Die Jacobi-Polynome (nach Carl Gustav Jacob Jacobi ), auch hypergeometrische Polynome, sind eine Menge polynomieller Lösungen des Sturm-Liouville-Problems , die einen Satz orthogonaler Polynome bilden, und zwar auf dem Intervall
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
(
1
−
x
)
α
(
1
+
x
)
β
{\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}
α
,
β
>
−
1
{\displaystyle \alpha ,\beta >-1}
[ 1]
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
=
Γ
(
α
+
n
+
1
)
n
!
Γ
(
α
+
β
+
n
+
1
)
∑
m
=
0
n
(
n
m
)
Γ
(
α
+
β
+
n
+
m
+
1
)
Γ
(
α
+
m
+
1
)
(
x
−
1
2
)
m
,
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{m},}
oder mit Hilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion
2
F
1
{\displaystyle {}_{2}F_{1}}
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
=
(
n
+
α
n
)
2
F
1
(
−
n
,
1
+
n
+
α
+
β
;
α
+
1
;
1
−
x
2
)
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={n+\alpha \choose n}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+n+\alpha +\beta ;\alpha +1;{\frac {1-x}{2}}\right).}
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
=
(
−
1
)
n
2
n
n
!
(
1
−
x
)
−
α
(
1
+
x
)
−
β
d
n
d
x
n
[
(
1
−
x
)
α
+
n
(
1
+
x
)
β
+
n
]
,
α
,
β
>
−
1
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-x)^{-\alpha }(1+x)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x)^{\alpha +n}(1+x)^{\beta +n}\right],~~~\alpha ,\beta >-1}
Man kann die Jacobi-Polynome auch mit Hilfe einer Rekursionsformel bestimmen.
P
0
(
α
,
β
)
(
x
)
=
1
{\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(x)=1}
P
1
(
α
,
β
)
(
x
)
=
1
2
(
α
−
β
+
(
α
+
β
+
2
)
x
)
{\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {1}{2}}{\bigl (}\alpha -\beta +(\alpha +\beta +2)x{\bigr )}}
a
n
1
P
n
+
1
(
α
,
β
)
(
x
)
=
(
a
n
2
+
a
n
3
x
)
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
−
a
n
4
P
n
−
1
(
α
,
β
)
(
x
)
{\displaystyle a_{n}^{1}P_{n+1}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(a_{n}^{2}+a_{n}^{3}x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)-a_{n}^{4}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(x)}
mit den Konstanten:
a
n
1
=
2
(
n
+
1
)
(
n
+
α
+
β
+
1
)
(
2
n
+
α
+
β
)
{\displaystyle a_{n}^{1}=2(n+1)(n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta )}
a
n
2
=
(
2
n
+
α
+
β
+
1
)
(
α
2
−
β
2
)
{\displaystyle a_{n}^{2}=(2n+\alpha +\beta +1)(\alpha ^{2}-\beta ^{2})}
a
n
3
=
(
2
n
+
α
+
β
)
(
2
n
+
α
+
β
+
1
)
(
2
n
+
α
+
β
+
2
)
{\displaystyle a_{n}^{3}=(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta +2)}
a
n
4
=
2
(
n
+
α
)
(
n
+
β
)
(
2
n
+
α
+
β
+
2
)
{\displaystyle a_{n}^{4}=2(n+\alpha )(n+\beta )(2n+\alpha +\beta +2)}
Der Wert für
x
=
1
{\displaystyle x=1}
P
n
(
α
,
β
)
(
1
)
=
(
n
+
α
n
)
=
Γ
(
n
+
α
+
1
)
Γ
(
α
+
1
)
n
!
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{\Gamma (\alpha +1)n!}}}
Es gilt die folgende Symmetriebeziehung
P
n
(
α
,
β
)
(
−
x
)
=
(
−
1
)
n
P
n
(
β
,
α
)
(
x
)
,
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-x)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(x)\,,}
woraus sich der Wert für
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
P
n
(
α
,
β
)
(
−
1
)
=
(
−
1
)
n
(
n
+
β
n
)
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}
Sie erfüllen die Orthogonalitätsbedingung
∫
−
1
1
(
1
−
x
)
α
(
1
+
x
)
β
P
m
(
α
,
β
)
(
x
)
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
d
x
=
2
α
+
β
+
1
2
n
+
α
+
β
+
1
Γ
(
n
+
α
+
1
)
Γ
(
n
+
β
+
1
)
Γ
(
n
+
α
+
β
+
1
)
n
!
δ
n
m
.
{\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}.}
Aus der expliziten Form können die
k
{\displaystyle k}
d
k
d
x
k
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
=
Γ
(
α
+
β
+
n
+
1
+
k
)
2
k
Γ
(
α
+
β
+
n
+
1
)
P
n
−
k
(
α
+
k
,
β
+
k
)
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\;\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(x).}
Die Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix
(
a
0
b
1
0
…
0
b
1
a
1
b
2
⋱
⋮
0
b
2
⋱
⋱
0
⋮
⋱
⋱
⋱
b
n
−
1
0
…
0
b
n
−
1
a
n
−
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{0}&b_{1}&0&\dots &0\\b_{1}&a_{1}&b_{2}&\ddots &\vdots \\0&b_{2}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &b_{n-1}\\0&\dots &0&b_{n-1}&a_{n-1}\end{pmatrix}}}
mit
a
0
=
β
−
α
2
+
α
+
β
{\displaystyle a_{0}={\frac {\beta -\alpha }{2+\alpha +\beta }}}
a
j
=
β
2
−
α
2
(
2
j
+
α
+
β
)
(
2
j
+
2
+
α
+
β
)
,
j
=
1
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle a_{j}={\frac {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}{(2j+\alpha +\beta )(2j+2+\alpha +\beta )}},~~~j=1,\dots ,n-1}
b
1
=
4
(
1
+
α
)
(
1
+
β
)
(
2
+
α
+
β
)
2
(
3
+
α
+
β
)
{\displaystyle b_{1}={\sqrt {\frac {4(1+\alpha )(1+\beta )}{(2+\alpha +\beta )^{2}(3+\alpha +\beta )}}}}
b
j
=
4
j
(
j
+
α
)
(
j
+
β
)
(
j
+
α
+
β
)
(
2
j
−
1
+
α
+
β
)
(
2
j
+
α
+
β
)
2
(
2
j
+
1
+
α
+
β
)
,
j
=
2
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle b_{j}={\sqrt {\frac {4j(j+\alpha )(j+\beta )(j+\alpha +\beta )}{(2j-1+\alpha +\beta )(2j+\alpha +\beta )^{2}(2j+1+\alpha +\beta )}}},~~~j=2,\dots ,n-1}
stimmen mit den Nullstellen von
P
n
(
α
,
β
)
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}
[ 2] QR-Algorithmus die Möglichkeit, die Nullstellen näherungsweise zu berechnen. Weiterhin kann man beweisen, dass sie einfach sind und im Intervall
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle (-1,1)}
Mit Hilfe der Landau-Symbole lässt sich folgende Formel aufstellen:
P
n
(
α
,
β
)
(
cos
θ
)
=
cos
(
[
n
+
(
α
+
β
+
1
)
/
2
]
θ
−
[
2
α
+
1
]
π
/
4
)
π
n
[
sin
(
θ
/
2
)
]
α
+
1
/
2
[
cos
(
θ
/
2
)
]
β
+
1
/
2
+
O
(
n
−
3
/
2
)
,
0
<
θ
<
π
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )={\frac {\cos \left(\left[n+(\alpha +\beta +1)/2\right]\theta -\left[2\alpha +1\right]\pi /4\right)}{{\sqrt {\pi n}}\left[\sin(\theta /2)\right]^{\alpha +1/2}\left[\cos(\theta /2)\right]^{\beta +1/2}}}+{\mathcal {O}}\left(n^{-3/2}\right),~~~0<\theta <\pi .}
Für alle
x
∈
R
,
z
∈
C
,
|
z
|
<
1
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} ,|z|<1}
∑
n
=
0
∞
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
z
n
=
2
α
+
β
[
f
(
x
,
z
)
]
−
1
[
1
−
z
+
f
(
x
,
z
)
]
−
α
[
1
+
z
+
f
(
x
,
z
)
]
−
β
,
f
(
x
,
z
)
=
1
−
2
x
z
+
z
2
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)z^{n}=2^{\alpha +\beta }[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha }[1+z+f(x,z)]^{-\beta },~~~f(x,z)={\sqrt {1-2xz+z^{2}}}.}
Die Funktion
z
↦
2
α
+
β
[
f
(
x
,
z
)
]
−
1
[
1
−
z
+
f
(
x
,
z
)
]
−
α
[
1
+
z
+
f
(
x
,
z
)
]
−
β
{\displaystyle z\mapsto 2^{\alpha +\beta }[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha }[1+z+f(x,z)]^{-\beta }}
wird daher als erzeugende Funktion der Jacobi-Polynome bezeichnet.
Einige wichtige Polynome können als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachtet werden:
Ein nützlicher Spezialfall der Jacobi-Polynome tritt bei kugelsymmetrischen Problemstellungen auf, bei denen Lösungen nur vom Radius
r
{\displaystyle r}
r
β
{\displaystyle r^{\beta }}
x
=
2
r
−
1
{\displaystyle x=2r-1}
P
n
(
0
,
β
)
(
x
)
{\displaystyle P_{n}^{(0,\beta )}(x)}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
r
β
{\displaystyle r^{\beta }}
Dies führt zu einer explizit orthonormalisierten Darstellung:
F
n
(
β
)
(
r
)
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
n
+
k
1
+
β
+
2
n
⋅
Γ
(
n
+
k
+
β
+
1
)
Γ
(
k
+
1
)
Γ
(
n
−
k
+
1
)
Γ
(
k
+
β
+
1
)
r
k
,
r
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle F_{n}^{(\beta )}(r)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}{\frac {{\sqrt {1+\beta +2n}}\cdot \Gamma (n+k+\beta +1)}{\Gamma (k+1)\,\Gamma (n-k+1)\,\Gamma (k+\beta +1)}}\,r^{k},\quad r\in [0,1]}
Diese Polynome erfüllen die Orthonormalitätsrelation:
∫
0
1
F
n
(
β
)
(
r
)
F
m
(
β
)
(
r
)
r
β
d
r
=
δ
n
m
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}F_{n}^{(\beta )}(r)\,F_{m}^{(\beta )}(r)\,r^{\beta }\,dr=\delta _{nm}.}
Die Funktionen
F
n
(
β
)
(
r
)
{\displaystyle F_{n}^{(\beta )}(r)}
P
n
(
0
,
β
)
(
2
r
−
1
)
{\displaystyle P_{n}^{(0,\beta )}(2r-1)}
Eric W. Weisstein : Jacobi Polynomial . In: MathWorld (englisch). Sherwin Karniadakis : Spectral/hp Element Methods for CFD . 1. Auflage. Oxford University Press, New York 1999, ISBN 0-19-510226-6 . I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik : Table of Integrals, Series, and Products . 5. Auflage. Academic Press Inc., Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo, Toronto 1994, ISBN 0-12-294755-X . Peter Junghanns : EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome . 1. Auflage. Edition am Gutenbergplatz Leipzig, Leipzig 2009, ISBN 3-937219-28-5 .
↑ Abramowitz, Stegun (1965): Formel 22.3.2 - enthält darüber hinaus umfangreiche Zusatzinformationen und Belege für die weiteren hier genannten Formeln ↑ Peter Junghanns : EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome . Hrsg.: Edition am Gutenbergplatz Leipzig. 2009, ISBN 3-937219-28-5 (Kapitel 2.2 und 2.4).
![{\displaystyle [-1,1]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-x)^{-\alpha }(1+x)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x)^{\alpha +n}(1+x)^{\beta +n}\right],~~~\alpha ,\beta >-1}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/b752ea0562f33672ccb347e252ba037e4bfb4c15)
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )={\frac {\cos \left(\left[n+(\alpha +\beta +1)/2\right]\theta -\left[2\alpha +1\right]\pi /4\right)}{{\sqrt {\pi n}}\left[\sin(\theta /2)\right]^{\alpha +1/2}\left[\cos(\theta /2)\right]^{\beta +1/2}}}+{\mathcal {O}}\left(n^{-3/2}\right),~~~0<\theta <\pi .}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbdc9975955211fd6a45f99cf645ae262f42a68)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)z^{n}=2^{\alpha +\beta }[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha }[1+z+f(x,z)]^{-\beta },~~~f(x,z)={\sqrt {1-2xz+z^{2}}}.}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/2809da20b32575f701d8c89858b4ce98db662ce4)
![{\displaystyle z\mapsto 2^{\alpha +\beta }[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha }[1+z+f(x,z)]^{-\beta }}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f34e882ac90bd394330ed5ed33f2a8ce5eae12)
![{\displaystyle [0,1]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle F_{n}^{(\beta )}(r)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}{\frac {{\sqrt {1+\beta +2n}}\cdot \Gamma (n+k+\beta +1)}{\Gamma (k+1)\,\Gamma (n-k+1)\,\Gamma (k+\beta +1)}}\,r^{k},\quad r\in [0,1]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ebb347a321a7df502ff8bac11a2a6fd83cf697)
