Goldham erlernte das Eishockeyspielen in seiner Geburtsstadt Georgetown in der Provinz Ontario, um dann über die unterklassigen Teams der Ontario Hockey Association zum traditionsreichen Juniorenteam der Toronto Marlboros zu gelangen. Dort spielte der Verteidiger zwischen 1939 und 1941 in der OHA.[1]
Erst zur Spielzeit 1945/46 kehrte der Kanadier in die NHL und zu den Toronto Maple Leafs zurück. Er machte sich in den folgenden beiden Jahren als einer der ersten Spieler, die gezielt Schüsse mit ihrem Körper abblockten, einen Namen in der Liga.[2] Obwohl er aufgrund einer im Dezember 1946 erlittenen Armverletzung den Rest des Spieljahres 1946/47 ausfiel, gewann er mit der Mannschaft schließlich seinen zweiten Stanley Cup. Anschließend wurde er im November 1947 gemeinsam mit Gus Bodnar, Bud Poile, Gaye Stewart und Ernie Dickens zum Ligakonkurrenten Chicago Black Hawks transferiert, die im Gegenzug Max Bentley und Cy Thomas nach Toronto abgaben.
In Chicago entwickelte sich der Abwehrspieler in den folgenden drei Jahren zu einem der besten Verteidiger der Liga, der folglich für die All-Star-Spiele1949 und 1950 nominiert. Zum Zeitpunkt des NHL All-Star Games 1950 war Goldham bereits Mitglied des amtierenden Stanley-Cup-Siegers Detroit Red Wings, nachdem er im Juli 1950 Bestandteil des bis dato größten Transfersgeschäfts der NHL-Geschichte gewesen war. Während sich die Red Wings die Dienste von Goldham, Jim Henry, Gaye Stewart und Metro Prystai sicherten, erhielten die Chicago Black Hawks die Spieler Al Dewsbury, Harry Lumley, Jack Stewart, Don Morrison und Pete Babando. Bei den Detroit Red Wings fand der Kanadier für die folgenden sechs Spielzeiten schließlich eine sportliche Heimat. In den Jahren 1952, 1954 und 1955 gewann er drei weitere Male den Stanley Cup. Ebenso oft nahm er am NHL All-Star Game teil. Darüber hinaus wurde der Defensivspezialist am Ende der Saison 1954/55 ins NHL Second All-Star Team berufen. Nach der Niederlage in der Finalserie der Stanley-Cup-Playoffs 1956 gegen die Canadiens de Montréal beendete Goldham im Alter von 34 Jahren seine aktive Karriere.
Nach seinem Karriereende blieb Goldham dem Eishockey aber verbunden und war in den 1970er-Jahren als Experte bei den Übertragungen von Hockey Night in Canada des Fernsehsenders CBC tätig. Er verstarb im September 1991 im Alter von 69 Jahren in seiner Wahlheimat Toronto. Für seine Verdienste um den Eishockeysport in Kanada wurde Goldham im Jahr 2015 posthum in die Hall of Fame des kanadischen Sports aufgenommen.
(Legende zur Spielerstatistik: Sp oder GP= absolvierte Spiele; T oder G= erzielte Tore; V oder A= erzielte Assists; Pkt oder Pts= erzielte Scorerpunkte; SM oder PIM= erhaltene Strafminuten; +/−= Plus/Minus-Bilanz; PP= erzielte Überzahltore; SH= erzielte Unterzahltore; GW= erzielte Siegtore; 1Play-downs/Relegation; Kursiv: Statistik nicht vollständig)