Erzeugende Funktion

In der Mathematik versteht man unter der (gewöhnlichen) erzeugenden Funktion einer Folge $(a_{n})$ die formale Potenzreihe

$A(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$.

Sie findet Verwendung in der Kombinatorik, Analysis, Algebra, Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie und in der Diskreten Mathematik.

Zum Beispiel ist die erzeugende Funktion der unendlichen konstanten Folge $(1,\,1,\,1,\,\ldots )$ die geometrische Reihe

$A(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}=1\cdot z^{0}+1\cdot z^{1}+1\cdot z^{2}+\ldots \,.$

Die Reihe konvergiert für alle $|z|<1$ und gegen den Wert

$A(z)={\frac {1}{1-z}}\,.$

Wegen der Verwendung formaler Potenzreihen spielen allerdings im Allgemeinen Konvergenzfragen keine Rolle – $z$ ist lediglich ein Symbol. Diese explizitere Darstellung als Potenzreihe ermöglicht oft Rückschlüsse auf die Folge.

Beispiele

Es gelten folgende Identitäten für die elementaren Funktionen:

$a_{n}$	$A_{n}$		erzeugende Funktion der
$n$	$\sum _{n=0}^{\infty }nz^{n}$	$={\frac {z}{(1-z)^{2}}}\quad$	Folge der natürlichen Zahlen $(0,1,2,3,\ldots )$
$n^{2}$	$\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}z^{n}$	$={\frac {z(1+z)}{(1-z)^{3}}}$	Folge der Quadratzahlen $(0,1,4,9,\ldots )$
$a^{n}$	$\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}z^{n}$	$={\frac {1}{1-az}}$	geometrischen Folge $(1,a,a^{2},a^{3},\ldots )$
${c \choose n}$	$\sum _{n=0}^{\infty }{c \choose n}z^{n}$	$=(1+z)^{c}$
$\!{c+n-1 \choose n}\!\!$	$\sum _{n=0}^{\infty }{c+n-1 \choose n}z^{n}$	$={\frac {1}{(1-z)^{c}}}$
${\frac {1}{n}}$	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}z^{n}$	$=\ln {\frac {1}{1-z}}$
${\frac {1}{n!}}$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}$	$=\mathrm {e} ^{z}$
${\frac {B_{n}}{n!}}$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}$	$=\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{z}-1}$

Mit dem Kürzel $B_{n}$ wird die Bellsche Zahlenfolge dargestellt.

Die erzeugenden Funktionen mancher Zahlenfolgen sind nicht elementar beschaffen. Durch Srinivasa Ramanujan, Richard Dedekind und Leonhard Euler wurden folgende erzeugende Funktionen für die reguläre Partitionszahlenfolge $P(n)$ und die strikte Partitionszahlenfolge $Q(n)$ ermittelt:

$\sum _{n=0}^{\infty }P(n)z^{n}$	$=(z;z\;)_{\infty }^{-1}$	$=\vartheta _{00}(z)^{-1/6}\vartheta _{01}(z)^{-2/3}{\biggl \{}{\frac {1}{16z}}{\bigl [}\vartheta _{00}(z)^{4}-\vartheta _{01}(z)^{4}{\bigr ]}{\biggr \}}^{-1/24}$
$\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)z^{n}$	$=(z;z^{2})_{\infty }^{-1}$	$=\vartheta _{00}(z)^{+1/6}\vartheta _{01}(z)^{-1/3}{\biggl \{}{\frac {1}{16z}}{\bigl [}\vartheta _{00}(z)^{4}-\vartheta _{01}(z)^{4}{\bigr ]}{\biggr \}}^{+1/24}$

Mit dem Buchstaben $\vartheta$ werden die elliptischen Theta-Nullwertfunktionen ausgedrückt.

Manipulation von erzeugenden Funktionen

Stellt man eine Folge als erzeugende Funktion dar, entsprechen bestimmte Manipulationen der Folge entsprechenden Manipulationen der erzeugenden Funktion.

Betrachten wir z. B. die Folge $(1,\,1,\,1,\,\ldots )$ mit der erzeugenden Funktion

$B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}={\frac {1}{1-z}}\,.$

Ableiten ergibt

$B'(z)={\frac {1}{(1-z)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)z^{n}\,.$

Das entspricht der Folge $(1,\,2,\,3,\,\ldots )$ Multiplikation mit $z$ ergibt

$z\ \!B'(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }nz^{n}\,.$

Wir erhalten also die Folge $(0,\,1,\,2,\,3,\,\ldots )\,.$

Ableiten einer erzeugenden Funktion entspricht also der Multiplikation des $n$-ten Gliedes der Folge mit $n$ und anschließender Indexverschiebung nach links, Multiplikation mit $z$ entspricht einer Verschiebung der Indizes nach rechts.

Betrachten wir eine weitere Folge $(a_{0},\,a_{1},\,a_{2},\,\ldots )$ mit der erzeugenden Funktion $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=A(z)$.
Multipliziert man $A(z)$ mit der erzeugenden Funktion $B(z)$ von oben gemäß der Cauchy-Produktformel erhält man

$A(z)B(z)=A(z){\frac {1}{1-z}}={\bigg (}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}{\bigg )}{\bigg (}\sum _{n=0}^{\infty }1\cdot z^{n}{\bigg )}=\sum _{n=0}^{\infty }{\bigg (}\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot 1{\bigg )}z^{n}\,.$

Der n-te Koeffizient des Produkts ist also von der Form $\sum _{k=0}^{n}a_{k}$. Das ist genau die Partialsumme der ersten $n$ Koeffizienten der ursprünglichen erzeugenden Funktion. Die Multiplikation einer erzeugenden Funktion mit ${\frac {1}{1-z}}$ liefert somit die Partialsummen.

Eine Übersicht über weitere mögliche Manipulationen liefert die folgende Tabelle:

Folge	erzeugende Funktion
$(a_{n}+b_{n})_{n\geq 0}$	$A(z)+B(z)$
${\bigg (}\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}{\bigg )}_{n\geq 0}$	$A(z)B(z)$
${\bigg (}\sum _{k=0}^{n}a_{k}{\bigg )}_{n\geq 0}$	${\frac {1}{1-z}}A(z)$
$(\lambda ^{n}a_{n})_{n\geq 0}$	$A(\lambda z)$
$((n+1)a_{n+1})_{n\geq 0}$	$A'(z)$
$(na_{n})_{n\geq 0}$	$z\ \!A'(z)$
$(n^{2}a_{n})_{n\geq 0}$	$z\ \!A'(z)+z^{2}A''(z)$
$a_{0},0,a_{2},0,a_{4},0,\ldots$	${\frac {1}{2}}{\bigl (}A(z)+A(-z){\bigr )}$
$0,a_{1},0,a_{3},0,a_{5},\ldots$	${\frac {1}{2}}{\bigl (}A(z)-A(-z){\bigr )}$

$A(z)$ ist die erzeugende Funktion der Folge $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )=(a_{n})_{n\geq 0}$,  $B(z)$ die der Folge $(b_{n})_{n\geq 0}$.

Anwendung

Erzeugende Funktionen sind ein wichtiges Hilfsmittel für das Lösen von Rekursionen und Differenzengleichungen sowie für das Zählen von Zahlpartitionen. Die punktweise Multiplikation einer erzeugenden Funktion mit der Identität $z\mapsto z$ entspricht der Verschiebung der modellierten Folgeglieder um eine Stelle nach hinten, wobei vorn, als neues Glied mit dem Index $0$, eine $0$ angefügt wird. Angenommen, wir haben die Rekursion $f_{n}=2f_{n-1},\ f_{0}=1$ zu lösen, dann ist $f_{n}\cdot z^{n}=2z\cdot f_{n-1}z^{n-1}$, und es gilt für die erzeugende Funktion

$F(z):=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\cdot z^{n}=f_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}\cdot z^{n}=1+2z\sum _{n=1}^{\infty }f_{n-1}\cdot z^{n-1}=1+2z\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\cdot z^{n}$

also

$F(z)=1+2z\cdot F(z)$

Auflösen nach F liefert

$F(z)={\frac {1}{1-2z}}\,.$

Wir wissen aber aus dem vorhergehenden Abschnitt, dass dies der Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}z^{n}$ entspricht, also gilt $f_{n}=2^{n}$ nach Koeffizientenvergleich.

Verschiedene Typen von erzeugenden Funktionen

Es gibt neben der gewöhnlichen erzeugenden Funktion noch weitere Typen von erzeugenden Funktionen. Manchmal erweist es sich als zweckmäßig, Folgen mit Hilfe der folgenden (nicht-gewöhnlichen) erzeugenden Funktionen zu betrachten.

Exponentiell erzeugende Funktion

Die exponentiell erzeugende Funktion (oder erzeugende Funktion vom Exponentialtyp) einer Folge $a_{n}$ ist die Reihe

$z\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}z^{n}\,.$

Die Exponentialfunktion $e^{z}$ ist z. B. die exponentiell erzeugende Funktion der Folge $(1,\,1,\,1,\,\ldots )\,$.

Dirichlet-erzeugende Funktion

Die Dirichlet-erzeugende Funktion einer Folge $a_{n}$ ist die Reihe

$s\mapsto \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}\,.$

Sie ist benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Die Riemannsche Zetafunktion $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$ ist z. B. die Dirichlet-erzeugende Funktion der Folge $(1,\,1,\,1,\,\ldots )\,$.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

→ Hauptartikel: Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Liegen alle $(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1 auf, so nennt man die erzeugende Funktion dieser Reihe auch wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion. Sie spielt z. B. eine Rolle bei der Berechnung von Erwartungswerten und Varianzen sowie bei der Addition von unabhängigen Zufallsvariablen.

Erzeugende Funktionen und die Z-Transformation

Sei $G\{a_{n}\}(z)$ die gewöhnliche erzeugende Funktion von $(a_{n})$ und sei ${\mathcal {Z}}\{a_{n}\}(z)$ die unilaterale Z-Transformation von $(a_{n})$. Der Zusammenhang zwischen der erzeugenden Funktion und der Z-Transformierten ist

$G\{a_{n}\}(z)={\mathcal {Z}}\{a_{n}\}{\Big (}{\frac {1}{z}}{\Big )}.$

Aus einer Tabelle von Z-Transformationen kann man damit die entsprechenden erzeugenden Funktionen gewinnen und umgekehrt.

Beispiel: Es ist ${\mathcal {Z}}\{1\}(z)={\frac {z}{z-1}}.$ Damit ergibt sich

$G\{1\}(z)={\frac {1/z}{1/z-1}}={\frac {z}{z}}\left({\frac {1/z}{1/z-1}}\right)={\frac {1}{1-z}}.$

Literatur

Wikibooks: Lineare Rekurrenzen, Potenzreihen und ihre erzeugenden Funktionen – Lern- und Lehrmaterialien

• Martin Aigner: Diskrete Mathematik. 5., überarbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-47268-5.
• Herbert S. Wilf: generatingfunctionology. 3. Auflage. A. K. Peters Ltd., Wellesley MA 2005, ISBN 978-1-56881-279-3 (2. Auflage. Academic Press, Boston MA u. a. 1994, ISBN 0-12-751956-4, im PDF 1,18 MB).