(a , f (a ))와 (b , f (b ))의 연결선을 아래로 평행 이동하여 어떤 점 c 에서의 접선을 얻을 수 있다. 미적분학 에서 평균값 정리 (平均-定理, 영어 : mean value theorem, 약자 MVT )는 미분 가능 함수 의 그래프 의 할선 과 평행하는 접선 이 존재한다는 정리다.[ 1] 롤의 정리 로부터 유도되며, 테일러 정리 를 비롯한 많은 확장이 존재한다. 미적분학의 기본 정리 를 증명하는 데 쓰이며, 극값 · 고계 도함수 · 볼록 함수 · 역함수 의 취급에도 응용된다.
연속 함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
미분 가능 함수 이며, 또한
f
(
a
)
=
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)=f(b)}
f
′
(
c
)
=
0
{\displaystyle f'(c)=0}
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
롤의 정리 라고 한다.
연속 함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
미분 가능 함수 라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
[ 2]
f
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
이를 평균값 정리 라고 한다. 평균값 정리에 따라, 충분히 매끄러운 함수의 그래프
t
↦
(
t
,
f
(
t
)
)
{\displaystyle t\mapsto (t,f(t))}
f
(
a
)
=
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)=f(b)}
함수
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
g
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
a
)
−
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
(
x
−
a
)
{\displaystyle g(x)=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)}
(즉,
g
{\displaystyle g}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
연속 함수 이며,
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
미분 가능 하며,
g
(
a
)
=
g
(
b
)
=
0
{\displaystyle g(a)=g(b)=0}
이다. 롤의 정리 에 따라, 다음을 만족시키는
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
0
=
g
′
(
c
)
=
f
′
(
c
)
−
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
{\displaystyle 0=g'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
곡선의 시작과 끝을 잇는 직선과 평행하는 접선을 찾을 수 있다. 연속 함수
f
,
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
미분 가능 함수 라고 하자. 또한,
g
′
≠
0
{\displaystyle g'\neq 0}
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
f
′
(
c
)
g
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
{\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}
이를 코시 평균값 정리 (영어 : Cauchy's mean value theorem ) 또는 확장 평균값 정리 (영어 : extended mean value theorem )라고 한다. 기하학적으로, 코시 평균값 정리에 따르면, 충분히 매끄러운 단순 곡선
t
↦
(
f
(
t
)
,
g
(
t
)
)
{\displaystyle t\mapsto (f(t),g(t))}
임계점 을 갖지 않는다면, 두 끝점을 잇는 직선과 평행하는 접선을 갖는다. 평균값 정리는 코시 평균값 정리에서
g
(
x
)
=
x
{\displaystyle g(x)=x}
임계점 을 가질 수 있다면 반례가 존재한다. 예를 들어, 곡선
[
−
1
,
1
]
→
R
2
{\displaystyle [-1,1]\to \mathbb {R} ^{2}}
t
↦
(
t
3
,
1
−
t
2
)
{\displaystyle t\mapsto (t^{3},1-t^{2})}
의 양 끝점
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle (-1,0)}
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
다르부 정리 에 따라, 임의의
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
g
′
(
x
)
>
0
{\displaystyle g'(x)>0}
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
g
′
(
x
)
<
0
{\displaystyle g'(x)<0}
h
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle h\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
h
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
a
)
−
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
(
g
(
x
)
−
g
(
a
)
)
{\displaystyle h(x)=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}(g(x)-g(a))}
그렇다면,
h
{\displaystyle h}
연속 함수 이며,
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
미분 가능 하며,
h
(
a
)
=
h
(
b
)
=
0
{\displaystyle h(a)=h(b)=0}
이다. 롤의 정리 에 따라, 다음을 만족시키는
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
0
=
h
′
(
c
)
=
f
′
(
c
)
−
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
g
′
(
c
)
{\displaystyle 0=h'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c)}
함수
f
,
g
,
h
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f,g,h\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
연속 함수 ,
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
미분 가능 함수 라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는
x
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle x\in (a,b)}
|
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
h
′
(
x
)
f
(
a
)
g
(
a
)
h
(
a
)
f
(
b
)
g
(
b
)
h
(
b
)
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}=0}
코시 평균값 정리는 여기서
h
(
x
)
=
1
{\displaystyle h(x)=1}
함수
D
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle D\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
D
(
x
)
=
|
f
(
x
)
g
(
x
)
h
(
x
)
f
(
a
)
g
(
a
)
h
(
a
)
f
(
b
)
g
(
b
)
h
(
b
)
|
{\displaystyle D(x)={\begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}}
에 롤의 정리 를 적용한다.
임의의 볼록 열린집합
U
⊆
R
n
{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
미분 가능 함수
f
:
U
→
R
{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }
x
,
y
∈
U
{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in U}
t
0
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle t_{0}\in (0,1)}
f
(
y
)
−
f
(
x
)
=
∇
f
(
(
1
−
t
0
)
x
+
t
0
y
)
⋅
(
y
−
x
)
{\displaystyle f(\mathbf {y} )-f(\mathbf {x} )=\nabla f((1-t_{0})\mathbf {x} +t_{0}\mathbf {y} )\cdot (\mathbf {y} -\mathbf {x} )}
(일변수 함수에 대한) 평균값 정리는 여기서
n
=
1
{\displaystyle n=1}
임의의 연속 함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
f
(
c
)
(
b
−
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)}
이에 따라,
f
{\displaystyle f}
연속 함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
리만 적분 가능 함수
g
:
[
a
,
b
]
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle g\colon [a,b]\to [0,\infty )}
g
:
[
a
,
b
]
→
(
−
∞
,
0
]
{\displaystyle g\colon [a,b]\to (-\infty ,0]}
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
f
(
c
)
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)dx}
이를 제1 적분 평균값 정리 (영어 : first mean value theorem for integrals )라고 한다.
c
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle c\in [a,b]}
중간값 정리 을 사용하여 쉽게 보일 수 있다.
g
{\displaystyle g}
연속 함수 라고 가정하면
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
미적분학 만으로 보일 수 있다. 이러한 가정이 없는 경우 약간의 실해석학 이 필요하다.
편의상
g
:
[
a
,
b
]
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle g\colon [a,b]\to [0,\infty )}
m
=
inf
f
∈
R
{\displaystyle m=\inf f\in \mathbb {R} }
M
=
sup
f
∈
R
{\displaystyle M=\sup f\in \mathbb {R} }
라고 하자. 임의의
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
m
g
(
x
)
≤
f
(
x
)
g
(
x
)
≤
M
g
(
x
)
{\displaystyle mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)}
이므로,
m
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
≤
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
≤
M
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle m\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq M\int _{a}^{b}g(x)dx}
이다. 만약
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx=0}
이라면, 위 부등식에 따라
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=0}
이다. 이 경우 임의의
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
≠
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx\neq 0}
m
<
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
<
M
{\displaystyle m<{\frac {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}}<M}
이라면, 중간값 정리 에 따라 다음을 만족시키는
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
f
(
c
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle f(c)={\frac {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}}}
이제 나머지 경우를 증명하자. 편의상
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
≠
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx\neq 0}
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
M
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=M\int _{a}^{b}g(x)dx}
라고 가정하자. 항상
f
(
x
)
g
(
x
)
≤
M
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)g(x)\leq Mg(x)}
거의 모든
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
f
(
x
)
g
(
x
)
=
M
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)g(x)=Mg(x)}
g
(
x
)
≥
0
{\displaystyle g(x)\geq 0}
g
(
x
)
>
0
{\displaystyle g(x)>0}
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
르베그 측도 의 집합을 이룬다. 마지막으로, 두 끝점
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
영집합 을 이룬다. 따라서,
f
(
x
)
g
(
x
)
=
M
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)g(x)=Mg(x)}
g
(
x
)
>
0
{\displaystyle g(x)>0}
x
≠
a
,
b
{\displaystyle x\neq a,b}
인
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
르베그 측도 를 가지며, 특히 공집합 이 아니다. 즉,
f
(
c
)
=
M
=
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle f(c)=M={\frac {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}}}
인
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
제2 적분 평균값 정리 (영어 : second mean value theorem for integrals )에 따르면, 다음 세 명제가 성립한다.
임의의 증가함수
f
:
[
a
,
b
]
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle f\colon [a,b]\to [0,\infty )}
리만 적분 가능 함수
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
c
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle c\in [a,b]}
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
f
(
b
)
∫
c
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(b)\int _{c}^{b}g(x)\,dx}
임의의 감소함수
f
:
[
a
,
b
]
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle f\colon [a,b]\to [0,\infty )}
리만 적분 가능 함수
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
c
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle c\in [a,b]}
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
f
(
a
)
∫
a
c
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(a)\int _{a}^{c}g(x)\,dx}
임의의 단조함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
리만 적분 가능 함수
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
c
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle c\in [a,b]}
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
f
(
a
)
∫
a
c
g
(
x
)
d
x
+
f
(
b
)
∫
c
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(a)\int _{a}^{c}g(x)\,dx+f(b)\int _{c}^{b}g(x)\,dx}
첫 번째·두 번째 명제는
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
증가함수 일 수도 감소함수 일 수도 있다. 세 명제 모두
g
{\displaystyle g}
중간값 정리 를 사용한다. 이를 위해서는 적분 값의 상계와 하계를 주는 부등식을 증명해야 하는데, 만약
g
{\displaystyle g}
실수 값을 갖는다면 이는 자명하다. 만약
g
{\displaystyle g}
f
{\displaystyle f}
부분 적분 을 사용할 수 있다. 일반적인 경우는 더 복잡하며, 리만 적분 을 유한합의 극한으로 전개한 뒤 아벨 변환 을 가한다.
임의의 감소함수
f
:
[
a
,
b
]
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle f\colon [a,b]\to [0,\infty )}
f
1
:
[
a
,
b
]
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle f_{1}\colon [a,b]\to [0,\infty )}
f
1
(
x
)
=
f
(
a
+
b
−
x
)
{\displaystyle f_{1}(x)=f(a+b-x)}
증가함수 이다. 임의의 증가함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
f
2
:
[
a
,
b
]
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle f_{2}\colon [a,b]\to [0,\infty )}
f
2
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
a
)
{\displaystyle f_{2}(x)=f(x)-f(a)}
감소함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
f
3
:
[
a
,
b
]
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle f_{3}\colon [a,b]\to [0,\infty )}
f
3
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
b
)
{\displaystyle f_{3}(x)=f(x)-f(b)}
증가함수
f
:
[
a
,
b
]
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle f\colon [a,b]\to [0,\infty )}
리만 적분 가능 함수
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
리만 적분 가능 하며,
g
{\displaystyle g}
유계 함수 이다. 따라서, 임의의 구간 분할
P
=
(
x
0
P
,
x
1
P
,
…
,
x
n
P
P
)
∈
part
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle P=(x_{0}^{P},x_{1}^{P},\dots ,x_{n_{P}}^{P})\in \operatorname {part} ([a,b])}
a
=
x
0
P
<
x
1
P
<
⋯
<
x
n
P
P
=
b
{\displaystyle a=x_{0}^{P}<x_{1}^{P}<\cdots <x_{n_{P}}^{P}=b}
에 대하여,
|
∑
i
=
1
n
P
∫
x
i
−
1
P
x
i
P
(
f
(
x
)
−
f
(
x
i
P
)
)
g
(
x
)
d
x
|
≤
(
sup
|
g
|
)
⋅
(
∑
i
=
1
n
P
(
sup
x
∈
[
x
i
−
1
P
,
x
i
P
]
f
(
x
)
)
(
x
i
P
−
x
i
−
1
P
)
−
∑
i
=
1
n
P
(
inf
x
∈
[
x
i
−
1
P
,
x
i
P
]
f
(
x
)
)
(
x
i
P
−
x
i
−
1
P
)
)
→
(
sup
|
g
|
)
⋅
(
U
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
−
L
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
)
(
P
∈
part
(
[
a
,
b
]
)
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\sum _{i=1}^{n_{P}}\int _{x_{i-1}^{P}}^{x_{i}^{P}}(f(x)-f(x_{i}^{P}))g(x)\,dx\right|&\leq (\sup |g|)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n_{P}}\left(\sup _{x\in [x_{i-1}^{P},x_{i}^{P}]}f(x)\right)(x_{i}^{P}-x_{i-1}^{P})-\sum _{i=1}^{n_{P}}\left(\inf _{x\in [x_{i-1}^{P},x_{i}^{P}]}f(x)\right)(x_{i}^{P}-x_{i-1}^{P})\right)\\&\to (\sup |g|)\cdot \left({\mathcal {U}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\mathcal {L}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\qquad (P\in \operatorname {part} ([a,b]))\\&=0\end{aligned}}}
이다. (여기서
U
∫
a
b
{\displaystyle {\mathcal {U}}\int _{a}^{b}}
L
∫
a
b
{\displaystyle {\mathcal {L}}\int _{a}^{b}}
는 리만 상적분 ·리만 하적분 이다.
f
{\displaystyle f}
리만 적분 가능 하므로 상적분과 하적분이 같다.)
h
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle h\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
h
(
x
)
=
∫
x
b
g
(
t
)
d
t
{\displaystyle h(x)=\int _{x}^{b}g(t)\,dt}
라고 하자. 제1 미적분학의 기본 정리 에 의하여,
h
{\displaystyle h}
연속 함수 다.
m
=
inf
h
∈
R
{\displaystyle m=\inf h\in \mathbb {R} }
M
=
sup
h
∈
R
{\displaystyle M=\sup h\in \mathbb {R} }
라고 하자. 이제, 아벨 변환 을 통하여 적분의 상계와 하계를 다음과 같이 구할 수 있다.
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
lim
P
∈
part
(
[
a
,
b
]
)
∑
i
=
1
n
P
∫
x
i
−
1
P
x
i
P
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
lim
P
∈
part
(
[
a
,
b
]
)
∑
i
=
1
n
P
f
(
x
i
P
)
∫
x
i
−
1
P
x
i
P
g
(
x
)
d
x
=
lim
P
∈
part
(
[
a
,
b
]
)
∑
i
=
1
n
P
f
(
x
i
P
)
(
h
(
x
i
−
1
P
)
−
h
(
x
i
P
)
)
=
lim
P
∈
part
(
[
a
,
b
]
)
(
f
(
b
)
(
h
(
a
)
−
h
(
b
)
)
+
∑
i
=
1
n
P
−
1
(
f
(
x
i
P
)
−
f
(
x
i
+
1
P
)
)
(
h
(
a
)
−
h
(
x
i
P
)
)
=
lim
P
∈
part
(
[
a
,
b
]
)
(
f
(
b
)
h
(
a
)
+
h
(
a
)
∑
i
=
1
n
P
−
1
(
f
(
x
i
P
)
−
f
(
x
i
+
1
P
)
)
+
∑
i
=
1
n
P
−
1
(
f
(
x
i
+
1
P
)
−
f
(
x
i
P
)
)
h
(
x
i
P
)
)
=
lim
P
∈
part
(
[
a
,
b
]
)
(
f
(
x
1
)
h
(
a
)
+
∑
i
=
1
n
P
−
1
(
f
(
x
i
+
1
P
)
−
f
(
x
i
P
)
)
h
(
x
i
P
)
)
≥
lim
P
∈
part
(
[
a
,
b
]
)
(
m
f
(
x
1
)
+
m
∑
i
=
1
n
P
−
1
(
f
(
x
i
+
1
P
)
−
f
(
x
i
P
)
)
)
=
m
f
(
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\sum _{i=1}^{n_{P}}\int _{x_{i-1}^{P}}^{x_{i}^{P}}f(x)g(x)\,dx\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\sum _{i=1}^{n_{P}}f(x_{i}^{P})\int _{x_{i-1}^{P}}^{x_{i}^{P}}g(x)\,dx\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\sum _{i=1}^{n_{P}}f(x_{i}^{P})(h(x_{i-1}^{P})-h(x_{i}^{P}))\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(f(b)(h(a)-h(b))+\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i}^{P})-f(x_{i+1}^{P}))(h(a)-h(x_{i}^{P})\right)\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(f(b)h(a)+h(a)\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i}^{P})-f(x_{i+1}^{P}))+\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))h(x_{i}^{P})\right)\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(f(x_{1})h(a)+\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))h(x_{i}^{P})\right)\\&\geq \lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(mf(x_{1})+m\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))\right)\\&=mf(b)\end{aligned}}}
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
lim
P
∈
part
(
[
a
,
b
]
)
(
f
(
x
1
)
h
(
a
)
+
∑
i
=
1
n
P
−
1
(
f
(
x
i
+
1
P
)
−
f
(
x
i
P
)
)
h
(
x
i
P
)
)
≤
lim
P
∈
part
(
[
a
,
b
]
)
(
M
f
(
x
1
)
+
M
∑
i
=
1
n
P
−
1
(
f
(
x
i
+
1
P
)
−
f
(
x
i
P
)
)
)
=
M
f
(
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(f(x_{1})h(a)+\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))h(x_{i}^{P})\right)\\&\leq \lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(Mf(x_{1})+M\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))\right)\\&=Mf(b)\end{aligned}}}
중간값 정리 에 따라, 다음을 만족시키는
c
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle c\in [a,b]}
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
h
(
c
)
f
(
b
)
=
f
(
b
)
∫
c
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=h(c)f(b)=f(b)\int _{c}^{b}g(x)\,dx}
복소평면 상에서 어떤 점
z
0
{\displaystyle z_{0}}
r
{\displaystyle r}
원 내에서 정칙 인 함수
f
{\displaystyle f}
f
(
z
0
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
z
0
+
r
e
i
t
)
d
t
{\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{it})dt}
가우스의 평균값 정리 라고 한다.
f
(
z
)
=
u
(
z
)
+
i
v
(
z
)
{\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}
조화함수에 대한 가우스의 평균값 정리 라고 한다.
u
(
z
0
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
u
(
z
0
+
r
e
i
t
)
d
t
{\displaystyle u(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }u(z_{0}+re^{it})dt}
다음은 평균값 정리로부터 간단히 유도되는 몇 가지 명제들이다.
구간
I
{\displaystyle I}
f
{\displaystyle f}
I
{\displaystyle I}
I
{\displaystyle I}
내부 에서 미분 가능하며 항상
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle f'(x)=0}
f
{\displaystyle f}
I
{\displaystyle I}
상수함수 이다.
f
,
g
:
I
→
R
{\displaystyle f,g\colon I\to \mathbb {R} }
I
{\displaystyle I}
f
′
(
x
)
=
g
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)=g'(x)}
f
,
g
{\displaystyle f,g}
I
{\displaystyle I}
f
:
I
→
R
{\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }
I
{\displaystyle I}
f
′
(
x
)
≥
0
{\displaystyle f'(x)\geq 0}
f
{\displaystyle f}
I
{\displaystyle I}
단조증가 한다.이들의 증명은 서로 비슷하다. 다음은 첫 번째 명제의 증명이다.
I
{\displaystyle I}
a
<
b
{\displaystyle a<b}
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
0
=
f
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
{\displaystyle 0=f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
즉
f
(
a
)
=
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)=f(b)}
f
{\displaystyle f}
I
{\displaystyle I}
I
{\displaystyle I}
이 정리의 최초의 입안자는 인도 의 바타세리 파라메슈바라 (Vatasseri Parameshvara)로 기록되어 있으며[ 3] 오귀스탱 루이 코시 이다.
↑ 정용욱, 대학수학, 기전연구사, 2008, ISBN 8933607714 , 115-120 쪽
↑ Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. 17쪽. ISBN 978-89-966211-8-8 ↑ J. J. O'Connor, E. F. Robertson (2000). 영어 : Paramesvara
고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005
김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8 Robert G. Bartle, 『실해석학개론(3판)』, 범한서적주식회사, 2006
James Stewart (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》. Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7
이 부분의 본문은 롤의 정리입니다.![{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ab61178bf5349838758ffe3d96135406ed0245)
![{\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/38132af5ea7cd916293fe93f29187bd461a5e270)
![{\displaystyle f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c9cdd885f66cd36e34a6418e28444dfc32ed27)
![{\displaystyle [-1,1]\to \mathbb {R} ^{2}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad0493a6a2e01948d4a1e464eaf32b134616e1c2)
![{\displaystyle x\in [a,b]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
![{\displaystyle h\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46ce7569c8ce5a8b5996b1f85c91c374dcd8617)
![{\displaystyle f,g,h\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/000e0d5f230819616eb55bc458040cfdb3b55b36)
![{\displaystyle [a,b]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle D\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0a2dd872eff6b02679eac92c6d9f5fe6eaced02)
![{\displaystyle g\colon [0,1]\to \mathbb {R} }](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6104f4d32fd8c8e91035a42dc871fc035ca6814)
![{\displaystyle g\colon [a,b]\to [0,\infty )}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/150cd60d772db41f6d7237129f71951459c3d0e7)
![{\displaystyle g\colon [a,b]\to (-\infty ,0]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c18205444d41078ab2f4faab6f28e7fbe697b2)
![{\displaystyle c\in [a,b]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/997256364b06acf0710e5d24da39e8c42991a249)
![{\displaystyle f\colon [a,b]\to [0,\infty )}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f4f8bf42bf752cd9fe12c354c3ace5ac488475)
![{\displaystyle f_{1}\colon [a,b]\to [0,\infty )}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6d6532e8bfd7abafa9bc59322069e32ea3bb50)
![{\displaystyle f_{2}\colon [a,b]\to [0,\infty )}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12e33833ec411f72140b5ec99b3587f97c962e6)
![{\displaystyle f_{3}\colon [a,b]\to [0,\infty )}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/d750fe256a8d275950a5224806baacf9ce3d8f1c)
![{\displaystyle P=(x_{0}^{P},x_{1}^{P},\dots ,x_{n_{P}}^{P})\in \operatorname {part} ([a,b])}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5da9b824567ee70664ac1272f2abf893862872)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\sum _{i=1}^{n_{P}}\int _{x_{i-1}^{P}}^{x_{i}^{P}}(f(x)-f(x_{i}^{P}))g(x)\,dx\right|&\leq (\sup |g|)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n_{P}}\left(\sup _{x\in [x_{i-1}^{P},x_{i}^{P}]}f(x)\right)(x_{i}^{P}-x_{i-1}^{P})-\sum _{i=1}^{n_{P}}\left(\inf _{x\in [x_{i-1}^{P},x_{i}^{P}]}f(x)\right)(x_{i}^{P}-x_{i-1}^{P})\right)\\&\to (\sup |g|)\cdot \left({\mathcal {U}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\mathcal {L}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\qquad (P\in \operatorname {part} ([a,b]))\\&=0\end{aligned}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/a706cbf38dbdb08d85ec706070f79ab0e77e5b39)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\sum _{i=1}^{n_{P}}\int _{x_{i-1}^{P}}^{x_{i}^{P}}f(x)g(x)\,dx\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\sum _{i=1}^{n_{P}}f(x_{i}^{P})\int _{x_{i-1}^{P}}^{x_{i}^{P}}g(x)\,dx\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\sum _{i=1}^{n_{P}}f(x_{i}^{P})(h(x_{i-1}^{P})-h(x_{i}^{P}))\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(f(b)(h(a)-h(b))+\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i}^{P})-f(x_{i+1}^{P}))(h(a)-h(x_{i}^{P})\right)\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(f(b)h(a)+h(a)\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i}^{P})-f(x_{i+1}^{P}))+\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))h(x_{i}^{P})\right)\\&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(f(x_{1})h(a)+\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))h(x_{i}^{P})\right)\\&\geq \lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(mf(x_{1})+m\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))\right)\\&=mf(b)\end{aligned}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee4436894425d431606dbc0c89b264ceb54ecf3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx&=\lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(f(x_{1})h(a)+\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))h(x_{i}^{P})\right)\\&\leq \lim _{P\in \operatorname {part} ([a,b])}\left(Mf(x_{1})+M\sum _{i=1}^{n_{P}-1}(f(x_{i+1}^{P})-f(x_{i}^{P}))\right)\\&=Mf(b)\end{aligned}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2703fbf9306f2d3d4f52eeed97a65302053015)
