Produktregel

Die Produktregel oder Leibnizregel (nach Gottfried Wilhelm Leibniz) ist eine grundlegende Ableitungsregel. Mit ihr wird die Ableitung eines Produktes von Funktionen aus den Ableitungen der einzelnen Funktionen berechnet. In Lagrange-Notation lautet die Produktregel

(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}

Der Vorteil dieser Regel liegt darin, dass es im Allgemeinen einfacher ist, die Ableitungen beider Faktoren separat zu berechnen, als jene des gesamten Produkts auf einmal.

Zum Beispiel kann mit der Produktregel die Ableitung der Funktion $f (x) = x^{2} \cdot \ln (x)$ schnell berechnet werden, wenn die Ableitungen der Faktoren $x^{2}$ und $\ln (x)$ schon bekannt sind, die sich als $2 \cdot x$ sowie $\frac{1}{x}$ berechnen lassen mithilfe der Ableitungsregeln elementarer Funktionen. Für den Fall, dass eine der beiden Funktionen konstant ist, geht die Produktregel in die einfachere Faktorregel über.

Neben ihrer Bedeutung für explizite Berechnungen hat die Produktregel auch theoretische Konsequenzen. Der hinter ihr stehende mathematische Satz besagt, dass Differenzierbarkeit, also die Eigenschaft von Funktionen, eine Ableitungsfunktion zu haben, stabil unter Produktbildung ist. Wenn also Funktionen $f$ und $g$ (in einem Punkt) differenzierbar sind, dann auch ihr Produkt $f \cdot g$ .

Das Analogon hinsichtlich Addition ist die Summenregel und das Analogon hinsichtlich der Division ist die Quotientenregel.

Im Rahmen der Integralrechnung kann die Produktregel dazu verwendet werden, die partielle Integration herzuleiten. Ähnlich wie die Integration gemäß dem Fundamentalsatz der Analysis als Umkehroperator der Differentiation gesehen werden kann, entspricht die partielle Integration dem Umkehroperator der Produktregel.

Einführende Erklärung

Ist eine Funktion $f$ in einem Punkt differenzierbar, so ist es möglich, sie in diesem Bereich relativ gut durch eine lineare Funktion $L (x) = a \cdot x + b$ anzunähern. Der Vorteil daran ist, dass man Begriffe wie Steigung, also das Maß, um wie viel Einheiten sich ein Vorgang ändert, wenn man den Eingabewert verändert, für lineare Funktionen verstanden hat. Indes ist es zu Beginn nicht klar, wie zum Beispiel die Steigung einer Funktion wie $f (x) = x^{2}$ im Punkt $x = 1$ zu begreifen ist. Durch die Annäherung mittels einer linearen Funktion, quasi als gedankliche Hilfestellung, kann man aber den Begriff der Steigung auch auf Kurven, also nicht-lineare Vorgänge, ausweiten. Die Steigung am Punkt einer Kurve entspricht dann per Definition der Steigung der linearen Funktion, welche die Kurve dort am besten annähert, aber die Steigung einer linearen Funktion ist wegen der Gradlinigkeit des Schaubildes gut verstanden. Auf diese Weise können auch komplizierten, nicht-linearen Vorgängen lokale Veränderungsraten zugeordnet werden. Dieser Vorgang entspricht dem Kerngedanken der Differentialrechnung.

Der Gedanke hinter der Produktregel fußt nun wiederum auf einem einfachen Mechanismus. Sind zum Beispiel die Funktionen $f$ und $g$ separat im Punkt $x = 0$ im Sinne der Differentialrechnung gut verstanden, können sie durch lineare Funktionen

f (x) \approx A \cdot x + a

und

g (x) \approx B \cdot x + b

für

x

fast gleich 0

angenähert werden. Dabei haben die Näherungen, wie man aus der Erfahrung mit linearen Funktionen weiß, die Steigungen $A$ bzw. $B$ . Das Prinzip der Differentialrechnung ordnet also den „schwierigen Kurven“ von $f$ und $g$ im Punkt $x = 0$ ebenfalls die Steigungen $A$ und $B$ zu. In kurzer Schreibweise:

f^{'} (0) = A

bzw.

g^{'} (0) = B

Die Näherungen $A \cdot x + a$ und $B \cdot x + b$ sind so gewählt, dass sie im Punkt $x = 0$ selbst perfekt sind (Tangentenprinzip), es herrscht dann im Grenzfall sogar Gleichheit: $f (0) = A \cdot 0 + a = a$ bzw. $g (0) = B \cdot 0 + b = b$ , also kurz

f (0) = a

bzw.

g (0) = b

Es ist nun naheliegend, dass sich ihr Produkt $f (x) \cdot g (x)$ über das Produkt dieser Näherungen wieder annähert. Zum Beispiel sind, zunächst einzeln betrachtet, die Zahlen $2,1$ und $5,1$ gute Näherungen für die Zahlen $2$ und $5$ , also ist deren Produkt $2,1 \cdot 5,1 = 10,71$ eine Näherung für $2 \cdot 5 = 10,$ kurz

2 \cdot 5 \approx 2,1 \cdot 5,1

Nehmen nun $f (x)$ und $g (x)$ gedanklich den Platz von $2$ und $5$ , sowie $A \cdot x + a$ und $B \cdot x + b$ von $2,1$ und $5,1$ in der oberen Anschauung ein, gilt diesem Gedanken folgend

f (x) \approx A \cdot x + b

und

g (x) \approx B \cdot x + b ⟹ f (x) \cdot g (x) \approx (A \cdot x + a) \cdot (B \cdot x + b)

Durch Ausmultiplizieren von $(A \cdot x + a) \cdot (B \cdot x + b)$ und anschließendes termweises Zusammenfassen erhält man daraus

f (x) \cdot g (x) \approx A \cdot B \cdot x^{2} + A \cdot b \cdot x + B \cdot a \cdot x + a \cdot b = A \cdot B \cdot x^{2} + (A \cdot b + B \cdot a) \cdot x + a \cdot b

Der Term $A \cdot B \cdot x^{2}$ ist für $x \approx 0$ verschwindend gering. Daher kann er bei der linearen Näherung des Produktes ignoriert werden:

f (x) \cdot g (x) \approx (A \cdot b + B \cdot a) \cdot x + a \cdot b

Auf der rechten Seite steht nun wieder eine lineare Näherung. Die Steigung von $f \cdot g$ im Punkt $x = 0$ ist also

A \cdot b + B \cdot a = f^{'} (0) \cdot g (0) + g^{'} (0) \cdot f (0)

Exakt dieselbe Überlegung gilt für beliebige feste Punkte $x = x_{0}$ , wenn man oben $x$ durch $x - x_{0}$ in den Näherungstermen ersetzt. Die analytische Gestalt der Produktregel ist also das Resultat des mittleren Termes von $(A \cdot x + b) \cdot (B \cdot x + a) = (f^{'} (0) \cdot x + f (0)) \cdot (g^{'} (0) \cdot x + g (0))$ in ausmultiplizierter Form.

Aussage der Produktregel

Sind die Funktionen $u$ und $v$ von einem Intervall $D$ in die Menge der reellen oder der komplexen Zahlen an einer Stelle $a \in D$ differenzierbar, so ist auch die durch

f (x) = u (x) \cdot v (x)

für alle

x \in D

definierte Funktion $f$ an der Stelle $x = a$ differenzierbar, und es gilt^[1]

f^{'} (a) = u^{'} (a) \cdot v (a) + u (a) \cdot v^{'} (a)

oder kurz:

(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}

Letztere Schreibweise ist besonders dann in Gebrauch, wenn $u$ und $v$ , also damit auch $f$ , im gesamten Definitionsbereich differenzierbar sind.

Geschichte

Als Entdecker der Produktregel wird in der Literatur häufig Gottfried Wilhelm Leibniz genannt, der sie in seiner bahnbrechenden Nova Methodus pro Maximis et Minimis (1684), dem ersten Werk über das Kalkül der Infinitesimalrechnung, zusammen mit Summen- und Quotientenregel publizierte.^[2]^[3] Allerdings hatte Leibniz bereits im November 1675 in einem Manuskript mit dem Titel Pro methodo tangentium inversa et aliis tetragonisticis specimina et inventa die Regel

\overline{d x} y = \overline{d x y} - x \overline{d y}

formuliert und diese „einen äußerst bemerkenswerten und für alle Kurven geltenden Satz“ bezeichnet.^[4] Hierbei nutzte er seine eigens eingeführte Notation für infinitesimale Größen. In einer weiteren Arbeit vom 11. Juli 1677 lieferte Leibniz schließlich erste Beweise für sowohl die Produkt- als auch die Quotientenregel. Um $d (x y) = x d y + y d x$ zu zeigen, schreibt Leibniz

d (x y) = (x + d x) (y + d y) - x y = x d y + y d x + d x d y

und argumentiert, dass die Größe $d x d y$ „unendlich viel kleiner“ sei verglichen zum Rest, womit nur noch $x d y + y d x$ überbleibt.^[5] Auch war Leibniz im Jahr 1710 im Stande, eine allgemeine Form der Produktregel zu formulieren. Diese bezieht sich auf höhere Ableitungen eines Produktes, also zweite, dritte, vierte usw. Ableitung. Leibniz schrieb:^[6]

p^{e} (x + y) = 1 p^{e} x p^{0} y + \frac{e}{1} p^{e - 1} x p^{1} y + \frac{e \cdot e - 1}{1 \cdot 2} p^{e - 2} x p^{2} y + \frac{e \cdot e - 1 \cdot e - 2}{1 \cdot 2 \cdot 3} p^{e - 3} x p^{3} y + \frac{e \cdot e - 1 \cdot e - 2 \cdot e - 3}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} p^{e - 4} x p^{4} y +

etc.,

d^{e} (x + y) = 1 d^{e} x d^{0} y + \frac{e}{1} d^{e - 1} x d^{1} y + \frac{e \cdot e - 1}{1 \cdot 2} d^{e - 2} x d^{2} y + \frac{e \cdot e - 1 \cdot e - 2}{1 \cdot 2 \cdot 3} d^{e - 3} x d^{3} y + \frac{e \cdot e - 1 \cdot e - 2 \cdot e - 3}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} d^{e - 4} x d^{4} y +

etc.,

wobei er die Notationen $p^{k}$ für die $k$ -te Potenz und $d^{k}$ für das $k$ -te Differential verwendete. Leibniz erkannte, dass die allgemeine Produktregel in direkter Verbindung zum binomischen Lehrsatz stand und sich diese durch die Analogie zwischen dimensionsgebundener Homogenität (im Sinne gleicher Potenzen in Polynomen) und Potenzen unendlich kleiner Größen ausdrückt.^[7] In einer Leibniz-Übersetzung im Jahr 1920 behauptete J. M. Child jedoch, dass Isaac Barrow die Produktregel, wie auch andere Techniken, zuvor entwickelt habe. Dort heißt es:

„Newton, with his great knowledge of and inclination toward geometrical reasoning, backed with his personal intercourse with Barrow, could appreciate the finality of Barrow’s proofs of the differentiation of a product, quotient, power, root, logarithm and exponential, and the trigonometrical functions, in a way that Leibniz could not.“

„Newton, mit seiner großen Kenntnis und Neigung zu geometrischem Denken, unterstützt durch seinen persönlichen Verkehr mit Barrow, konnte die Bedeutung von Barrows Beweisen für die Differenzierung eines Produkts, eines Quotienten, einer Potenz, einer Wurzel, eines Logarithmus und eines Exponentials sowie der trigonometrischen Funktionen in einer Weise schätzen, wie es Leibniz nicht konnte.“

– J. M. Child^[8]

Bereits im Jahr 1916 hatte Child eine englische Übersetzung von Teilen der Lectiones Geometricae von Barrow veröffentlicht,^[9] in deren Vorwort er Barrow zum eigentlichen und einzigen Erfinder der Differential- und Integralrechnung erhoben hatte. Damit ging Child nach Einschätzung von Thomas Sonar jedoch zu weit, denn man könne aus Barrows geometrischen Konstruktionen den Hauptsatz zwar herauslesen, allerdings hätte Child dies aus der Position des heutigen, mathematisch gebildeten Menschen getan. Barrow wäre es laut Sonar hingegen versagt geblieben, diese tiefe Einsicht aus seinen eigenen Arbeiten zu gewinnen.^[10]

Anwendungsbeispiele

Im Folgenden sei stets $f (x) = u (x) \cdot v (x)$

Ist $u (x) = x$ und $v (x) = x,$ so ist $f (x) = x \cdot x = x^{2}$ und man erhält aus der Kenntnis von $u^{'} (x) = 1$ und $v^{'} (x) = 1$ mit der Produktregel

\frac{d}{d x} x^{2} = f^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x) = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2 \cdot x

Ist $u (x) = 2 \cdot x$ und $v (x) = \frac{6}{x}$ , so ist $f (x) = 2 \cdot x \cdot \frac{6}{x} = 12$ und wegen $u^{'} (x) = 2$ und $v^{'} (x) = - \frac{6}{x^{2}}$ folgt daraus

\frac{d}{d x} 12 = f^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x) = 2 \cdot \frac{6}{x} + (2 \cdot x) \cdot (- \frac{6}{x^{2}}) = \frac{12}{x} - \frac{12}{x} = 0

Ist $u (x) = 4 \cdot x^{2}$ und $v (x) = 2 \cdot \sin (x + \frac{π}{4})$ , so ist $f (x) = 8 \cdot x^{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{4})$ und wegen $u^{'} (x) = 8 \cdot x$ und $v^{'} (x) = 2 \cdot \cos (x + \frac{π}{4})$ folgt daraus

\frac{d}{d x} 8 \cdot x^{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{4}) = f^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x) = 8 \cdot x \cdot 2 \cdot \sin (x + \frac{π}{4}) + 4 \cdot x^{2} \cdot 2 \cdot \cos (x + \frac{π}{4}) = 8 \cdot x \cdot (2 \cdot \sin (x + \frac{π}{4}) + x \cdot \cos (x + \frac{π}{4}))

Verwendet man die Kurznotation $(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ so erhält man beispielsweise für die Ableitung folgender Funktion

\begin{matrix} f (x) & = (x^{2} - 4) \cdot (x^{3} + 1) \\ f^{'} (x) & = 2 \cdot x \cdot (x^{3} + 1) + (x^{2} - 4) \cdot 3 \cdot x^{2} \end{matrix}

Ausmultipliziert ergibt sich

f^{'} (x) = 5 \cdot x^{4} - 12 \cdot x^{2} + 2 \cdot x

Erklärung und Beweis

Das Produkt $u \cdot v$ zweier reeller an einer Stelle $x$ differenzierbarer Funktionen $u$ und $v$ hat an der Stelle $x$ den Wert $u (x) \cdot v (x),$ der als Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten $u (x)$ und $v (x)$ gedeutet werden kann. Ändert sich nun $x$ um $Δ x,$ so ändert sich $u (x)$ um $Δ u (x)$ und $v (x)$ um $Δ v (x) .$ Die Änderung $Δ (u (x) \cdot v (x))$ des Flächeninhalts $u (x) \cdot v (x)$ setzt sich dann (siehe Abbildung) zusammen aus

Δ (u (x) \cdot v (x)) = u (x) \cdot Δ v (x) + v (x) \cdot Δ u (x) + Δ u (x) \cdot Δ v (x) .

Dividiert man durch $Δ x,$ so ergibt sich mit

\frac{Δ (u (x) \cdot v (x))}{Δ x} = u (x) \cdot \frac{Δ v (x)}{Δ x} + v (x) \cdot \frac{Δ u (x)}{Δ x} + \frac{Δ u (x)}{Δ x} \cdot Δ v (x)

der Differenzenquotient der Produkt- oder Flächeninhaltsfunktion $u \cdot v$ an der Stelle $x$ .

Für $Δ x$ gegen 0 konvergiert $Δ v (x)$ und damit der ganze letzte Summand gegen 0, sodass man an der Stelle $x$

(u \cdot v)^{'} = u \cdot v^{'} + v \cdot u^{'}

erhält, wie behauptet. Dies ist auch im Wesentlichen die Argumentation, wie sie sich in einem ersten Beweis der Produktregel 1677 in einem Manuskript von Gottfried Wilhelm Leibniz findet. Die Produktregel, die er dort gemeinsam mit der Quotientenregel beweist, war damit eine der ersten Regeln zur Anwendung der Infinitesimalrechnung, die er herleitete. Er benutzte allerdings keinen Grenzwert, sondern noch Differentiale und schloss, dass $Δ u \cdot Δ v$ wegfällt, weil es im Vergleich zu den anderen Summanden infinitesimal klein sei. Leonhard Euler benutzte noch dasselbe Argument, erst bei Augustin-Louis Cauchy findet sich ein Beweis mit Grenzwerten, der den heutigen Maßstäben an mathematische Strenge genügt:

Beweis

Gegeben sei die Funktion $f$ durch $f (x) = u (x) \cdot v (x)$ Die Ableitung von $f$ an einer Stelle $x$ ist dann durch den Grenzwert des Differenzenquotienten

lim_{Δ x \to 0} \frac{u (x + Δ x) \cdot v (x + Δ x) - u (x) \cdot v (x)}{Δ x}

gegeben. Addition und Subtraktion des Terms $\frac{u (x) \cdot v (x + Δ x)}{Δ x}$ liefert

lim_{Δ x \to 0} \frac{u (x + Δ x) - u (x)}{Δ x} \cdot v (x + Δ x) + lim_{Δ x \to 0} u (x) \cdot \frac{v (x + Δ x) - v (x)}{Δ x}

Das Ausführen der beiden Grenzübergänge liefert die Produktregel $f^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)$ .

Verallgemeinerungen

Bei allen Betrachtungen und Verallgemeinerungen der Produktregel ist darauf zu achten, dass die Faktoren $u, v : D \to Z$ beziehungsweise alle Faktoren $f_{1}, f_{2}, \dots, f_{k} : D \to Z$ an der betrachteten Stelle $x \in D$ differenzierbar sind. Ansonsten kann die Ableitung des Produkts an der Stelle $x \in D$ eine Definitionslücke haben.

Mehrfache Differentiation

Auch die Regel für Ableitungen der Ordnung $n$ (höhere Ableitungen) für ein Produkt aus zwei Funktionen $u, v : D \to ℝ$ war schon Gottfried Wilhelm Leibniz bekannt und wird entsprechend manchmal ebenfalls als Leibnizregel bezeichnet. Sie ergibt sich aus der Produktregel mithilfe vollständiger Induktion:^[11]^[12]

(u \cdot v)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \cdot u^{(k)} \cdot v^{(n - k)}

Das Symbol $\sum$ ist das Summenzeichen für reelle Zahlen. Die hier auftretenden Ausdrücke der Form $(\binom{n}{k})$ sind Binomialkoeffizienten. Die obige Formel enthält die eigentliche Produktregel als Spezialfall $n = 1$ und impliziert, dass der $ℝ$ -Vektorraum $C^{n} (D, ℝ)$ der $n$ -mal differenzierbaren Funktionen auf $D$ sogar eine $ℝ$ -Algebra ist. Einfach gesprochen folgt also, dass wenn $u$ und $v$ jeweils $n$ -mal differenzierbar sind, dies auch auf ihr Produkt $u \cdot v$ zutrifft.

Bemerkung: Diese Verallgemeinerung für die mehrfache Differentiation eines Produkts aus zwei Funktionen hat auffallende Ähnlichkeit zum binomischen Lehrsatz

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \cdot a^{k} \cdot b^{n - k}

Diese Ähnlichkeit ist kein Zufall. Der übliche Induktionsbeweis läuft in beiden Fällen vollkommen analog. Man kann die Leibnizregel aber auch mit dem binomischen Lehrsatz beweisen.

Produkte von endlich vielen differenzierbaren Funktionen

Wird die erste Ableitung eines Produkts $f = \prod_{j = 1}^{k} f_{j}$ von endlich vielen differenzierbaren Funktionen betrachtet, dann gilt folgende allgemeinere Gleichung

f^{'} = \sum_{j = 1}^{k} {f_{j}}^{'} \cdot \prod_{\binom{ℓ = 1}{ℓ \neq j}}^{k} f_{ℓ} = f'_{1} \cdot f_{2} \cdot f_{3} \cdot \dots \cdot f_{k} + f_{1} \cdot f'_{2} \cdot f_{3} \cdot \dots \cdot f_{k} + \dots + f_{1} \cdot f_{2} \cdot f_{3} \cdot \dots \cdot {f_{k}}^{'}

wobei $\prod$ das Produktzeichen für reelle Zahlen ist. Haben die Funktionen keine Nullstellen, so kann man diese Regel auch in der übersichtlichen Form

\frac{f^{'}}{f} = \frac{{(\prod_{j = 1}^{k} f_{j})}^{'}}{\prod_{j = 1}^{k} f_{j}} = \frac{(f_{1} \cdot f_{2} \cdot \dots \cdot f_{k})^{'}}{f_{1} \cdot f_{2} \cdot \dots \cdot f_{k}} = \frac{{f_{1}}^{'}}{f_{1}} + \frac{{f_{2}}^{'}}{f_{2}} + \dots + \frac{{f_{k}}^{'}}{f_{k}} = \sum_{j = 1}^{k} \frac{{f_{j}}^{'}}{f_{j}}

schreiben. Derartige Brüche bezeichnet man als logarithmische Ableitungen. Hintergrund dabei ist die Gleichung $\log (f_{1} \cdot f_{2} \cdot \dots \cdot f_{k}) = \log (f_{1}) + \log (f_{2}) + \dots + \log (f_{k})$ .

Für die mehrfache Differentiation von mehr als zwei Faktoren lässt sich ganz entsprechend das Multinomialtheorem verwenden. Es gilt

{(\prod_{j = 1}^{k} f_{j})}^{(n)} = (f_{1} \cdot f_{2} \cdot \dots \cdot f_{k})^{(n)} = \sum_{n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k} = n} (\binom{n}{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}}) \cdot \prod_{j = 1}^{k} f_{j}^{(n_{j})}

mit den Multinomialkoeffizienten $(\binom{n}{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}})$ .

Die Anzahl der Summanden, die dabei insgesamt addiert werden, also die Anzahl der Lösungen der Gleichung $n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k} = n$ für natürliche Zahlen $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}$ ist $(\binom{k + n - 1}{n})$ , siehe Kombination mit Wiederholung.

Komplexe Differenzierbarkeit

Die Produktregel gilt auch für komplex differenzierbare Funktionen. Ist $U \subseteq ℂ$ eine offene Teilmenge der komplexen Zahlen und $u, v : U \to ℂ$ komplex differenzierbare Funktionen in $z_{0} \in ℂ$ , dann ist $u \cdot v$ ebenfalls komplex differenzierbar in $z_{0}$ und es gilt

(u \cdot v)^{'} (z_{0}) = u^{'} (z_{0}) \cdot v (z_{0}) + u (z_{0}) \cdot v^{'} (z_{0})

Insbesondere gilt: Sind $u$ und $v$ holomorph in $U$ , so folgt $(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ in ganz $U$ und die Funktion $z \mapsto u (z) \cdot v (z)$ ist erneut holomorph in $U$ .

Produkte von Skalaren, Vektoren und Matrix-Vektor-Produkte

Beim Beweis der Produktregel werden aus den Werten von $u$ Linearkombinationen (Summen, Differenzen, Produkte mit Zahlen) gebildet, ebenso aus den Werten von $v .$ Die Rollen von $u$ und $v$ sind dabei klar getrennt: $u$ ist der linke Faktor, $v$ der rechte. Der Beweis überträgt sich deswegen auf alle Produktbildungen, die sowohl im linken als auch im rechten Faktor linear sind. Insbesondere gilt die Produktregel auch für

das Produkt von Skalar und Vektor (Skalarmultiplikation):

\frac{d}{d x} (α (x) \cdot \vec{u} (x)) = \frac{d α}{d x} \vec{u} (x) + α (x) \frac{d \vec{u}}{d x}

das Skalarprodukt von zwei Vektoren:

\frac{d}{d x} (\vec{u} (x) \cdot \vec{v} (x)) = \frac{d \vec{u}}{d x} \cdot \vec{v} (x) + \vec{u} (x) \cdot \frac{d \vec{v}}{d x}

das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Vektoren:

\frac{d}{d x} (\vec{u} (x) \times \vec{v} (x)) = \frac{d \vec{u}}{d x} \times \vec{v} (x) + \vec{u} (x) \times \frac{d \vec{v}}{d x}

.^[13]^[14]

Matrix-Vektor-Produkte.

Vektoren bzw. Matrizen sind dabei als Funktionen einer unabhängigen Variablen zu verstehen.

Höherdimensionaler Definitionsbereich

Verallgemeinert man auf Funktionen mit höherdimensionalem Definitionsbereich, so lässt sich die Produktregel wie folgt formulieren: Es seien $U \subseteq ℝ^{n}$ eine offene Teilmenge, $u, v : U \to ℝ$ differenzierbare Funktionen und $x \in ℝ^{n}$ ein Richtungsvektor. Dann gilt die Produktregel für die Richtungsableitung:^[15]

\frac{d}{d x} (u \cdot v) = (\frac{d}{d x} u) \cdot v + u \cdot \frac{d}{d x} v

Entsprechend gilt für die Gradienten

\nabla (u \cdot v) = (\nabla u) \cdot v + u \cdot \nabla v

In der Sprache der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten lauten diese beiden Aussagen:

Sind $x$ ein Tangentialvektor und $u, v$ lokal differenzierbare Funktionen, dann gilt

x (u \cdot v) = x u \cdot v + u \cdot x v

Sind $u, v$ lokal differenzierbare Funktionen, so gilt die folgende Beziehung zwischen den äußeren Ableitungen:

d (u \cdot v) = v d u + u d v

Höhere partielle Ableitungen

Sei $α, β \in ℕ_{0}^{n}$ , $U \subseteq ℝ^{n}$ und $u, v \in C^{n} (U, ℝ)$ . Dann gilt:^[16]

D^{α} (u \cdot v) = \sum_{β \leq α} (\binom{α}{β}) \cdot D^{β} (u) \cdot D^{α - β} (v)

Allgemeine differenzierbare Abbildungen

Es seien $U \subseteq ℝ$ ein offenes Intervall, $B$ eine Banachalgebra (z. B. die Algebra der reellen oder komplexen $(n \times n)$ -Matrizen) und $u, v : U \to B$ differenzierbare Funktionen. Dann gilt:

(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}

Dabei bezeichnet der Operator $\cdot$ die Multiplikation in der Banachalgebra.

Sind allgemeiner $B^{'}$ und $B^{″}$ Banachräume, $u : U \to B^{'}$ und $v : U \to B^{″}$ differenzierbare Funktionen, so gilt ebenfalls eine Produktregel, wobei die Funktion des Produktes von einer Bilinearform $A : B^{'} \times B^{″} \to ℝ$ übernommen wird. Von dieser wird verlangt, dass sie stetig ist, also beschränkt:

| A (b^{'}, b^{″}) | \leq C \cdot ‖ b^{'} ‖ \cdot ‖ b^{″} ‖

für alle

b^{'} \in B^{'}, b^{″} \in B^{″}

mit einer festen Konstante $C$ . Dann gilt die Produktregel

\frac{d}{d x} A (u (x), v (x)) = A (u^{'} (x), v (x)) + A (u (x), v^{'} (x)) .

Entsprechende Aussagen gelten für höherdimensionale Definitionsbereiche.

Leibniz-Regel für dividierte Differenzen

Die Leibnizregel lässt sich auf dividierte Differenzen übertragen:^[17]

[x_{0}, \dots, x_{n}] (u \cdot v) = \sum_{j = 0}^{n} ([x_{0}, \dots, x_{j}] u) \cdot ([x_{j}, \dots, x_{n}] v)

Der Spezialfall

[x, x] (u \cdot v) = [x, x] u \cdot [x] v + [x] u \cdot [x, x] v = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)

mit

n = 1

und

x = x_{0} = x_{1}

schließt die originale Leibnizregel mit ein.

Derivationen

Allgemein nennt man Abbildungen $D,$ welche die Produktregel

D (u \cdot v) = v \cdot D (u) + u \cdot D (v)

erfüllen, Derivationen. Die Reihenfolge der Faktoren ist hier für den Fall einer Derivation $A \to M$ mit einer Algebra $A$ und einem $A$ -Linksmodul $M$ gewählt.

Im Zusammenhang mit $ℤ$ - oder $ℤ / 2 ℤ$ -graduierten Algebren („Superalgebren“) muss der Begriff der Derivation jedoch durch den der Antiderivation ersetzt werden. Die entsprechende Gleichung lautet dann

D (u \cdot v) = D (u) \cdot v + (- 1)^{| u |} \cdot u \cdot D (v)

für homogene Elemente $u, v .$ Dabei bezeichnet $| u |$ den Grad von $u .$ Das prominenteste Beispiel einer Antiderivation ist die äußere Ableitung für Differentialformen

d (ω \land η) = d ω \land η + (- 1)^{| ω |} \cdot ω \land d η .

Siehe auch

Literatur

Die Produktregel für Funktionen wird in jedem Buch erläutert, das Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt.

Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2004, ISBN 3-528-67224-2.
Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rⁿ. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2005, ISBN 3-528-47231-6.
Konrad Königsberger: Analysis. 2 Bde. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.
Charles Henry Edwards Jr.: The Historical Development of the Calculus. Springer, New York 1979, ISBN 0-387-90436-0.

Weblinks

Herleitung der Produktregel und zahlreiche Beispiele (Memento vom 29. Februar 2008 im Internet Archive)

Einzelnachweise

↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1, Dritte Auflage, Birkhäuser, S. 321.
↑ Gottfried Wilhelm Leibniz: Nova Methodus pro Maximis et Minimis. In: Acta Eruditorum. Band 3, 1684, S. 467 (archive.org).
↑ John Stillwell: Mathematics and Its History, Springer, S. 171.
↑ J. M. Child: The Early Mathematical Manuscripts Of Leibniz, S. 107.
↑ Charles Henry Edwards: The Historical Development of the Calculus, Springer, S. 255–256.
↑ Gottfried Wilhelm Leibniz: Mathematische Schriften V, S. 379–380.
↑ H. J. M. Bos: Differentials, Higher-Order Differentials and the Derivative in the Leibnizian Calculus, Arch. Hist. Exact Sci. 14, 1975, S. 33.
↑ J. M. Child: The Early Mathematical Manuscripts Of Leibniz, S. 28–29, Fußnote 58.
↑ J. M. Child: Geometrical Lectures of Isaac Barrow. Chicago, London, 1916.
↑ Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis, Springer, S. 330.
↑ Alexander Grigoryan: Analysis II. Universität Bielefeld, S. 43, abgerufen am 3. November 2025.
↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1, Dritte Auflage, Birkhäuser, S. 325.
↑ Ilja Nikolajewitsch Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 661.
↑ Josiah Willard Gibbs: Vector Analysis. A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics. Charles Scribner's Sons, New York City 1901, S. 118 (archive.org).
↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 2, Zweite Auflage, Birkhäuser, S. 175.
↑ Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. ISBN 0-8218-0772-2, 19. Auflage, S. 12.
↑ De Boor: Divided Differences. Surveys in Approximation Theory. Band 1, 2005, S. 46–69.

[1] Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1, Dritte Auflage, Birkhäuser, S. 321.

[2] Gottfried Wilhelm Leibniz: Nova Methodus pro Maximis et Minimis. In: Acta Eruditorum. Band 3, 1684, S. 467 (archive.org).

[3] John Stillwell: Mathematics and Its History, Springer, S. 171.

[4] J. M. Child: The Early Mathematical Manuscripts Of Leibniz, S. 107.

[5] Charles Henry Edwards: The Historical Development of the Calculus, Springer, S. 255–256.

[6] Gottfried Wilhelm Leibniz: Mathematische Schriften V, S. 379–380.

[7] H. J. M. Bos: Differentials, Higher-Order Differentials and the Derivative in the Leibnizian Calculus, Arch. Hist. Exact Sci. 14, 1975, S. 33.

[8] J. M. Child: The Early Mathematical Manuscripts Of Leibniz, S. 28–29, Fußnote 58.

[9] J. M. Child: Geometrical Lectures of Isaac Barrow. Chicago, London, 1916.

[10] Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis, Springer, S. 330.

[:02-11] Alexander Grigoryan: Analysis II. Universität Bielefeld, S. 43, abgerufen am 3. November 2025.

[12] Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1, Dritte Auflage, Birkhäuser, S. 325.

[13] Ilja Nikolajewitsch Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 661.

[14] Josiah Willard Gibbs: Vector Analysis. A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics. Charles Scribner's Sons, New York City 1901, S. 118 (archive.org).

[15] Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 2, Zweite Auflage, Birkhäuser, S. 175.

[16] Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. ISBN 0-8218-0772-2, 19. Auflage, S. 12.

[17] De Boor: Divided Differences. Surveys in Approximation Theory. Band 1, 2005, S. 46–69.

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