엡실론-델타 논법

해석학에서 엡실론-델타 논법(έψιλον-δέλτα論法, 영어: epsilon-delta argument)은 함수의 극한을 수학적으로 명확하게 정의하는 방법이다.

개요

직관적인 방식으로 정의한 극한의 한계

$x$ 가 $c$ 로 갈 때 함수 $f(x)$ 의 극한이 $L$ 임을 아래처럼 표현한다.

\lim _{x\to c}f(x)=L

이는 직관적으로 말하면, $x$ 가 $c$ 에 한없이 가까워질 때 $f(x)$ 도 $L$ 에 한없이 가까워진다는 의미이다. 그런데 '한없이 가까워진다'라는 서술은 수학적으로 엄밀한 서술이 아니다.

그림 1. 앞의 서술처럼 극한을 정의하게 되면 위와 같은 그래프는 0으로 갈 때 극한의 정의가 불분명해진다.

예를 들어 구간 $[-1,1]$ 위에서 $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\notin \mathbb {Q} \end{cases}}$ 로 정의된 디리클레 함수는 그림 1의 그래프와 같은 모양을 가진다. 그런데 극한을 $x$ 가 0으로 갈 때의 극한을 " $x$ 가 0에 한없이 가까워질 때의 함숫값"으로 정의한다면 그래프에서 볼 수 있듯이 함숫값 $f(x)$ 는 $x$ 가 0에 가까워짐에 따라 0과 1을 동시에 끊임없이 반복해서 가지므로, 극한이 존재한다고 봐야할지, 아니면 0과 1 모두 극한값이라고 봐야할지, 아니면 극한이 존재하지 않는다고 봐야할지 불분명해진다. 따라서 극한을 서술하기 위해서는 다른 엄밀한 방법으로 정의해야 하는데, 이때 사용되는 것이 바로 엡실론-델타 논법이다.

엡실론 델타 논법의 아이디어

엡실론-델타 논법을 설명하기 위해 다음의 예시를 보자.

그림 2의 그래프처럼 정의된 함수 $f$ 에 대해 $\lim _{x\to a}f(x)$ 를 생각해 보자. 직관적으로 보면, $x$ 가 $a$ 로 갈 때 함숫값 $f(x)$ 는 $b$ 에 가까워지므로 극한값은 $b$ 라고 할 수 있을 것이다. 이 말인즉슨 $x$ 가 $a$ 에 충분히 가까워질수록 함숫값 $f(x)$ 도 $b$ 에 원하는 만큼 가까워질 수 있다는 의미이다. 반대로 말하면, 함숫값 $f(x)$ 가 $b$ 에 원하는 만큼 가까워지게 하려면 $x$ 가 $a$ 에 충분히 가까운 거리 안에 있도록 해주면 된다. 즉, 임의의 작은 양의 실수 $ε$ 이 주어져서 $f(x)$ 가 $b$ 와 $ε$ 보다는 가깝게 하고 싶다면, $x$ 가 $a$ 와 어떤 충분히 작은 양의 실수 $δ$ 만큼의 거리 내에 있도록 해주면 된다. 이는 임의의 $ε$ 에 대해 $|f(x)-b|<ε$ 가 되도록 하려면, 충분히 작은 실수 $δ$ 를 잡아서 $x$ 가 $0<|x-a|<δ$ 를 만족하게 하면 된다는 뜻이다.

위의 서술은 $x$ 가 $a$ 로 갈 때 함수 $f(x)$ 의 극한이 $b$ 라는 것을 엄밀한 서술 없이 직관적인 방식으로 이해했을 때 자연스럽게 유도되는 성질이었다. 반대로 함수의 극한을 위의 성질을 만족하도록 하는 방식으로 엄밀하게 정의할 수 있다. 즉 아래처럼 정의할 수 있다.

• $x$ 가 $a$ 로 갈 때 함수 $f(x)$ 의 극한값이 $b$ 라는 것은, 임의의 양의 실수 $ε$ 이 주어졌을 때 조건을 만족하는 어떤 양의 실수 $δ$ 를 항상 찾을 수 있다는 것이다. 이때의 조건이란 $0<|x-a|<δ$ 인 모든 $x$ 가 $|f(x)-b|<ε$ 를 만족하는 것이다.

이러한 방식으로 극한을 정의하는 것을 엡실론-델타 논법이라고 한다.

참고로 $x$ 가 $a$ 에 가까워지는 상황을 고려하고 있으므로 극한값은 $f(x)$ 가 $x = a$ 에서 어떤 값을 가지는지와는 무관하다. 이 사실은 $|x-a|<δ$ 인 모든 $x$ 에 대해서가 아니라 $0<|x-a|<δ$ 인 모든 $x$ 에 대해서만 조건을 만족하면 된다는 앞의 서술에 잘 나타난다.(즉, $x = a$ 일 때는 어떤 조건을 만족할 필요가 없다.) 앞의 엡실론-델타 논법에서 조건을 $|x-a|<δ$ 인 모든 $x$ 에 대해서 만족하는 것으로 바꾸면, 이는 연속 실함수에 대한 엡실론-델타 논법을 이용한 정의가 된다.

정의

실함수의 경우

실수의 부분 집합 $E\subseteq \mathbb {R}$ 에 정의된 실함수 $f:E\to \mathbb {R}$ 가 $E$ 의 극한점 $a\in E'$ 에서 가지는 극한

\lim _{E\ni x\to a}f(x)=L

을 엡실론-델타 논법을 통해 다음과 같이 정의를 할 수 있다.

임의의 $\epsilon >0$ 에 대하여, 어떤 $\delta >0$ 가 존재하여, 임의의 $x\in E$ 에 대하여, $0<|x-a|<\delta$ 는 $|f(x)-L|<\epsilon$ 을 함의한다.

이를 기호로 표기하면 다음과 같다.

$\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in E\colon \;0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon$

즉, 임의의 오차 범위를 시험하였을 때, 독립 변수가 일정 값과 어떤 작은 거리 이내인 값에 대한 함숫값과 극한값이 그 오차 범위 이내인 것을 보장한다는 뜻이다.

거리 공간의 경우

거리 공간 $(X,d_{X})$ 에서 거리 공간 $(Y,d_{Y})$ 로 가는 함수 $f\colon X\to Y$ 가 $X$ 의 극한점 $a\in X'$ 에서 가지는 극한

\lim _{x\to a}f(x)=L

의 엡실론-델타 논법을 통한 정의는 다음과 같다.

임의의 $\epsilon >0$ 에 대하여, 어떤 $\delta >0$ 가 존재하여, 임의의 $x\in X$ 에 대하여, $d_{X}(x,a)<\delta$ 는 $d_{Y}(f(x),L)<\epsilon$ 을 함의한다.

이를 기호로 표기하면 다음과 같다.

• $\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in E\colon \;0<d_{X}(x,a)<\delta \implies d_{Y}(f(x),L)<\epsilon$

예

엡실론-뎉타 논법을 이용해 다음을 증명해보자.

\lim _{x\to 2}(4x+1)=9

임의의 $\epsilon >0$ 에 대해, $\delta =\epsilon /4$ 를 고려하자. 그러면 $0<|x-2|<\delta$ 이면 $|4x-8|<\epsilon$ 을 만족한다. 따라서 $|(4x+1)-9|<\epsilon$ 이 성립하므로 함수의 극한값은 9이다.

한편 개요 문단에서 소개한 디리클레 함수 $f(x)=\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)$ 는 모든 점에서 극한이 존재하지 않음을 엡실론-델타 논법으로 증명해보자. 귀류법으로 보이기 위해 어떤 점 $a\in \mathbb {R}$ 에서 극한값이 $L$ 라 하자. 이때 $\epsilon ={\frac {1}{3}}$ 을 고려하자. 그런데 어떤 $\delta >0$ 값을 잡든지간에 상관없이 $0<|x-a|<\delta$ 을 만족하는 유리수 또는 무리수 $x$ 가 항상 존재한다. 즉 $f(x)$ 가 0 또는 1인 $x$ 가 범위 안에 항상 존재하므로 $|f(x)-L|<2\epsilon <1$ 을 만족할 수 없다. 모든 $L$ 에 대해 이를 만족하지 않으므로 $a$ 에서 극한은 존재하지 않는다.

응용

함수의 극한 외의 여러 해석학적 개념을 엡실론-델타 논법을 통해 정의할 수 있다. 특히, 실수 함수에 대해서는 다음과 같다.

개념	엡실론-델타 정의
점에서 연속	$\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in E\colon \;\|x-a\|<\delta \implies \|f(x)-f(a)\|<\epsilon$
연속 함수	$\forall a\in E'\;\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in E\colon \;\|x-a\|<\delta \implies \|f(x)-f(a)\|<\epsilon$
균등 연속 함수	$\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x,y\in E\colon \|x-y\|<\delta \implies \|f(x)-f(y)\|<\epsilon$

거리 공간의 경우

두 거리 공간 사이의 함수에 대한 여러 가지 개념의 엡실론-델타 정의는 다음과 같다.

개념	엡실론-델타 정의
점에서 연속	$\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in X\colon \;d_{X}(x,a)<\delta \implies d_{Y}(f(x),f(a))<\epsilon$
연속 함수	$\forall a\in E'\;\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in X\colon \;d_{X}(x,a)<\delta \implies d_{Y}(f(x),f(a))<\epsilon$
균등 연속 함수	$\forall \epsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x,y\in X\colon d_{X}(x,y)<\delta \implies d_{Y}(f(x),f(y))<\epsilon$

역사

1817년 베른하르트 볼차노가 기본적인 개념을 세웠고, 19세기 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 최초 (ε, δ) 표기를 사용해 좀 더 엄밀하게 정의하였고, 후에 카를 바이어슈트라스가 이것을 논리적으로 더욱 엄밀하게 하여 정식화하였다.

같이 보기

외부 링크

이철희. “극한의 엄밀한 정의 - 엡실론과 델타”. 《수학노트》.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Epsilon-delta definition”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Epsilon-delta proof”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.