Faktorregel

Die Faktorregel^[1]^[2]^[3] ist eine Regel zur Ableitung einer Funktion der Form $f (x) = k \cdot u (x)$ , wobei $k$ eine reelle Zahl und $u (x)$ eine differenzierbare Funktion ist. In Kurzschreibweise lautet sie

(k \cdot u)^{'} = k \cdot u^{'}

.

Der konstante Faktor $k$ bleibt also beim Differenzieren erhalten. Die Faktorregel folgt direkt aus der Definition der Ableitung, kann aber auch als Spezialfall der Produktregel aufgefasst werden.

Aussage

Ist eine Funktion $u$ an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar und $k$ eine reelle Zahl, so ist auch die Funktion $f$ mit $f (x) = k \cdot u (x)$ an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar, und es gilt

f^{'} (x_{0}) = k \cdot u^{'} (x_{0}) .

Beispiel

Die Funktion $f (x) = 5 x^{2}$ setzt sich aus $u (x) = x^{2}$ und dem konstanten Faktor $k = 5$ zusammen. Es ist $u^{'} (x) = 2 x$ und mit der Faktorregel folgt

f^{'} (x) = 5 \cdot 2 x = 10 x

.

Herleitungen

Algebraische Herleitung

Sei $u$ eine von $x$ abhängige Funktion und die Funktion $f$ das $k$ -fache von $u$ , das heißt $f = k \cdot u$ . Ändert sich die unabhängige Variable um $Δ x$ , so ändert sich $u$ um $Δ u$ und $f$ entsprechend um das $k$ -fache, das heißt es ist $Δ f = k \cdot Δ u$ . Hieraus folgt, indem man durch $Δ x$ teilt, die Gleichung

\frac{Δ f}{Δ x} = k \cdot \frac{Δ u}{Δ x}

.

Lässt man nun $Δ x \to 0$ gehen, so erhält man die Faktorregel.^[4]

Geometrische Herleitung

Der Graph von $f = k \cdot u$ geht aus dem Graphen von $u$ durch Streckung in $y$ -Richtung um den Streckfaktor $k$ hervor. Jedes Steigungsdreieck wird dabei ebenfalls in $y$ -Richtung gestreckt, wodurch sich die Länge der $y$ -Kathete ver- $k$ -facht, während die $x$ -Kathete unverändert bleibt. Da diese Ver- $k$ -fachung für alle Steigungsdreiecke gilt, bleibt er auch erhalten, wenn man beliebig kleine Steigungsdreiecke betrachtet und schließlich den Grenzübergang bildet, also von den Sekantensteigungen zur Tangentensteigung übergeht.^[5]^[6]

Beweis

Sei $u (x)$ bei $x_{0}$ differenzierbar und $f (x) = k \cdot u (x)$ . Dann konvergiert $\frac{u (x) - u (x_{0})}{x - x_{0}}$ für $x \to x_{0}$ gegen $u^{'} (x_{0})$ . Nach den Grenzwertsätzen konvergiert dann aber auch $k \cdot \frac{u (x) - u (x_{0})}{x - x_{0}}$ für $x \to x_{0}$ , und zwar gegen $k \cdot u^{'} (x_{0})$ . Damit folgt

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = lim_{x \to x_{0}} \frac{k \cdot u (x) - k \cdot u (x_{0})}{x - x_{0}} = lim_{x \to x_{0}} k \cdot \frac{u (x) - u (x_{0})}{x - x_{0}} = k \cdot u^{'} (x_{0}) .

^[3]

Siehe auch

Literatur

Greefrath et al.: Didaktik der Analysis. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48876-8, S. 167–168.

Einzelnachweise

↑ Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. 14. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-05619-3, S. 331.
↑ Ilja Nikolajewitsch Bronschtein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 394.
1 2 Greefrath et al.: Didaktik der Analysis. 2016, S. 167.
↑ G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung 1. VEB Verlag der deutschen Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00398-6, S. 185 (archive.org).
↑ Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: Elementare Analysis (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2091-6, S. 208.
↑ Gilbert Greefrath u. a.: Didaktik der Analysis (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). 1. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48876-8, S. 167 f.

[1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. 14. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-05619-3, S. 331.

[2] Ilja Nikolajewitsch Bronschtein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 394.

[:0-3] 1 2 Greefrath et al.: Didaktik der Analysis. 2016, S. 167.

[4] G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung 1. VEB Verlag der deutschen Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00398-6, S. 185 (archive.org).

[5] Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: Elementare Analysis (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2091-6, S. 208.

[6] Gilbert Greefrath u. a.: Didaktik der Analysis (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). 1. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48876-8, S. 167 f.

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