Produto externo

En álxebra linear, o produto externo de dous vectores de coordenadas é a matriz cuxas entradas son tódolos produtos dun elemento no primeiro vector cun elemento no segundo vector. Se os dous vectores de coordenadas teñen dimensións n e m, entón o seu produto externo é unha matriz n × m.

De forma máis xeral, dados dous tensores (matrices multidimensionais de números), o seu produto externo é un tensor. O produto externo dos tensores tamén se refire como o seu produto tensor, e pódese usar para definir a álxebra tensorial.

O produto externo contrasta con:

O produto escalar (un caso especial de "produto interno"), que toma un par de vectores de coordenadas como entrada e produce un escalar
O produto Kronecker, que toma un par de matrices como entrada e produce unha matriz de bloques
Multiplicación matricial estándar
O produto exterior con características similares ao produto vectorial

Definición

Dados dous vectores de tamaño $m\times 1$ e $n\times 1$ respectivamente

\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{m}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}

o seu produto externo, denotado como $\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ,$ defínese como a matriz $m\times n$ $\mathbf {A}$ obtida multiplicando cada elemento de $\mathbf {u}$ por cada elemento de $\mathbf {v}$ :^[1]

\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&\dots &u_{1}v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\dots &u_{2}v_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{bmatrix}}

Ou en notación de índice:

(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{ij}=u_{i}v_{j}

Indicando o produto puntual por $\,\cdot ,\,$ se se dá un terceiro vector $n\times 1$ $\mathbf {w} ,$ entón $(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\mathbf {w} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {u} .$ Se se dá un terceiro vector $1\times m$ $\mathbf {x} ,$ entón $\mathbf {x} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} ^{\operatorname {T} }.$

Se $\mathbf {u}$ e $\mathbf {v}$ son vectores da mesma dimensión maiores que 1, entón $\det(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=0$ .

O produto externo $\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$ é equivalente a unha multiplicación matricial $\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\operatorname {T} },$ sempre que $\mathbf {u}$ se represente como un vector columna $m\times 1$ e $\mathbf {v}$ como un vector columna $n\times 1$ (que fai $\mathbf {v} ^{\operatorname {T} }$ un vector fila). ^[2]^[3] Por exemplo, se $m=4$ e $n=3,$ entón

\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{bmatrix}}.

Para vectores complexos, adoita ser útil tomar a transposta conxugada de $\mathbf {v} ,$ denotada como $\mathbf {v} ^{\dagger }$ ou $\left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}$ :

\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\dagger }=\mathbf {u} \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}.

Contraste co produto escalar euclidiano

Se $m=n,$ entón pódese tomar o produto da matriz do outro lado, obtendo un escalar (ou matriz $1\times 1$ ):

\left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\mathbf {u} ^{\textsf {T}}\mathbf {v}

O produto externo de tensores

Dados dous tensores $\mathbf {u} ,\mathbf {v}$ con dimensións $(k_{1},k_{2},\dots ,k_{m})$ e $(l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})$ , o seu produto externo $\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$ é un tensor con dimensións $(k_{1},k_{2},\dots ,k_{m},l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})$ e entradas

(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{i_{1},i_{2},\dots i_{m},j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}=u_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m}}v_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}

Por exemplo, se $\mathbf {A}$ é de orde 3 con dimensións $(3,5,7)$ e $\mathbf {B}$ é de orde 2 con dimensións $(10,100),$ entón o seu produto externo $\mathbf {C}$ é de orde 5 con dimensións $(3,5,7,10,100).$ Se $\mathbf {A}$ ten unha compoñente $A [2, 2, 4] = 11$ e $\mathbf {B}$ ten unha compoñente $B [8, 88] = 13$ , entón a compoñente de $\mathbf {C}$ formado polo produto externo é $C [2, 2, 4, 8, 88] = 143$ .

Conexión co produto de Kronecker

O produto externo e o produto de Kronecker están intimamente relacionados; de feito o mesmo símbolo utilízase habitualmente para designar ambas as operacións.

Se $\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ e $\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}4&5\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ , temos:

{\begin{aligned}\mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4\\5\\8\\10\\12\\15\end{bmatrix}},&\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4&5\\8&10\\12&15\end{bmatrix}}\end{aligned}}

No caso dos vectores columna, o produto de Kronecker pódese ver como unha forma de vectorización (ou aplanamento) do produto externo. En particular, para vectores de dúas columnas $\mathbf {u}$ e $\mathbf {v}$ , podemos escribir:

\mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} =\operatorname {vec} (\mathbf {v} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {u} )

Outra identidade semellante que destaca aínda máis a semellanza entre as operacións é

\mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v}

onde non é necesario invertir a orde dos vectores. A expresión do medio usa a multiplicación matricial, onde os vectores son considerados como matrices columna/fila.

Conexión co produto matricial

Dado un par de matrices $\mathbf {A}$ de tamaño $m\times p$ e $\mathbf {B}$ de tamaño $p\times n$ , considere o produto matricial $\mathbf {C} =\mathbf {A} \,\mathbf {B}$ definido como é habitual como unha matriz de tamaño $m\times n$ .

Agora sexa $\mathbf {a} _{k}^{\text{col}}$ o $k$ -ésimo vector columna de $\mathbf {A}$ e sexa $\mathbf {b} _{k}^{\text{row}}$ o $k$ -ésimo vector fila de $\mathbf {B}$ . Daquela $\mathbf {C}$ pódese expresar como unha suma de produtos externos columna por fila:

\mathbf {C} =\mathbf {A} \,\mathbf {B} =\left(\sum _{k=1}^{p}{A}_{ik}\,{B}_{kj}\right)_{\begin{matrix}1\leq i\leq m\\[-20pt]1\leq j\leq n\end{matrix}}={\begin{bmatrix}&&\\\mathbf {a} _{1}^{\text{col}}&\cdots &\mathbf {a} _{p}^{\text{col}}\\&&\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}&\mathbf {b} _{1}^{\text{row}}&\\&\vdots &\\&\mathbf {b} _{p}^{\text{row}}&\end{bmatrix}}=\sum _{k=1}^{p}\mathbf {a} _{k}^{\text{col}}\mathbf {b} _{k}^{\text{row}}

Propiedades

O produto externo dos vectores cumpre as seguintes propiedades:

{\begin{aligned}(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )^{\textsf {T}}&=(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )\\(\mathbf {v} +\mathbf {w} )\otimes \mathbf {u} &=\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {w} \otimes \mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} \\c(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )&=(c\mathbf {v} )\otimes \mathbf {u} =\mathbf {v} \otimes (c\mathbf {u} )\end{aligned}}

O produto externo dos tensores satisfai a propiedade de asociatividade adicional:

(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} =\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )

Aplicacións

Como o produto externo está moi relacionado co produto Kronecker, algunhas das aplicacións do produto Kronecker usan produtos externos. Estas aplicacións atópanse na teoría cuántica, procesamento de sinais e compresión de imaxes.^[4]

Espinores (Spinors)

Supoña $s, t, w, z \in C$ de xeito que $(s, t)$ e $(w, z)$ estean en $C 2$ . Entón o produto externo destes 2 vectores complexos é un elemento de $M(2, C)$ , como matrices complexas 2 × 2:

{\begin{pmatrix}sw&tw\\sz&tz\end{pmatrix}}.

O determinante desta matriz é $swtz - sztw = 0$ debido á propiedade conmutativa de $C$ .

Na teoría dos espinores en tres dimensións, estas matrices están asociadas con vectores isótropos debido a esta propiedade nula.

Élie Cartan describiu esta construción en 1937, mais foi introducida por Wolfgang Pauli en 1927 ^[5] polo que $M(2, C)$ pasou a chamarse álxebra de Pauli.

Notas

↑ Lerner, R. G.; Trigg, G. L. (1991). Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). VHC. ISBN 0-89573-752-3.
↑ Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. Schaum’s Outlines (4th ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
↑ Keller, Frank (February 23, 2020). "Algebraic Properties of Matrices; Transpose; Inner and Outer Product" (PDF). inf.ed.ac.uk. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2017-12-15. Consultado o 6 de septembro do 2020.
↑ Steeb, Willi-Hans; Hardy, Yorick (2011). "Applications (Chapter 3)". Matrix Calculus and Kronecker Product: A Practical Approach to Linear and Multilinear Algebra (2 ed.). World Scientific. ISBN 978-981-4335-31-7.
↑ Pertti Lounesto (1997) Clifford Algebras and Spinors, page 51, Cambridge University Press ISBN 0-521-59916-4

Véxase tamén

Bibliografía

Carlen, Eric; Canceicao Carvalho, Maria (2006). "Outer Products and Orthogonal Projections". Linear Algebra: From the Beginning. Macmillan. pp. 217–218. ISBN 9780716748946.

Outros artigos

[1] Lerner, R. G.; Trigg, G. L. (1991). Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). VHC. ISBN 0-89573-752-3.

[2] Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. Schaum’s Outlines (4th ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.

[:0-3] Keller, Frank (February 23, 2020). "Algebraic Properties of Matrices; Transpose; Inner and Outer Product" (PDF). inf.ed.ac.uk. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2017-12-15. Consultado o 6 de septembro do 2020.

[4] Steeb, Willi-Hans; Hardy, Yorick (2011). "Applications (Chapter 3)". Matrix Calculus and Kronecker Product: A Practical Approach to Linear and Multilinear Algebra (2 ed.). World Scientific. ISBN 978-981-4335-31-7.

[5] Pertti Lounesto (1997) Clifford Algebras and Spinors, page 51, Cambridge University Press ISBN 0-521-59916-4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]