Logan Thompson wurde in Calgary geboren und spielte bis 2014 in regionalen Juniorenligen. Zur Saison 2014/15 wechselte er in die Western Hockey League (WHL) zu den Brandon Wheat Kings, wobei es ihm in vier Einsätzen nicht gelang, sich dort zu etablieren. Demzufolge verbrachte er den Großteil des Spieljahres bei den Grande Prairie Storm in der Alberta Junior Hockey League (AJHL), die sich im kanadischen Ligensystem einen Rang unterhalb der WHL befindet. Ab der Saison 2015/16 kam der Kanadier regelmäßig für die Wheat Kings zum Einsatz und gewann mit diesen prompt die WHL-Playoffs um den Ed Chynoweth Cup, wobei er als Backup von Jordan Papirny fungierte. Zur Spielzeit 2016/17 stieg er zum Stammtorwart in Brandon auf, wobei er seine persönliche Statistik kontinuierlich verbesserte. In seinem vierten und letzten WHL-Jahr kam er auf drei Shutouts und eine Fangquote von 90,8% in 55 Einsätzen, sodass man ihn im WHL East Second All-Star Team berücksichtigte.
Auch dort kam Thompson erwartungsgemäß vorerst beim AHL-Farmteam zum Einsatz, den Henderson Silver Knights, bei denen er mit einem Gegentorschnitt von 1,96 und einer Fangquote von 94,3% eine herausragende Saison spielte. Demzufolge zeichnete man ihn mit dem Aldege „Baz“ Bastien Memorial Award als besten Torhüter der Liga aus und wählte ihn zudem ins Pacific Division All-Star Team sowie ins AHL All-Rookie Team. Parallel dazu hatte er im März 2021 sein Debüt für die Golden Knights in der NHL gegeben, wobei es vorerst bei einem Einsatz blieb. Bereits in der Folgesaison 2021/22 kam er in etwa gleichen Teilen in AHL und NHL zu Einsatzzeit, wobei er letztlich in 19 NHL-Partien auf dem Eis stand. Zur Spielzeit 2022/23 etablierte er sich schließlich in Vegas’ NHL-Aufgebot, wobei er, auch durch Verletzungen seiner Kollegen Adin Hill und Laurent Brossoit, mit 37 Partien den Großteil der Spiele der Hauptrunde bestritt. Dabei wählte man ihn zum NHL-Rookie des Monats November und lud ihn zum NHL All-Star Game 2023 ein, bevor er jedoch selbst verletzungsbedingt ausfiel und am folgenden Stanley-Cup-Sieg in den Playoffs 2023 keine direkte Beteiligung hatte. Auf der Trophäe selbst wurde er dennoch verewigt, aufgrund der Anzahl der absolvierten Spiele in der regulären Saison.
Nach drei Jahren in Las Vegas wurde Thompson im Juni 2024 an die Washington Capitals abgegeben, die im Gegenzug je ein Drittrunden-Wahlrecht in den NHL Entry Drafts 2024 und 2025 zu den Golden Knights sandten. Am Ende der Saison 2025/26 berief man ihn ins NHL Second All-Star Team.
(Legende zur Torhüterstatistik: GP oder Sp= Spiele insgesamt; W oder S= Siege; L oder N= Niederlagen; T oder U oder OT= Unentschieden oder Overtime- bzw. Shootout-Niederlage; Min.= Minuten; SOG oder SaT= Schüsse aufs Tor; GA oder GT= Gegentore; SO= Shutouts; GAA oder GTS= Gegentorschnitt; Sv% oder SVS%= Fangquote; EN= Empty Net Goal; 1Play-downs/Relegation; Kursiv: Statistik nicht vollständig)