Faktorregel

Die Faktorregel ist eine Regel zur Ableitung einer Funktion der Form $f(x)=k\cdot u(x)$, wobei $k$ eine reelle Zahl und $u(x)$ eine differenzierbare Funktion ist. In Kurzschreibweise lautet sie

$(k\cdot u)'=k\cdot u'$.

Der konstante Faktor $k$ bleibt also beim Differenzieren erhalten. Die Faktorregel folgt direkt aus der Definition der Ableitung, kann aber auch als Spezialfall der Produktregel aufgefasst werden.

Aussage

Ist eine Funktion $u$ an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar und $k$ eine reelle Zahl, so ist auch die Funktion $f$ mit $f(x)=k\cdot u(x)$ an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar, und es gilt

$f'(x_{0})=k\cdot u'(x_{0})\,.$

Beispiel

Die Funktion $f(x)=5x^{2}$ setzt sich aus $u(x)=x^{2}$ und dem konstanten Faktor $k=5$ zusammen. Es ist $u'(x)=2x$ und mit der Faktorregel folgt

$f'(x)=5\cdot 2x=10x$.

Herleitungen

Geometrische Herleitung der Faktorregel: Alle Steigungsdreiecke werden in vertikaler Richtung um den Faktor $k$ gestreckt.

Algebraische Herleitung

Sei $u$ eine von $x$ abhängige Funktion und die Funktion $f$ das $k$-fache von $u$, das heißt $f=k\cdot u$. Ändert sich die unabhängige Variable um $\Delta x$, so ändert sich $u$ um $\Delta u$ und $f$ entsprechend um das $k$-fache, das heißt es ist $\Delta f=k\cdot \Delta u$. Hieraus folgt, indem man durch $\Delta x$ teilt, die Gleichung

${\frac {\Delta f}{\Delta x}}=k\cdot {\frac {\Delta u}{\Delta x}}$.

Lässt man nun $\Delta x\to 0$ gehen, so erhält man die Faktorregel.

Geometrische Herleitung

Der Graph von $f=k\cdot u$ geht aus dem Graphen von $u$ durch Streckung in $y$-Richtung um den Streckfaktor $k$ hervor. Jedes Steigungsdreieck wird dabei ebenfalls in $y$-Richtung gestreckt, wodurch sich die Länge der $y$-Kathete ver-$k$-facht, während die $x$-Kathete unverändert bleibt. Da diese Ver-$k$-fachung für alle Steigungsdreiecke gilt, bleibt er auch erhalten, wenn man beliebig kleine Steigungsdreiecke betrachtet und schließlich den Grenzübergang bildet, also von den Sekantensteigungen zur Tangentensteigung übergeht.

Beweis

Sei $u(x)$ bei $x_{0}$ differenzierbar und $f(x)=k\cdot u(x)$. Dann konvergiert ${\textstyle {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}}$ für $x\to x_{0}$ gegen $u'(x_{0})$. Nach den Grenzwertsätzen konvergiert dann aber auch ${\textstyle k\cdot {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}}$ für $x\to x_{0}$, und zwar gegen $k\cdot u'(x_{0})$. Damit folgt

$\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {k\cdot u(x)-k\cdot u(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}k\cdot {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}=k\cdot u'(x_{0}).$

Siehe auch

• Summenregel
• Produktregel
• Quotientenregel
• Umkehrregel
• Kettenregel

Literatur

• Greefrath et al.: Didaktik der Analysis. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48876-8, S. 167–168.