Desigualdade triangular

En xeometría, a desigualdade triangular é o feito de que, nun triángulo, a lonxitude dun lado é menor que a suma das lonxitudes dos outros dous lados. Esta desigualdade é relativamente intuitiva. Na vida ordinaria, como na xeometría euclidiana, isto tradúcese no feito de que a liña recta é o camiño máis curto: o camiño máis curto do punto A ao punto B é ir recto alí, sen pasar por un terceiro punto C que non estea na recta.

Enunciados

En xeometría

Nun plano euclidiano, sexa un triángulo ABC. Entón, as lonxitudes AB, AC e BC satisfán as seguintes tres desigualdades:

$AB\leqslant AC+CB$ ;
$AC\leqslant AB+BC$ ;
$BC\leqslant BA+AC$ .

A conxunción destas tres desigualdades é equivalente á dupla desigualdade: $|AC-CB|\leqslant AB\leqslant AC+CB$ .

A primeira destas últimas desigualdades reflicte que nun triángulo, a lonxitude dun lado é maior que a diferenza das lonxitudes dos outros dous^[1].

O caso da igualdade na segunda desigualdade sería:

$AB=AC+CB\Leftrightarrow C\in [AB]$ .

Para os números complexos

Usando unha representación complexa do plano euclidiano, podemos observar

$x={\text{afixo de }}{\overrightarrow {AC}}$
$y={\text{afixo de }}{\overrightarrow {CB}}$

Obtemos esta formulación equivalente.

Para $(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}$ , temos :

$|x+y|\leqslant |x|+|y|$ ;
$|x+y|=|x|+|y|\Longleftrightarrow \exists (\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} _{+}^{2}\setminus \{(0,0)\},\ \lambda y=\mu x$ .

Xeneralización a espazos prehilbertianos

Sexa $(E,\langle \cdot |\cdot \rangle )$ un espazo prehilbertiano real. Denotamos $\|\cdot \|$ como a norma asociada ao produto escalar. Para $(x,y)\in E^{2}$ , usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz e o seu caso de igualdade, entón demostramos a desigualdade de Minkowski:

$\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|$ ;
$\|x+y\|=\|x\|+\|y\|\Longleftrightarrow \exists (\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} _{+}^{2}\setminus \{(0,0)\},\ \lambda y=\mu x$ ( $x$ e $y$ relacionados positivamente).

(Todo espazo pre-hilbertiano complexo $(E,\langle \cdot |\cdot \rangle ')$ é un espazo real pre-hilbertiano, para o produto escalar $\langle x|y\rangle :=\mathrm {Re} (\langle x|y\rangle ')$ , que induce a mesma norma que o produto hermitiano $\langle \cdot |\cdot \rangle '$ .)

Punto de vista axiomático

Sexa $E$ un conxunto e $d:E\times E\to \mathbb {R} ^{+}$ . Dicimos que $d$ é unha distancia en $E$ se:

$\forall (x,y)\in E^{2},\ d(x,y)=d(y,x)$
$\forall (x,y)\in E^{2},\ d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y$
$\forall (x,y,z)\in E^{3},\ d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$

A terceira propiedade require que para que $d$ sexa unha distancia debe verificar a desigualdade triangular. Xunto coa primeira, implica:

$\forall (x,y,z)\in E^{3},\ |d(x,z)-d(y,z)|\leqslant d(x,y)$

e máis xeralmente, para calquera parte $A$ non baleira de $E$ , $|d(x,A)-d(y,A)|\leqslant d(x,y)$ (ver " Distancia").

Reciprocamente, $|d(x,z)-d(y,z)|\leqslant d(x,y)\Longrightarrow d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ .

Todo espazo vectorial normado $(E,\|~\|)$ , especialmente $(\mathbb {C} ,|~|)$ , está naturalmente provisto dunha distancia $d$ , definido por $d(x,y)=\|x-y\|$ , para o que o incremento $|d(x,0)-d(y,0)|\leqslant d(x,y)$ reescríbese:

${\Big |}\|x\|-\|y\|{\Big |}\leqslant \|x-y\|$ .

Desigualdade triangular xeneralizada

Podemos iterar a desigualdade triangular para un número finito de elementos.

En xeometría, isto dá :

$A_{1}A_{n}\leqslant A_{1}A_{2}+\cdots A_{n-1}A_{n}$ , sendo o caso de igualdade para $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}$ na mesma recta nesta orde.

Para complexos, isto dá :

$|z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}|\leqslant |z_{1}|+|z_{2}|+\cdots +|z_{n}|$ , sendo o caso de igualdade se $z_{1}\neq 0$ : $z_{k}/z_{1}$ é un real estritamente positivo para $k=1\cdots n$ .

Para un espazo vectorial normado:

$\|x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\|\leqslant \|x_{1}\|+\|x_{2}\|+\cdots +\|x_{n}\|$ .

Sendo o caso de igualdade no caso prehilbertiano: Os $x_{k}$ vinculados positivamente de dous en dous.

Desigualdade triangular para integrais

Se $f$ é unha función integrábel no sentido de Riemann (en particular se é continua por intervalos) nun intervalo $[a,b],a<b$ , con valores nun espazo vectorial estandarizado, entón^[2]: