Zernike-Polynom

Zernike-Polynome:
$z_{1}^{-1},z_{1}^{+1},z_{2}^{-2}$, $z_{2}^{\pm 0},z_{2}^{+2},z_{3}^{-3}$, $z_{3}^{-1},z_{3}^{+1},z_{3}^{+3}$, $z_{4}^{-4},z_{4}^{-2},z_{4}^{\pm 0}$, $z_{4}^{+2},z_{4}^{+4},z_{6}^{-2}$.

Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte orthogonale Polynome auf dem Einheitskreis. Sie sind orthogonal bezüglich des Skalarprodukts $\langle f,g\rangle =\iint _{x^{2}+y^{2}\leq 1}f(x,y)g(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y$ in kartesischen beziehungsweise $\langle f,g\rangle =\int _{\phi =0}^{2\pi }\int _{\rho =0}^{1}f(\rho ,\phi )g(\rho ,\phi )\rho \mathrm {d} \rho \mathrm {d} \phi$ in Polarkoordinaten.

Die Zernike Polynome spielen insbesondere in der Wellenoptik eine wichtige Rolle. Es gibt bezüglich $\phi$ gerade und ungerade Zernike-Polynome.
Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:

$Z_{n}^{+m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos m\phi$, also $Z_{n}^{+m}(\rho ,-\phi )=Z_{n}^{+m}(\rho ,\phi )$,

und die ungeraden durch

$Z_{n}^{-m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin m\phi$, also $Z_{n}^{-m}(\rho ,-\phi )=-Z_{n}^{-m}(\rho ,\phi )$

wobei $m$ und $n$ nichtnegative ganze Zahlen sind. Zusätzlich wird gefordert, dass $m\leq n$ und $n-m$ gerade ist. $\phi$ ist der azimutale Winkel und $\rho$ ist der normierte radiale Abstand.

Die Radialpolynome $R_{n}^{m}$ sind definiert gemäß

$R_{n}^{m}(\rho )=\!\sum _{k=0}^{(n-m)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!}}\;\rho ^{n-2\,k}$,

wenn $n-m$ gerade ist und $R_{n}^{m}(\rho )=0$, wenn $n-m$ ungerade ist.

In dieser Form sind sie zu $R_{n}^{m}(1)=1$ normiert.

Eigenschaften

Zernike-Polynome sind ein Produkt eines radiusabhängigen Teils $R_{n}^{m}$ und eines winkelabhängigen Teils $G^{m}$:

$Z_{n}^{\pm m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\cdot G^{m}(\phi )\!.$

Zernike-Polynome:
Von oben nach unten: $Z_{0}$ bis $Z_{5}$.
Von links nach rechts: $Z^{<0}$ über $Z^{0}$ (auf der vertikalen Achse in der Mitte) bis $Z^{>0}$.

Zernike-Polynome werden üblicherweise in Polarkoordinaten angegeben. Mit $x=\rho \cos \phi$ und $y=\rho \sin \phi$ umgewandelt auf kartesische Koordinaten sind die Zernike-Polynome $Z_{n}^{\pm m}$ bivariate Polynome in $x$ und $y$.

Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel $2\pi /m$ ändert den Wert des Polynoms nicht:

$G^{m}(\phi +2\pi /m)=G^{m}(\phi )\!.$

Der radiusabhängige Teil $R_{n}^{m}(\rho )$ist ein Polynom über $\rho$ vom Grad $n$, welches nur Potenzen $\rho ^{k}$ mit $m\leq k\leq n$ und $k-m$ gerade enthält. Dadurch sind $\rho ^{k}\cos(m\phi )$ und $\rho ^{k}\sin(m\phi )$ und somit auch die Zernike-Polynome in kartesischen Koordinaten als Polynome in $x$ und $y$ darstellbar, vgl. Winkelfunktionen für weitere Vielfache.

Zernike-Polynome in Polarkoordinaten und in kartesischen Koordinaten

Polynom	Polarkoordinaten	Kartesische Koordinaten	Wellenoptische Interpretation
$Z_{0}^{0}$	$1$	$1$	Mittelwert (Piston)
$Z_{1}^{-1}$	$\rho \sin \phi$	$y$	Verschwenkung in der horizontalen Achse
$Z_{1}^{1}$	$\rho \cos \phi$	$x$	Verschwenkung in der vertikalen Achse
$Z_{2}^{0}$	$-1+2\rho ^{2}$	$-1+2(x^{2}+y^{2})$	Defokussierung
$Z_{2}^{-2}$	$\rho ^{2}\sin(2\phi )$	$2xy$	Astigmatismus schräg (45°) zu den Hauptachsen
$Z_{2}^{2}$	$\rho ^{2}\cos(2\phi )$	$x^{2}-y^{2}$	Astigmatismus in den Hauptachsen
$Z_{3}^{-1}$	$(3\rho ^{3}-2\rho )\sin \phi$	$3y(x^{2}+y^{2})-2y$	Koma, horizontale Achse
$Z_{3}^{1}$	$(3\rho ^{3}-2\rho )\cos \phi$	$3x(x^{2}+y^{2})-2x$	Koma, vertikale Achse
$Z_{4}^{0}$	$6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1$	$6(x^{2}+y^{2})^{2}-6(x^{2}+y^{2})+1$	Sphärische Aberration

$R_{n}^{m}$ ist eine bezüglich $\rho$ gerade (ungerade) Funktion, wenn $m$ gerade (ungerade) ist.

Der radiusabhängige Teil $R_{n}^{m}$ stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)$ dar.

$R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{(n-m)/2}\rho ^{m}P_{(n-m)/2}^{(m,0)}(1-2\rho ^{2})$

Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit

$R_{0}^{0}(\rho )=1$

$R_{1}^{1}(\rho )=\rho$

$R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1$

$R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}$

$R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho$

$R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}$

$R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1$

$R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}$

$R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}$

$R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho$

$R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}$

$R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}$

$R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1$

Allgemein ist $R_{n}^{n}(\rho )=\rho ^{n}.$

Anwendungen

In der Optik werden Zernike-Polynome benutzt, um Abbildungsfehler optischer Systeme quantitativ zu erfassen. Dies findet zum Beispiel in der adaptiven Optik Anwendung.

Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea beziehungsweise der Linse von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.

Literatur

Commons: Zernike-Polynom – Sammlung von Bildern

• Frits Zernike: „Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und seiner verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode.“ Physica 1, 689–704, 1934.
• Born and Wolf: Principles of Optics. Oxford: Pergamon, 1970.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Zernike Polynomial. In: MathWorld (englisch).