 대하여 극한을 취한 것이다. 즉, 다음과 같다. (다중 극한과 극한은 서로 필요 조건도 아니고 충분 조건도 아니다.)
lim
x
1
→
a
1
lim
x
2
→
a
2
⋯
lim
x
n
→
a
n
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}\lim _{x_{2}\to a_{2}}\cdots \lim _{x_{n}\to a_{n}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )}
비슷하게 다른 종류의 극한을 정의할 수 있다. 즉, 유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
연결 열린집합
D
⊆
R
n
{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
f
:
D
→
R
m
{\displaystyle \mathbf {f} \colon D\to \mathbb {R} ^{m}}
D
{\displaystyle D}
E
⊆
D
{\displaystyle E\subseteq D}
극한점
a
∈
E
′
{\displaystyle \mathbf {a} \in E'}
E
{\displaystyle E}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
극한 은 다음 조건을 만족시키는 점
L
=
lim
E
∋
x
→
a
f
(
x
)
∈
R
m
{\displaystyle L=\lim _{E\ni \mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )\in \mathbb {R} ^{m}}
임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
x
∈
E
{\displaystyle \mathbf {x} \in E}
0
<
‖
x
−
a
‖
R
n
<
δ
{\displaystyle 0<\Vert \mathbf {x} -\mathbf {a} \Vert _{\mathbb {R} ^{n}}<\delta }
‖
f
(
x
)
−
L
‖
R
m
<
ϵ
{\displaystyle \Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {L} \Vert _{\mathbb {R} ^{m}}<\epsilon }
두 유클리드 공간 사이의 함수의 극한에 대하여, 실수와 비슷한 성질들이 성립한다. 즉, 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 이는 유일하며, 그 점을 포함하는 어떤 열린 공 에서 유계 함수 이다. 어떤 점에서 두 함수의 극한이 존재한다면, 그 함수의 선형 결합 의 극한은 함수의 극한의 선형 결합과 같다. 또한, 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다는 것은 극한과 닿지 않는 모든 수열의 극한을 보존한다는 것이다. 공역 이 1차원 유클리드 공간(즉 실수 공간)인 경우, 극한은 순서를 보존하며, 샌드위치 정리 가 성립한다.
연결 열린집합
a
∈
D
⊆
R
n
{\displaystyle \mathbf {a} \in D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
f
:
D
∖
{
a
}
→
R
m
{\displaystyle \mathbf {f} \colon D\setminus \{\mathbf {a} \}\to \mathbb {R} ^{m}}
L
∈
R
m
{\displaystyle \mathbf {L} \in \mathbb {R} ^{m}}
동치 이다.
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {L} }
lim
x
→
a
‖
f
(
x
)
−
L
‖
R
m
=
0
{\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {L} \Vert _{\mathbb {R} ^{m}}=0}
lim
x
→
a
f
j
(
x
)
=
L
j
j
=
1
,
2
,
…
,
m
{\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{j}(\mathbf {x} )=L_{j}\qquad j=1,2,\ldots ,m}
이에 따라, 다변수 함수의 극한의 개념은 공역이 실수 공간인 경우로 귀결된다.
함수가 극한을 갖는 점에서 다중 극한을 가질 필요는 없으며, 반대로 다중 극한을 가지는 점에서 극한을 가질 필요는 없다. 예를 들어, 함수
f
(
x
,
y
)
=
{
0
x
y
=
0
1
x
y
≠
0
(
x
,
y
)
∈
R
2
{\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}0&xy=0\\1&xy\neq 0\end{cases}}\qquad (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}
는 검증
lim
k
→
∞
f
(
0
,
1
k
)
=
0
≠
1
=
lim
k
→
∞
f
(
1
k
,
1
k
)
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }f\left(0,{\frac {1}{k}}\right)=0\neq 1=\lim _{k\to \infty }f\left({\frac {1}{k}},{\frac {1}{k}}\right)}
에 따라,
(
0
,
0
)
∈
R
2
{\displaystyle (0,0)\in \mathbb {R} ^{2}}
lim
x
→
0
lim
y
→
0
f
(
x
,
y
)
=
lim
y
→
0
lim
x
→
0
f
(
x
,
y
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=1}
또한, 함수
g
(
x
,
y
)
=
{
(
x
+
y
)
sin
1
x
sin
1
y
x
y
≠
0
0
x
y
=
0
(
x
,
y
)
∈
R
2
{\displaystyle g(x,y)={\begin{cases}(x+y)\sin {\frac {1}{x}}\sin {\frac {1}{y}}&xy\neq 0\\0&xy=0\end{cases}}\qquad (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}
는 검증
0
≤
g
(
x
,
y
)
≤
|
x
|
+
|
y
|
∀
(
x
,
y
)
∈
R
2
{\displaystyle 0\leq g(x,y)\leq |x|+|y|\qquad \forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}
에 따라,
(
0
,
0
)
∈
R
2
{\displaystyle (0,0)\in \mathbb {R} ^{2}}
lim
(
x
,
y
)
→
(
0
,
0
)
g
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}g(x,y)=0}
그러나, 만약 일반 극한과 다중 극한이 모두 존재한다면, 둘은 서로 같다.
두 거리 공간
(
M
,
d
M
)
{\displaystyle (M,d_{M})}
(
N
,
d
N
)
{\displaystyle (N,d_{N})}
f
:
M
→
N
{\displaystyle f\colon M\to N}
a
∈
M
{\displaystyle a\in M}
f
{\displaystyle f}
극한 은 다음 조건을 만족시키는 점
L
=
lim
x
→
a
f
(
x
)
∈
N
{\displaystyle L=\lim _{x\to a}f(x)\in N}
임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
0
<
d
M
(
x
,
a
)
<
δ
{\displaystyle 0<d_{M}(x,a)<\delta }
d
N
(
f
(
x
)
,
L
)
<
ϵ
{\displaystyle d_{N}(f(x),L)<\epsilon }
같은 집합 위의 서로 다른 거리 함수에 대하여 서로 다른 함수의 극한을 정의 내릴 수 있다. 구분이 필요한 경우, 거리 함수
d
M
,
d
N
{\displaystyle d_{M},d_{N}}
(
d
M
,
d
N
)
¯
lim
x
→
a
f
(
x
)
{\displaystyle (d_{M},d_{N}){\bar {}}\lim _{x\to a}f(x)}
노름
‖
⋅
‖
V
,
‖
⋅
‖
W
{\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{V},\Vert \cdot \Vert _{W}}
(
‖
⋅
‖
V
,
‖
⋅
‖
W
)
¯
lim
x
→
a
f
(
x
)
{\displaystyle (\Vert \cdot \Vert _{V},\Vert \cdot \Vert _{W}){\bar {}}\lim _{x\to a}f(x)}
두 거리 공간
(
M
,
d
M
)
{\displaystyle (M,d_{M})}
(
N
,
d
N
)
{\displaystyle (N,d_{N})}
f
:
M
→
N
{\displaystyle f\colon M\to N}
L
∈
N
{\displaystyle L\in N}
동치 이다.
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}
lim
x
−
a
d
(
f
(
x
)
,
L
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x-a}d(f(x),L)=0}
이에 따라, 거리 공간 위의 함수의 극한은 공역이 (표준적인 거리 함수를 갖춘) 실수 공간인 경우로 귀결된다.
연결 열린집합
a
∈
D
⊆
R
n
{\displaystyle \mathbf {a} \in D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
f
:
D
∖
{
a
}
→
R
m
{\displaystyle \mathbf {f} \colon D\setminus \{\mathbf {a} \}\to \mathbb {R} ^{m}}
L
∈
R
m
{\displaystyle \mathbf {L} \in \mathbb {R} ^{m}}
동치 이다.
어떤
1
≤
p
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
(
‖
⋅
‖
p
,
R
n
,
‖
⋅
‖
p
,
R
m
)
¯
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle (\Vert \cdot \Vert _{p,\mathbb {R} ^{n}},\Vert \cdot \Vert _{p,\mathbb {R} ^{m}}){\bar {}}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {L} }
모든
1
≤
p
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
(
‖
⋅
‖
p
,
R
n
,
‖
⋅
‖
p
,
R
m
)
¯
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle (\Vert \cdot \Vert _{p,\mathbb {R} ^{n}},\Vert \cdot \Vert _{p,\mathbb {R} ^{m}}){\bar {}}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {L} }
즉, 유클리드 공간 위의 Lp 노름 (
1
≤
p
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
라이프니츠 는 곡선 위에 있는 한 점 의 기울기 를 나타내기 위해 함수의 극한을 도입하였다.[ 1]
