Diskussion:Vektor

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Archiv

2003 bis 2013 ab 2014

Wie wird ein Archiv angelegt?

Koordinatenvektor

In der Einleitung wird die Komponentendarstellung als "Koordinatenvektor" herausgestellt, angeblich mit besonderer Verwendung in der Wirtschaftsmathematik. Beleg ist ein Skript. Das ist doch in jeder Anwendung vorhanden als Darstellung in einer Basis. Ich halte das für völlig überflüssig und künstlich herangezogen.--Claude J (Diskussion) 05:19, 17. Nov. 2022 (CET)

Notation MatrixVektor-Produkt

In diesem Artikel steht das Matrix-Vektor-Produkt ohne Multiplikationssymbol, $A{\vec {x}}$. Im entsprechenden Wikipediaartikel Matrix-Vektor-Produkt hingegen mit. Gibt es eine Notation, die man in der Literatur als "üblich" bezeichnen würde? Wenn ja, so würde ich vorschlagen, dass diese für beide Artikel übernommen wird. --Mathze (Diskussion) 19:36, 1. Dez. 2023 (CET)

Einleitung, Definition

Hi allerseits,

umseitig lauten die ersten Zeilen: "Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra unter einem Vektor (lateinisch vector „Träger, Fahrer“) ein Element eines Vektorraums.

Dieser Artikel beschäftigt sich überwiegend mit Vektoren im geometrischen Sinn und mit Vektoren als Elementen des „Tupelraums“ .

Im engeren Sinne versteht man in der analytischen Geometrie unter einem Vektor ein mathematisches Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt."

Da hätt ich folgende Fragen: 1. Von wievielen möglichen "Sinnen" ist hier die Rede? Vom allgemeinen, vom geometrischen, vom tupelbezogenen und vom parallelverschiebebezogenes? Also 4? 2. Was ist nun eigentlich ein Vektor? Die Definition, ein Vektor sei Teil eines Vektorraums, lässt den Leser genauso dumm zurück, wie er hier eingetroffen ist. Zumal schon formallogisch ein Begriff nicht mit sich selbst definiert werden sollte. Und zumal man im Artikel Vektorraum nur liest, dass es dort Vektoren gebe. Grüße --Okmijnuhb 21:48, 21. Jan. 2025 (CET) Ach ja. Sind die drei weiteren "Sinne" von Vektoren auch Teile eines Vektorraums? Oder wie ist deren Definition?

Formallogisch wird der Begriff des Vektorraums definiert. Die Elemente eines Vektorraums nennt man dann "Vektoren". Insofern wird hier kein Begriff mit sich selbst definiert. --Digamma (Diskussion) 19:43, 28. Jan. 2025 (CET)

PS: In allen genannten Sinnen sind Vektoren Elemente von Vektorräumen. --Digamma (Diskussion) 19:44, 28. Jan. 2025 (CET)

Ein Kind ist ein Element in einem Kinderzimmer. Ja. Aber was ist denn nun ein Kind? Grüße --Okmijnuhb 23:23, 28. Jan. 2025 (CET)

Dieses Argument geht ins Leere, weil ein Kinderzimmer i. A. neben Kindern auch noch andere Elemente enthält (z. B. ein Bett, einen Kasten, eine Lampe usw.), während jedes Element eines Vektorraumes ein Vektor ist. Nebenbei bemerkt werden auch die besten Analogien aus dem Alltag wohl niemals besonders weit reichen können, weil die zugehörigen Begriffe dann aus unserer natürlichen Sprache stammen und ihnen daher jene Präzision fehlt, der wir (nur?) in den formalen Wissenschaften begegnen.--SeemameeS (Diskussion) 02:18, 29. Jan. 2025 (CET)

Das glaube ich gerne, aber der Frage, was nun ein Vektor ist, hat uns das nicht näher gebracht. Hier steht: Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums. Im Artikel "Vektorraum" steht, dass es in Vektorräumen Vektoren gibt. Das dreht sich doch im Kreis. Was sind nun Vektoren? Ein Buchstabe ist ein Element im Alphabet. Unzweifelhaft richtig. Und es gibt keine anderen Elemente. Jedes Element ist einer. Aber das erklärt nicht, was ein Buchstabe ist... Grüße --Okmijnuhb 03:13, 29. Jan. 2025 (CET)

Falls diese Analogie hinreichend weit reicht, müssten sich die Details der Erklärung in einer Definition des Begriffs „Alphabet“ finden lassen, die das Wort „Buchstabe“ nicht verwendet.

Denn für die Vektoren trifft genau das zu: Im Artikel „Vektorraum“ steht nämlich noch mehr als, dass es in Vektorräumen Vektoren gibt (was ja auch nichts anderes als eine Namensgebung für die Elemente einer solchen Menge ist und als solche natürlich überhaupt nichts Inhaltliches zum Thema beiträgt). Im Abschnitt „Definiton“ wird nämlich genau festgelegt, unter welchen Bedingungen eine Menge zu einem „Vektorraum“ wird. Dabei kommt das Wort „Vektor“ gar nicht vor (was übrigens – nach der Einleitung – sogar für die ganze erste Hälfte des Artikels bis zum Abschnitt „Basis eines Vektorraums“ gilt).

Wir drehen uns also nicht im Kreis, denn ein Vektorraum wird keineswegs dadurch definiert, dass seine Elemente „Vektoren“ genannt werden. Nur umgekehrt wird ein Schuh draus: Vektoren sind dadurch definiert, dass sie Elemente eines Vektorraums sind. Vielleicht wäre es didaktisch besser, auch in der Einleitung noch gar nicht von Vektoren zu sprechen? Es spricht manches dafür, aber einiges auch dagegen. Das Missverständnis, dem du unterliegst, würde dann jedenfalls nicht so leicht aufkommen können…--SeemameeS (Diskussion) 09:27, 29. Jan. 2025 (CET)

Hm. Ich gehe davon aus, dass alles richtig ist, was Du sagst, und was im Artikel steht. Aber es ist nicht recht verständlich, wenn man kein Matheprof ist. Im Artikel Vektorraum lese ich auch nicht, was ein Vektor ist. Ich lese, was man damit machen kann (durch +/* einen neuen Vektor basteln) und dass "Vektoren des euklidischen Raumes" wohl die grundlegende Idee waren. Umseitig lese ich in der Einleitung nichts vom euklidischen Raum (das Wort kommt erst in 9.1 vor). Ist das jetzt eine fünfte Sorte? Oder dieselbe wie die geometrische?

Eine Resterinnerung sagt mir, dass ein Vektor einen Ausgangspunkt und eine Richtung hat. Dann wäre er doch wohl eine Halbgerade? Oder hat er auch eine Länge? Wäre er dann eine Strecke?

Falls das irgendeinen Hauch von richtig haben sollte: dann hats vermutlich mit Gemoetrie zu tun. Ist das das, was mit euklidisch gemeint ist? Dann hätten wir wenigstens mal einen halbwegs verständlichen Beginn. Und davon mag dann abstrahiert werden. Grüße --Okmijnuhb 12:10, 29. Jan. 2025 (CET)

• „wenn man kein Matheprof ist“: Natürlich kommt es darauf an, auf welchem Niveau du das verstehen willst. Wenn du all das über Vektoren wissen wolltest, was ein guter Mathematiker darüber weiß, dann würdest du wohl Mathematiker werden müssen, was bekanntlich ein paar Jahre lang dauert (schon Euklid sagte ja, dass es keinen Königsweg zur Mathematik gibt). Begnügtest du dich aber mit dem Wissen, das von unseren SchülerInnen erwartet wird, dann bräuchtest du nur ein paar ausgewählte Kapitel aus der Schulbuchliteratur zu lesen, was sich leicht in ein paar Tagen erledigen (und durch Hinzuziehen eines Studenten als Berater für ein paar Euro vermutlich deutlich abkürzen) ließe. Die meisten Wikipediartikel streben für die Leser weder das eine noch das andere an, sondern irgendetwas dazwischen.
• „was ein Vektor ist“: Wenn man weiß, was ein Vektorraum ist, sollte man eigentlich automatisch auch wissen, was ein Vektor ist (nämlich ein Element eines Vektorraumes).
• „was man damit machen kann“: Das sollte auch reichen, denn genau davon ist in der Definition eines Vektorraums (und damit implizit auch in einer Definition eines Vektors) die Rede. Wenn dir das nicht reicht, dann stellst du (für dich) vermutlich die falschen Fragen.
• „nichts vom euklidischen Raum“: Dieser Begriff hat zwei unterschiedliche Bedeutungen. Historisch meinte man damit den dreidimensionalen Anschauungsraum, wie er von Euklid seiner Abstraktion zugrunde gelegt wurde. Erst in neuerer Zeit wurde er auch für eine ganz spezielle Art von Vektorräumen verwendet, in denen nämlich neben den Forderungen der allgemeinen Definition noch Weiteres gefordert wird, was eine sinnvolle Einführung von Begriffen wie Länge oder Winkel ermöglicht. Der Begriff eines Vektorraums (und damit implizit auch der eines Vektors) wird durch einige solche Spezifizierungen (Zusatzbedingungen) hierarchisch verzweigt, analog etwa zum Begriff „Säugetier“, der sich zunächst in „Hunde“, „Affen“, „Menschen“ usw. verzweigt und dann etwa die Hunde weiter in „Dackel“, „Pudel“, usw., usw. usf… Die Frage, was denn ein Säugetier „wirklich“ sei, könnte man auch durch „ein Element der Menge aller Säugetiere“ beantworten. Inhaltlich findet man die definierenden Eigenschaften eines Säugetiers vielleicht in irgendeiner Art Definition aufgelistet, aber man könnte stattdessen auch rein formal sagen, dass es sich dabei um all das handelt, „was allen Menschen, Affen, Dackeln, Pudeln usw. gemeinsam ist“).

Ich kann der hier gebotenen Kürze wegen nicht im Einzelnen (und schon gar nicht ausführlich) auf deine abschließenden Detailfragen eingehen, hoffe aber, dennoch ein paar brauchbare Anregungen für ein selbstständiges weiterführendes Erforschen des fraglichen Stoffes gegeben zu haben. Viel mehr wird im hier vorgegeben Rahmen nicht möglich sein.

Gruß, SeemameeS (Diskussion) 20:23, 29. Jan. 2025 (CET)

Vielen Dank, dass Du Dir solche Mühe gibst. Vielleicht bin ich ein besonders aussichtsloser Fall. Und Gott sei Dank: ich muss gar nicht wissen, was ein Vektor ist. Ich möchte nur darauf hinweisen, dass der Artikel zwar vielleicht superkorrekt ist, aber von vielen Menschen nicht verstanden wird. Wenn ich einem Kind in der Kita erklären müsste, was ein Säugetier ist, ich würde nicht sagen "ein Element aus der Menge der Säugetiere". Das ist das Sichimkreisdrehen: eine Definition mit sich selbst. Die Beispiele Hund, Affe, Mensch wären sicherlich hilfreich. Und letztlich kann man wohl sagen: jeder, der als "Kind" Milch bei seiner Mama trinkt, ist ein Säugetier. Und jeder, das ist ein Lebewesen, ein Tier. Damit kann das Kind etwas anfangen, das baut auf bekanntem Wissen auf. Zu sagen: "Vektoren sind Elemente des Vektorraums, Vektorräume bestehen aus Vektoren" scheint mir unzureichend zu sein. Wenn hier Mathelehrer mitlesen: bitte lasst die Kids mit sowas nicht allein... Grüße --Okmijnuhb 09:52, 30. Jan. 2025 (CET)

Ich finde die Einleitung auch didaktisch ungeschickt, da sie vom allgemeinen zum speziellen fortschreitet, also auf "deduktive Weise". Besser wäre ein induktives Vorgehen: Zunächst nennt man den "speziellen" Vektorbegriff, also die Vorstellung eines "Pfeils", der durch Größe und Richtung festgelegt ist. Darunter sollten sich die meistem Leser dieses Artikels etwas vorstellen können. Dazu zählen insbesondere die geometrischen Vektoren und die physikalischen Vektoren. Bettet man die Pfeilvektoren in ein Koordinatensystem ein und drückt sie mithilfe der Koordinaten aus, so erhält man die Zahlentupel als weiteren Vektorbegriff. Nun sollte genannt werden, dass man mit alle diesen Vektorbegriffen - geometrisch, physikalisch, Zahlentupel - rechnen kann und dass dabei bestimmte "Regeln" oder "Gesetze" erfüllt sind. Von hier ist es dann nur noch ein kleiner Schritt zum allgemeinen Vektorbegriff der linearen Algebra: Alle Objekte, mit denen man nach den vorher vorgestellten Regeln rechnen kann, sind Vektoren. Ich hoffe, dass das auch die Frage von @Okmijnuhb beantwortet, was ein Vektor nun ist. Es ist ein bisschen wie mit Zahlen: Jede Zahl ist etwas, was sich wie eine Zahl verhält, wenn man mit ihr rechnet. --Mathze (Diskussion) 16:50, 6. Mär. 2025 (CET)

Übrigens wird der Vektorbegriff sowie der Übergang von Pfeilvektoren zu abstrakten Vektoren auf didaktisch wunderbare Art im DDR-Buch Mathematik 12 aus dem Jahr 1981 dargestellt. Das Buch kann man hier runterladen: https://mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2016/01/LBMathe_12_1981.pdf --Mathze (Diskussion) 17:04, 6. Mär. 2025 (CET)

Danke, das ist deutlich besser. Trotzdem bin ich froh, dass ich nicht in der 12. Klasse bin. Grüße --Okmijnuhb 22:45, 6. Mär. 2025 (CET)

Wenn ich mich richtig erinnere, hatte ich vor langer Zeit mal eine Einleitung geschrieben, die so ähnlich vorging. Irgendjemand hat dann gemeint, das sei unenzyklopädisch, am Beginn müsste die allgemeine Definition stehen. --Digamma (Diskussion) 11:48, 8. Mär. 2025 (CET)

11. August 2010. Es gelingt mir leider nicht, den Permalink zu kopieren. --Digamma (Diskussion) 11:56, 8. Mär. 2025 (CET)

https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vektor&oldid=77705760 --Digamma (Diskussion) 12:00, 8. Mär. 2025 (CET)

Und https://de.m.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Vektor/Archiv/1#Begriff hier die damalige Diskussion. --Digamma (Diskussion) 12:09, 8. Mär. 2025 (CET)

Ich finde Deinen damaligen Vorschlag https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vektor&oldid=77705760 sehr gelungen und verständlich. Darüber hinaus trifft er genau die Balance zwischen Verständlichkeit und formaler Strenge. Wenn man ihn noch etwas anpasst, so finde ich, könnte dabei eine deutlich bessere Einleitung als die bisherige bei rauskommen. Dass man in einer Enzyklopädie imer vom Allgemeinen zum Speziellen vorstoßen muss, halte ich für einen Mythos. Im Artikel

Abgesehen davon hast Du in der Diskussion damals zu Recht darauf hingewiesen, dass es sich um zwei verschiedene Konzepte handelt und man nicht zu 100 % sagen kann, dass geometrishe Vektoren ein Spezialfall des Vektorbegriffs der linearen Algebra sind. Von meiner Seite also ein dafür, dass Deine alte Version zur Einleitung gemacht wird. --Mathze (Diskussion) 12:41, 8. Mär. 2025 (CET)

Magst du das machen? --Digamma (Diskussion) 17:39, 10. Mär. 2025 (CET)

Ja, ich kümmere mich drum. Vermutlich aber erst später diese Woche. --Mathze (Diskussion) 21:06, 10. Mär. 2025 (CET)

Ich habe das erledigt. --Mathze (Diskussion) 13:20, 16. Mär. 2025 (CET)

Wenn man sagt, dass Vektoren einfach Elemente von Vektorräumen sind, liegt natürlich das "Problem" vor, dass jedes mathematische Objekt o ein Vektor ist: Man bastle einfach "den" Nullraum mit o als 0. Die Frage "Ist o ein Vektor?" ergibt jedenfalls insofern wenig Sinn.

Auch beachtenswert ist: Für Gruppen oder Ringe (und viele weitere analoge Beispiele) gibt es kein "Vektor" entsprechendes Wort für die Elemente.

Ebenso: Ein und dasselbe Objekt kann Element verschiedener Vektorräume sein, und dabei jeweils unterschiedliche Rollen annehmen. Es könnte hier der Nullvektor sein, und dort nicht. --Daniel5Ko (Diskussion) 22:19, 7. Feb. 2025 (CET)