Sein Debüt auf der ATP World Tour gab Bolt dank einer Wildcard im Herrendoppel der Australian Open 2013 an der Seite von Greg Jones. Sie erreichten die zweite Runde, in der sie Daniele Bracciali und Lukáš Dlouhý in zwei Sätzen unterlagen. 2014 erhielt er erneut eine Wildcard für die Doppelkonkurrenz, die er dieses Mal mit Andrew Whittington bestritt. Zusammen erreichten sie das Viertelfinale, nachdem sie unter anderem in der zweiten Runde die amtierenden Weltmeister, das an Position drei gesetzte spanische Doppel David Marrero und Fernando Verdasco, in drei Sätzen besiegten. Im Viertelfinale unterlagen sie in zwei Sätzen Daniel Nestor und Nenad Zimonjić. In der Weltrangliste rückte Alex Bolt nach diesem Erfolg auf Rang 100 vor.
Mit Whittington, meist sein Doppelpartner, gewann er außerdem die Challenger-Turniere in Anning 2014 und Canberra 2015. In Anning gelang im 2014 neben dem Doppel- auch der Einzelsieg. Im Finale besiegte er Nikola Mektić in zwei Sätzen. 2015 hatte er bei den BNP Paribas Open in Indian Wells außerdem sein erstes Einzelmatch auf der World-Tour. Nach überstandener Qualifikation verlor er in Runde 1 gegen Robin Haase glatt in zwei Sätzen.
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Australien
Anning
Nikola Mektić
Hubert Hurkacz
Nottingham
Wu Tung-lin
Lexington
Tom Jomby