Binomická rovnice

Binomickou rovnicí nazýváme rovnici ve tvaru $x^{n}-a=0$ s komplexní neznámou x, číslo a je také komplexní číslo. Exponent neznámé x je přirozené číslo. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.

Řešení binomické rovnice

Řešení binomické rovnice lze najít zkoumáním goniometrického tvaru komplexního čísla. Mějme rovnici v základním tvaru, přičemž obě strany lze přepsat jako komplexní čísla v goniometrické tvaru
$\left|x^{n}\right|\left(\cos n\varphi +{\text{i}}\sin n\varphi \right)=|a|\left(\cos \omega +{\text{i}}\sin \omega \right)\,;\;x,a\in \mathbb {C} ,n\in \mathbb {N}$

Úhel $\omega$ komplexní číslo $a$ s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. Porovnáním absolutních hodnot je absolutní hodnota neznámé $x$

$|x|={\sqrt[{n}]{|a|}}$

Porovnáním úhlů a odvozením řešení je

${\begin{array}{rcl}\cos n\varphi &=&\cos \omega \\n\varphi &=&\omega +2k\pi \\\varphi &=&{\dfrac {\omega +2k\pi }{n}}\end{array}}$

Diskuse

V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu $\omega$. Pokud je číslo $a$ kladné reálné, poté uvažujeme úhel $\omega =0$. Naopak, když je $a$ reálné záporné, uvažujeme úhel $\omega =\pi$. Pokud uvažujeme, že $a$ má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:

Řešení

Binomická rovnice má celkem $n$ řešení. Při jejich hledání se za koeficient $k$ dosazují postupně hodnoty množiny $\{0;1;\cdots ;n-1\}$. Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného $n$-úhelníka. (Vrcholy takovného $n$-úhelníka pro rovnici $x^{n}-1=0$ leží na jednotkové kružnici v Gaussově rovině a navíc všechny tyto $n$-úhelníky mají jeden z vrcholů v bodě $[1;0]$, čili jedno z řešení je vždy $x_{1}=1$.) Samotné řešení je

1. možnost $\omega =0$

$x_{1,2,\cdots ,n}={\sqrt[{n}]{|a|}}\left[\cos \left({\frac {2k\pi }{n}}\right)+{\text{i}}\sin \left({\frac {2k\pi }{n}}\right)\right]$

2. možnost $\omega =\pi$

$x_{1,2,\cdots ,n}={\sqrt[{n}]{|a|}}\left[\cos \left({\frac {2k\pi +\pi }{n}}\right)+{\text{i}}\sin \left({\frac {2k\pi +\pi }{n}}\right)\right]$

3. možnost neurčitého $\omega$ a komplexního $a$

$x_{1,2,\cdots ,n}={\sqrt[{n}]{|a|}}\left[\cos \left({\frac {2k\pi +\omega }{n}}\right)+{\text{i}}\sin \left({\frac {2k\pi +\omega }{n}}\right)\right]$