(z 2 − 1)(z − 2 − i )2 / z 2 + 2 + 2i 色相環複變函數圖形 。色相 表示函数的辐角，饱和度 与明度 表示函数的幅值。複數 （英語：complex number ），為實數 的延伸 ，它使任一多項式 方程 都有根 。複數當中有個「虛數單位 」
i
{\displaystyle i}
−
1
{\displaystyle -1}
平方根 ，即
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
x
+
y
i
{\displaystyle x+yi}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
複數的發現源於三次方程 的根的表達式 。數學 上，「複」字表明所討論的數體 為複數，如複矩陣 、複變函數 等。
形式上，複數系統可以定義為普通實數的虛數i的代數擴展 。這意味著複數可以作為變量i中的多項式進行加，減和乘，並施加規則
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
域 。
在幾何上，複數通過將水平軸用於實部，將垂直軸用於虛部，將一維 數線 的概念擴展到二維 複平面 。這些數字的點位於複平面的垂直軸上。虛部 為零的複數可以看作是實數。
但是，複數允許使用更豐富的代數 結構，其中包括在向量空間 中不一定可用的附加運算。例如，兩個複數的乘積總是再次產生一個複數，並且不應將其誤認為是涉及向量的常規“乘積”。
最早提到有關負數 的平方根 的文獻出於公元1世紀古希腊数学家 亞歷山卓的希羅 ，他考慮的是一種不可能的平頂金字塔的體積，計算結果會是
81
−
144
=
3
i
7
{\displaystyle {\sqrt {81-144}}=3i{\sqrt {7}}}
144
−
81
=
3
7
{\displaystyle {\sqrt {144-81}}=3{\sqrt {7}}}
[ 1]
16世紀意大利數學家（請參看塔塔利亞 和卡爾達諾 ）得出一元三次 和四次方程式 的根的表達式，並發現即使只考慮實數根，仍不可避免面對負數方根。17世紀笛卡兒 稱負數方根為虛數 ，「子虛烏有的數」，表達對此的無奈和不忿。18世紀初棣莫弗 及歐拉 大力推動複數的接受。1730年，棣莫弗提出棣莫弗公式 ：
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
n
=
cos
n
θ
+
i
sin
n
θ
{\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }
而歐拉則在1748年提出分析學 中的歐拉公式 [ 2]
cos
θ
+
i
sin
θ
=
e
i
θ
{\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}
18世紀末，複數漸漸被大多數人接受，當時卡斯帕尔·韦塞尔 提出複數可看作平面上的一點。[ 3] 高斯 再提出此觀點並大力推廣，複數的研究開始高速發展。詫異的是，早於1685年約翰·沃利斯 已經在De Algebra tractatus 提出此一觀點。
卡斯帕尔·韦塞尔的文章發表在1799年的Proceedings of the Copenhagen Academy 上，以當今標準來看，也是相當清楚和完備。他又考慮球体 ，得出四元數 並以此提出完備的球面三角學 理論。1804年，Abbé Buée亦獨立地提出與沃利斯相似的觀點，即以
±
−
1
{\displaystyle \pm {\sqrt {-1}}}
讓-羅貝爾·阿爾岡 亦發表同類文章，而阿岡的複數平面成了標準。1831年高斯認為複數不夠普及，他發表了一篇備忘錄，奠定複數在數學的地位。[ 4] 柯西 及阿贝尔 的努力，掃除了複數使用的最後顧忌，後者更是首位以複數研究著名的。
複數吸引了著名數學家 的注意，包括库默尔 （1844年）、克罗内克 （1845年）、舍夫勒 贝拉维蒂斯 喬治·皮科克 （1845年）及德·摩根 （1849年）。莫比乌斯 發表了大量有關複數幾何的短文，約翰·彼得·狄利克雷 將很多實數概念，例如質數 ，推廣至複數。
費迪南·艾森斯坦 研究
a
+
b
j
{\displaystyle a+bj}
j
{\displaystyle j}
x
3
−
1
=
0
{\displaystyle x^{3}-1=0}
x
k
−
1
=
0
{\displaystyle x^{k}-1=0}
k
{\displaystyle k}
完美數 理論，經由菲利克斯·克莱因 （1893年）以幾何角度加以簡化。伽羅華 其後提出更一般的推廣——阿貝爾-魯菲尼定理 ，解決了五次以上多項式 的根不能表達問題。
尽管可以使用其他表示法，复数通常写为如下形式：
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
这裡的
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
实数 ，而i 是虛數單位 ，它有着性质
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
a
{\displaystyle a}
实部 ，而实数
b
{\displaystyle b}
虚部 。实数可以被认为是虚部为零的复数；就是说实数
a
{\displaystyle a}
a
+
0
i
{\displaystyle a+0i}
例如，
3
+
2
i
{\displaystyle 3+2i}
z
=
a
+
i
b
{\displaystyle z=a+ib}
a
{\displaystyle a}
Re
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
ℜ
(
z
)
{\displaystyle \Re (z)}
b
{\displaystyle b}
Im
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
ℑ
(
z
)
{\displaystyle \Im (z)}
在某些领域（特别是电子工程 ，这裡的i 是电流 的符号）中，虚部
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
a
+
j
b
{\displaystyle a+jb}
所有复数的集合 通常指示为
C
{\displaystyle C}
黑板粗体
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
子集 ，通过把实数 的所有成员当作复数：
a
=
a
+
0
i
{\displaystyle a=a+0i}
复数中的虚数是无法比较大小的，即两个虚数 只有相等和不等两种等量关系。
两个复数是相等的，当且仅当 它们的实部是相等的并且它们的虚部是相等的。就是说，設
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
實數 ，則
a
+
b
i
=
c
+
d
i
{\displaystyle a+bi=c+di}
a
=
c
{\displaystyle a=c}
b
=
d
{\displaystyle b=d}
通过形式上应用代数 的结合律 、交换律 和分配律 ，再加上等式
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
加法 ：
(
a
+
b
i
)
+
(
c
+
d
i
)
=
(
a
+
c
)
+
(
b
+
d
)
i
{\displaystyle \,(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
减法 ：
(
a
+
b
i
)
−
(
c
+
d
i
)
=
(
a
−
c
)
+
(
b
−
d
)
i
{\displaystyle \,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
乘法 ：
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
a
c
+
b
c
i
+
a
d
i
+
b
d
i
2
=
(
a
c
−
b
d
)
+
(
b
c
+
a
d
)
i
{\displaystyle \,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i}
除法 ：
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
(
a
+
b
i
)
(
c
−
d
i
)
(
c
+
d
i
)
(
c
−
d
i
)
=
a
c
+
b
c
i
−
a
d
i
−
b
d
i
2
c
2
−
(
d
i
)
2
=
(
a
c
+
b
d
)
+
(
b
c
−
a
d
)
i
c
2
+
d
2
=
(
a
c
+
b
d
c
2
+
d
2
)
+
(
b
c
−
a
d
c
2
+
d
2
)
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\,{\frac {(a+bi)}{(c+di)}}&={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bci-adi-bdi^{2}}{c^{2}-(di)^{2}}}\\&={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i\end{aligned}}}
複數可定義為實數
a
,
b
{\displaystyle a,b}
有序對 ，而其相關之和 及積 為：
(
a
,
b
)
+
(
c
,
d
)
=
(
a
+
c
,
b
+
d
)
{\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}
(
a
,
b
)
⋅
(
c
,
d
)
=
(
a
c
−
b
d
,
b
c
+
a
d
)
{\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)}
複數數系是一個體 ，複數體常以
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
一個實數
a
{\displaystyle a}
(
a
,
0
)
{\displaystyle (a,0)}
子體 。虛數單位
i
{\displaystyle i}
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
加法单位元 （“零元”）:
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
乘法单位元（“幺元”）:
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
加法逆元 :
(
−
a
,
−
b
)
{\displaystyle (-a,-b)}
非零
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
逆元 （倒数）:
(
a
a
2
+
b
2
,
−
b
a
2
+
b
2
)
{\displaystyle \left({a \over a^{2}+b^{2}},{-b \over a^{2}+b^{2}}\right)}
複數體亦可定為代數數 的拓撲閉包 或實數體的代數閉包 。
先把坐标轴画出来，横的叫实轴，竖的叫虚轴，然后确定0的位置，
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
二维空间 来表示出来。
z
{\displaystyle z}
阿甘得图 （得名於让-罗贝尔·阿冈 ，也叫做高斯 平面）的二维笛卡尔坐标系 内的一个点或位置向量 。这个点也就是这个复数
z
{\displaystyle z}
x
=
ℜ
z
{\displaystyle x=\Re z}
y
=
ℑ
z
{\displaystyle y=\Im z}
笛卡尔坐标 表示叫做复数的“笛卡尔形式”、“直角形式”或“代数形式”。
z
=
r
e
i
ϕ
{\displaystyle z=re^{i\phi }}
|
z
|
=
r
{\displaystyle |z|=r}
z
{\displaystyle z}
「絕對值 」 （「模 」 、「幅值 」 、「大小 」 ）。如果
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
|
z
|
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
對所有
z
{\displaystyle z}
w
{\displaystyle w}
|
z
|
−
|
w
|
≤
|
z
+
w
|
≤
|
z
|
+
|
w
|
{\displaystyle |z|-|w|\leq |z+w|\leq |z|+|w|}
|
z
w
|
=
|
z
|
|
w
|
{\displaystyle |zw|=|z|\;|w|}
|
z
w
|
=
|
z
|
|
w
|
{\displaystyle \left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {|z|}{|w|}}}
當定義了距離
d
(
z
,
w
)
=
|
z
−
w
|
{\displaystyle d(z,w)=\left|z-w\right|}
度量空间 ，我們亦可談極限 和連續 。加法、乘法及除法都是連續的運算。
z
=
a
+
i
b
{\displaystyle z=a+ib}
共軛複數 定義為
z
=
a
−
i
b
{\displaystyle z=a-ib}
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
z
{\displaystyle z}
z
+
w
¯
=
z
¯
+
w
¯
{\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}}
z
w
¯
=
z
¯
⋅
w
¯
{\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}}
(
z
w
)
¯
=
z
¯
w
¯
{\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}}
z
¯
¯
=
z
{\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z}
z
¯
=
z
{\displaystyle {\overline {z}}=z}
z
{\displaystyle z}
|
z
|
=
|
z
¯
|
{\displaystyle |z|=|{\overline {z}}|}
|
z
|
2
=
z
z
¯
{\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}}
z
−
1
=
z
¯
|
z
|
−
2
{\displaystyle z^{-1}={\overline {z}}|z|^{-2}}
z
{\displaystyle z}
對於所有代數運算
f
{\displaystyle f}
f
(
z
¯
)
=
f
(
z
)
¯
{\displaystyle f({\overline {z}})={\overline {f(z)}}}
正弦 「
sin
{\displaystyle \sin }
i
{\displaystyle i}
x
2
=
−
1
{\displaystyle x^{2}=-1}
全纯函数 ）。
一複數
z
=
r
e
i
ϕ
{\displaystyle z=re^{i\phi }}
ϕ
{\displaystyle \phi }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
對於乘法和除法分別有：
r
e
α
i
s
e
β
i
=
(
r
s
)
e
(
α
+
β
)
i
{\displaystyle \,re^{\alpha i}se^{\beta i}=(rs)e^{(\alpha +\beta )i}}
r
e
α
i
s
e
β
i
=
r
s
e
(
α
−
β
)
i
{\displaystyle \,{\frac {re^{\alpha i}}{se^{\beta i}}}={\frac {r}{s}}e^{(\alpha -\beta )i}}
z
=
(
x
+
i
y
)
{\displaystyle z=(x+iy)}
sin
z
=
sin
x
cosh
x
+
i
cos
y
sinh
y
{\displaystyle \sin {z}=\sin {x}\cosh {x}+i\cos {y}\sinh {y}}
cos
z
=
cos
x
cosh
x
−
i
sin
y
sinh
y
{\displaystyle \cos {z}=\cos {x}\cosh {x}-i\sin {y}\sinh {y}}
tan
z
=
sin
z
cos
z
=
sin
x
cosh
x
+
i
cos
y
sinh
y
cos
x
cosh
x
−
i
sin
y
sinh
y
{\displaystyle \tan {z}={\frac {\sin {z}}{\cos {z}}}={\frac {\sin {x}\cosh {x}+i\cos {y}\sinh {y}}{\cos {x}\cosh {x}-i\sin {y}\sinh {y}}}}
cot
z
=
1
tan
z
=
cos
z
sin
z
=
cos
x
cosh
x
−
i
sin
y
sinh
y
sin
x
cosh
x
+
i
cos
y
sinh
y
{\displaystyle \cot {z}={\frac {1}{\tan {z}}}={\frac {\cos {z}}{\sin {z}}}={\frac {\cos {x}\cosh {x}-i\sin {y}\sinh {y}}{\sin {x}\cosh {x}+i\cos {y}\sinh {y}}}}
sec
z
=
1
cos
z
=
1
cos
x
cosh
x
−
i
sin
y
sinh
y
=
cos
x
cosh
x
(
cos
x
cosh
x
)
2
+
(
sin
y
sinh
y
)
2
+
i
sin
y
sinh
y
(
cos
x
cosh
x
)
2
+
(
sin
y
sinh
y
)
2
=
cos
z
¯
|
cos
z
|
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\sec {z}&={\frac {1}{\cos {z}}}={\frac {1}{\cos {x}\cosh {x}-i\sin {y}\sinh {y}}}\\&={\frac {\cos {x}\cosh {x}}{\left(\cos {x}\cosh {x}\right)^{2}+\left(\sin {y}\sinh {y}\right)^{2}}}+i{\frac {\sin {y}\sinh {y}}{\left(\cos {x}\cosh {x}\right)^{2}+\left(\sin {y}\sinh {y}\right)^{2}}}\\&={\frac {\cos {\bar {z}}}{\left\vert \cos {z}\right\vert ^{2}}}\end{aligned}}}
csc
z
=
1
sin
z
=
1
sin
x
cosh
x
+
i
cos
y
sinh
y
=
sin
x
cosh
x
(
sin
x
cosh
x
)
2
+
(
cos
x
sinh
x
)
2
+
i
−
cos
x
sinh
x
(
sin
x
cosh
x
)
2
+
(
cos
x
sinh
x
)
2
=
sin
z
¯
|
sin
z
|
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\csc {z}&={\frac {1}{\sin {z}}}={\frac {1}{\sin {x}\cosh {x}+i\cos {y}\sinh {y}}}\\&={\frac {\sin {x}\cosh {x}}{\left(\sin {x}\cosh {x}\right)^{2}+\left(\cos {x}\sinh {x}\right)^{2}}}+i{\frac {-\cos {x}\sinh {x}}{\left(\sin {x}\cosh {x}\right)^{2}+\left(\cos {x}\sinh {x}\right)^{2}}}\\&={\frac {\sin {\bar {z}}}{\left\vert \sin {z}\right\vert ^{2}}}\end{aligned}}}
反函數 :
arcsin
z
=
−
i
ln
(
i
z
+
1
+
z
2
)
{\displaystyle \arcsin {z}=-i\ln {\left(iz+{\sqrt {1+z^{2}}}\right)}}
arccos
z
=
π
2
−
arcsin
z
=
−
i
ln
(
z
+
z
2
−
1
)
{\displaystyle \arccos {z}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin {z}=-i\ln {\left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)}}
arctan
z
=
i
2
ln
(
1
−
i
z
1
+
i
z
)
{\displaystyle \arctan {z}={\frac {i}{2}}\ln {\left({\frac {1-iz}{1+iz}}\right)}}
arccot
z
=
i
2
ln
(
z
+
i
z
−
i
)
{\displaystyle \operatorname {arccot} {z}={\frac {i}{2}}\ln {\left({\frac {z+i}{z-i}}\right)}}
arcsec
z
=
arccos
1
z
=
−
i
ln
(
1
z
+
1
z
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcsec} {z}=\arccos {\frac {1}{z}}=-i\ln {\left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)}}
arccsc
z
=
arcsin
1
z
=
−
i
ln
(
i
z
+
1
+
1
z
2
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc} {z}=\arcsin {\frac {1}{z}}=-i\ln {\left({\frac {i}{z}}+{\sqrt {1+{\frac {1}{z^{2}}}}}\right)}}
z
=
(
x
+
i
y
)
{\displaystyle z=(x+iy)}
sinh
z
=
e
z
−
e
−
z
2
{\displaystyle \sinh {z}={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}}
cosh
z
=
e
z
+
e
−
z
2
{\displaystyle \cosh {z}={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}}
tanh
z
=
sinh
z
cosh
z
=
e
z
−
e
−
z
e
z
+
e
−
z
{\displaystyle \tanh {z}={\frac {\sinh {z}}{\cosh {z}}}={\frac {e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}}}
coth
z
=
1
tan
z
=
cosh
z
sinh
z
=
e
z
+
e
−
z
e
z
−
e
−
z
{\displaystyle \coth {z}={\frac {1}{\tan {z}}}={\frac {\cosh {z}}{\sinh {z}}}={\frac {e^{z}+e^{-z}}{e^{z}-e^{-z}}}}
sech
z
=
1
cosh
z
=
2
e
z
+
e
−
z
{\displaystyle \operatorname {sech} {z}={\frac {1}{\cosh {z}}}={\frac {2}{e^{z}+e^{-z}}}}
csch
z
=
1
sinh
z
=
2
e
z
−
e
−
z
{\displaystyle \operatorname {csch} {z}={\frac {1}{\sinh {z}}}={\frac {2}{e^{z}-e^{-z}}}}
反函數 :
arcsinh
z
=
ln
(
z
+
z
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcsinh} {z}=\ln {\left(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\right)}}
arccosh
z
=
ln
(
z
+
z
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arccosh} {z}=\ln {\left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)}}
arctanh
z
=
ln
(
1
+
z
1
−
z
)
2
{\displaystyle \operatorname {arctanh} {z}={\frac {\ln {\left({\frac {1+z}{1-z}}\right)}}{2}}}
arccoth
z
=
ln
(
z
+
1
z
−
1
)
2
{\displaystyle \operatorname {arccoth} {z}={\frac {\ln {\left({\frac {z+1}{z-1}}\right)}}{2}}}
arcsech
z
=
arccosh
1
z
=
ln
(
1
z
+
1
z
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcsech} {z}=\operatorname {arccosh} {\frac {1}{z}}=\ln {\left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)}}
arccsch
z
=
arcsinh
1
z
=
ln
(
1
z
+
1
z
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arccsch} {z}=\operatorname {arcsinh} {\frac {1}{z}}=\ln {\left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\right)}}
X = A + B X = AB X = A *考虑一个平面 。一个点是原点0。另一个点是单位1。
两个点A 和B 的和 是点X = A + B 使得顶点 0, A , B 的三角形 和顶点X , B , A 的三角形是全等 的。
两个点A 和B 的积 是点X = AB 使得顶点0, 1, A 的三角形和顶点0 , B , X 的三角形是相似 的。
点A 的共轭复数 是点X = A * 使得顶点0, 1, A 的三角形和顶点0, 1, X 的三角形相互是镜像 。
复数
z
{\displaystyle z}
极坐标 来表示。
z
{\displaystyle z}
绝对值 或模 或大小 的
r
=
|
z
|
≥
0
{\displaystyle r=\left\vert z\right\vert \geq 0}
辐角 相位 的
φ
=
arg
z
{\displaystyle \varphi =\arg z}
r
=
0
{\displaystyle r=0}
φ
{\displaystyle \varphi }
z
=
0
{\displaystyle z=0}
极坐标 表示的情况，通常会设置
arg
0
=
0
{\displaystyle \arg 0=0}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
φ
{\displaystyle \varphi }
0
{\displaystyle 0}
r
>
0
{\displaystyle r>0}
φ
{\displaystyle \varphi }
模以
2
π
{\displaystyle 2\pi }
辐角 之差是
2
π
{\displaystyle 2\pi }
φ
{\displaystyle \varphi }
(
−
π
,
π
]
{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}
−
π
<
φ
≤
π
{\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }
极坐标形式的写法
z
=
r
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
{\displaystyle z=r\,(\cos \varphi +i\sin \varphi )}
被叫做“三角形式”。有时使用符号cis φ简写c osi s in欧拉公式 还可以写为
z
=
r
e
i
φ
,
{\displaystyle z=r\,\mathrm {e} ^{i\varphi }\,,}
这叫做“指数形式”。
x
=
r
cos
φ
{\displaystyle x=r\cos \varphi }
y
=
r
sin
φ
{\displaystyle y=r\sin \varphi }
r
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
φ
=
{
arctan
(
y
x
)
if
x
>
0
arctan
(
y
x
)
+
π
if
x
<
0
and
y
≥
0
arctan
(
y
x
)
−
π
if
x
<
0
and
y
<
0
+
π
2
if
x
=
0
and
y
>
0
−
π
2
if
x
=
0
and
y
<
0
u
n
d
e
f
i
n
e
d
if
x
=
0
and
y
=
0.
{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\\mathrm {undefined} &{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}
前面的公式要求非常繁杂的情况区分。但是很多编程语言提供了经常叫做atan2 一个变体的反正切 函数来处理这些细节。使用反余弦函数的公式要求更少的情况区分:
φ
=
{
+
arccos
x
r
if
y
≥
0
and
r
≠
0
−
arccos
x
r
if
y
<
0
u
n
d
e
f
i
n
e
d
if
r
=
0.
{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}+\arccos {\frac {x}{r}}&{\mbox{if }}y\geq 0{\mbox{ and }}r\neq 0\\-\arccos {\frac {x}{r}}&{\mbox{if }}y<0\\\mathrm {undefined} &{\mbox{if }}r=0.\end{cases}}}
在极坐标 形式下乘法 、除法 、指数和开方根要比笛卡尔形式下容易许多。
使用三角恒等式 得到
r
1
e
i
φ
1
⋅
r
2
e
i
φ
2
=
r
1
r
2
e
i
(
φ
1
+
φ
2
)
{\displaystyle r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}=r_{1}\,r_{2}\,e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}}
和
r
1
e
i
φ
1
r
2
e
i
φ
2
=
r
1
r
2
e
i
(
φ
1
−
φ
2
)
{\displaystyle {\frac {r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\,e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}}
依据棣莫弗定理 做整数幂的指数运算，
(
r
e
i
φ
)
n
=
r
n
e
i
n
φ
{\displaystyle {\big (}r\,e^{i\varphi }{\big )}^{n}=r^{n}\,e^{in\varphi }}
任意复数幂的指数运算在条目指数函数 中讨论。
两个复数的加法 只是两个向量的向量加法 ，乘以一个固定复数的可以被看作同时旋转和伸缩。
乘以
i
{\displaystyle i}
度 (
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
弧度 )。方程
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
π
{\displaystyle \pi }
(
−
1
)
×
(
−
1
)
=
+
1
{\displaystyle (-1)\times (-1)=+1}
任何数的所有方根 ，实数或复数的，都可以用简单的算法 找到。
n
{\displaystyle n}
r
e
i
φ
n
=
r
n
e
i
(
φ
+
2
k
π
n
)
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}\ e^{i\left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)}}
对于
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}
r
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}
r
{\displaystyle r}
n
{\displaystyle n}
ln
z
=
ln
|
z
|
+
i
(
arg
z
+
2
π
n
)
,
n
∈
Z
{\displaystyle \ln {z}=\ln {\left\vert z\right\vert }+i(\arg {z}+2\pi n),n\in \mathbb {Z} }
log
w
z
=
ln
z
ln
w
=
ln
|
z
|
+
i
(
arg
z
+
2
π
n
)
ln
|
w
|
+
i
(
arg
w
+
2
π
n
)
,
n
∈
Z
{\displaystyle \log _{w}{z}={\frac {\ln {z}}{\ln {w}}}={\frac {\ln {\left\vert z\right\vert }+i(\arg {z}+2\pi n)}{\ln {\left\vert w\right\vert }+i(\arg {w}+2\pi n)}},n\in \mathbb {Z} }
結論
式子
數域
定義
是否多值
z
a
{\displaystyle z^{a}}
a
∈
Z
{\displaystyle a\in \mathbb {Z} }
r
a
e
i
a
φ
{\displaystyle r^{a}e^{ia\varphi }}
否(單值)
z
n
{\displaystyle z^{n}}
n
∈
Q
{\displaystyle n\in \mathbb {Q} }
r
n
e
i
n
φ
{\displaystyle r^{n}e^{in\varphi }}
是(根號有多值)
z
w
{\displaystyle z^{w}}
w
∈
C
{\displaystyle w\in \mathbb {C} }
e
w
ln
z
{\displaystyle e^{w\ln {z}}}
是(複數 log 多值)
e
w
ln
z
=
cosh
(
w
ln
z
)
+
sinh
(
w
ln
z
)
=
cosh
(
w
(
ln
|
z
|
+
i
(
arg
z
+
2
π
n
)
)
)
+
sinh
(
w
(
ln
|
z
|
+
i
(
arg
z
+
2
π
n
)
)
)
,
n
∈
Z
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{w\ln {z}}&=\cosh {(w\ln {z})}+\sinh {(w\ln {z})}\\&=\cosh {\left(w(\ln {\left\vert z\right\vert }+i(\arg {z}+2\pi n))\right)}+\sinh {\left(w(\ln {\left\vert z\right\vert }+i(\arg {z}+2\pi n))\right)},n\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}
Γ
(
z
)
≈
2
π
z
z
−
1
2
e
−
z
{\displaystyle \Gamma {(z)}\approx {\sqrt {2\pi }}z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}}
z
!
≈
2
π
(
z
+
1
)
z
+
1
2
e
−
z
+
1
{\displaystyle z!\approx {\sqrt {2\pi }}(z+1)^{z+{\frac {1}{2}}}e^{-z+1}}
下表给出任何複數
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
加法 和乘法 的基本性质。
性質
加法
乘法
封闭性
a
+
b
∈
C
{\displaystyle a+b\in \mathbb {C} }
a
×
b
∈
C
{\displaystyle a\times b\in \mathbb {C} }
结合律
a
+
(
b
+
c
)
=
(
a
+
b
)
+
c
{\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}
a
×
(
b
×
c
)
=
(
a
×
b
)
×
c
{\displaystyle a\times (b\times c)=(a\times b)\times c}
交换律
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a+b=b+a}
a
×
b
=
b
×
a
{\displaystyle a\times b=b\times a}
存在单位元
a
+
0
=
a
{\displaystyle a+0=a}
a
×
1
=
a
{\displaystyle a\times 1=a}
存在逆元
a
+
(
−
a
)
=
0
{\displaystyle a+(-a)=0}
a
×
1
a
=
1
(
a
≠
0
)
{\displaystyle a\times {\frac {1}{a}}=1\quad (a\neq 0)}
分配律
a
×
(
b
+
c
)
=
a
×
b
+
a
×
c
{\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c}
這是個實用價值不大，但具數學 意義的表達式 ，是將複數看作能旋轉 及縮放 二維位置矢量 的2×2實數矩陣 ，即是
a
+
i
b
↔
(
a
−
b
b
a
)
=
r
[
cos
φ
−
sin
φ
sin
φ
cos
φ
]
=
r
exp
(
φ
[
0
−
1
1
0
]
)
,
{\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}=r{\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}}=r\exp \left(\varphi {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\right),}
其中
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
實數 。可算出此類矩陣 的和、積及乘法逆都是此類矩陣。此外
(
a
−
b
b
a
)
=
a
(
1
0
0
1
)
+
b
(
0
−
1
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&\;\;0\\0&\;\;1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}}
即實數1對應着單位矩陣
(
1
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\;\;0\\0&\;\;1\end{pmatrix}}}
而虛數單位
i
{\displaystyle i}
(
0
−
1
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}}
此矩陣令平面作逆時鐘90度旋轉，它的平方就是-1。
複數的絶對值就是行列式 的平方根 。這些矩陣對應相應的平面變換，其旋轉角度等於複數的徧角，改變比例等於複數的絶對值 。複數的軛就是矩陣的轉置 。
若矩陣中的
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
四元數 。由此，矩陣代表法可看成代數的凱萊-迪克森結構法 。
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
實 綫性空間 。[ 5] 全序 ：
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
有序體 。
滿足
p
(
z
)
=
0
{\displaystyle p(z)=0}
z 是多項式
p
{\displaystyle p}
代數基本定理 指出，所有
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
代數閉體 。
事實上，複數體是實數體的代數閉包 。它是多項式 環
R
[
X
]
{\displaystyle \mathbb {R} [X]}
理想
⟨
X
2
+
1
⟩
{\displaystyle \left\langle X^{2}+1\right\rangle }
商環 ：
C
=
R
[
X
]
/
(
X
2
+
1
)
{\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}
這是一個體因為
X
2
+
1
{\displaystyle X^{2}+1}
不可約多項式 ，而
X
{\displaystyle X}
i
{\displaystyle i}
複數體
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
體同構 來說）的體擁有三項代數特征:
而然，
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
同構 的子體 。
在
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
全序關係 ，即不存在一全序
⪯
{\displaystyle \preceq }
z
1
,
z
2
{\displaystyle z_{1},z_{2}}
0
⪯
z
1
,
z
2
⇒
0
⪯
z
1
+
z
2
,
0
⪯
z
1
z
2
{\displaystyle 0\preceq z_{1},z_{2}\Rightarrow 0\preceq z_{1}+z_{2},0\preceq z_{1}z_{2}}
计算一个实数的复数幂是可以的。
a
z
{\displaystyle a^{z}}
e
z
⋅
ln
(
a
)
{\displaystyle e^{z\cdot \ln(a)}}
研究複變函數的理論稱為複分析 。它在應用數學 和其他數學分支上都有許多實際應用。實分析 和數論 的結果，最自然的證明經常是以複分析的技巧完成（例子可見質數定理 ）。
複變函數的圖像是四維的，所以不像實變函數般可以用平面圖像表示。要表示複變函數 的圖像，可以用有顏色的三維圖像表達四維資訊，或者以動畫表示函數對複平面 的動態變換。
在系统分析 中，系统常常通过拉普拉斯变换 从时域 变换到频域 。因此可在複平面上分析系统的极点 和零点 。分析系统稳定性的根轨迹法 、奈奎斯特图法 和尼科尔斯图法 都是在複平面上进行的。
无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点
位于右半平面，则因果系统 不稳定；
都位于左半平面，则因果系统稳定；
位于虚轴上，则系统为临界稳定 的。 如果稳定系统的全部零点都位于左半平面，则这是个最小相位 系统。如果系统的极点和零点关于虚轴对称 ，则这是全通系统 。
信号分析 和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值
|
z
|
{\displaystyle \left\vert z\right\vert }
幅度 ，辐角
arg
z
{\displaystyle \arg z}
频率 的正弦波 的相位 。
利用傅里叶变换 可将实信号表示成一系列周期函数 的和。这些周期函数通常用形式如下的複函數 的实部表示：
f
(
t
)
=
z
e
i
ω
t
{\displaystyle f(t)=ze^{i\omega t}}
其中
ω
{\displaystyle \omega }
角频率 ，复数
z
{\displaystyle z}
电路 分析中，引入电容 、电感 与频率有关的虚部可以方便的将电压 、电流 的关系用简单的线性方程表示并求解。（有时用字母
j
{\displaystyle j}
i 混淆。）
在應用層面，複分析常用以計算某些實值的反常積分 ，藉由複值函數得出。方法有多種，見圍道積分方法
量子力學 中複數是十分重要的，因其理論是建基於複數體上無限維的希尔伯特空间 ，而薛丁格方程式 亦包含
i
{\displaystyle i}
虛數單位 。
如將時間變數視為虛數的話便可簡化一些狹義 和廣義相對論 中的時空 度量张量 (Metric Tensor)方程。
實際應用中，求解給定差分方程 模型的系統，通常首先找出線性差分方程對應的特徵方程 的所有複特徵根r ，再將系統以形爲f (t )= e rt 線性組合 表示。
複函數於流体力學 中可描述二維 勢流 。
物理 和工程 領域中的交流 電路分析 ，使用到相量 作表達正弦信號 。
一些分形 如曼德博集合 和茹利亚集 （Julia set）是建基於複平面 上的點 的。
复数的平方根是可以计算的。其公式为
x
+
i
y
=
|
x
+
i
y
|
+
x
2
±
i
|
x
+
i
y
|
−
x
2
{\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|-x}{2}}}}
^ Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of √-1 . Princeton University Press . 2007 [20 April 2011] . ISBN 978-0-691-12798-9存档 于12 October 2012）. ^ Euler, Leonard. Introductio in Analysin Infinitorum [Introduction to the Analysis of the Infinite] vol. 1 . Lucerne, Switzerland: Marc Michel Bosquet & Co. 1748: 104 [2021-11-03 ] . （原始内容存档 于2021-11-21） （拉丁语） . ^ Wessel, Caspar. Om Directionens analytiske Betegning, et Forsog, anvendt fornemmelig til plane og sphæriske Polygoners Oplosning [On the analytic representation of direction, an effort applied in particular to the determination of plane and spherical polygons] . Nye Samling af det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter [New Collection of the Writings of the Royal Danish Science Society]. 1799, 5 : 469–518 [2024-04-10 ] . （原始内容存档 于2024-04-09） （丹麦语） . ^ Gauss, Carl Friedrich. Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda. [Theory of biquadratic residues. Second memoir.] . Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. 1831, 7 : 89–148 [2024-04-10 ] . （原始内容存档 于2024-04-09） （拉丁语） . ^ 繆龍驥. 從實數到複數 . 數學知識. [2014-10-22 ] . （原始内容存档 于2014-10-09）.
An Imaginary Tale: The Story of
−
1
{\displaystyle {\sqrt {-1}}}
, by Paul J. Nahin; Princeton University Press; ISBN 0-691-02795-1 (hardcover, 1998). A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.Numbers , by H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, J. Neukirch, A. Prestel, R. Remmert; Springer; ISBN 0-387-97497-0 (hardcover, 1991). An advanced perspective on the historical development of the concept of number.The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe , by Roger Penrose ; Alfred A. Knopf, 2005; ISBN 0-679-45443-8 . Chapters 4-7 in particular deal extensively (and enthusiastically) with complex numbers.Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra , by John Derbyshire; Joseph Henry Press; ISBN 0-309-09657-X (hardcover 2006). A very readable history with emphasis on solving polynomial equations and the structures of modern algebra.Visual Complex Analysis , by Tristan Needham ; Clarendon Press; ISBN 0-19-853447-7 (hardcover, 1997). History of complex numbers and complex analysis with compelling and useful visual interpretations.
可數集
自然数 (
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
整数 (
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
有理数 (
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
規矩數 代數數 (
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
周期 可計算數 可定义数 高斯整數 (
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
艾森斯坦整数 合成代數
可除代數 实数 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
複數 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
四元數 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
八元数 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
凯莱－迪克森结构
实数 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
複數 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
四元數 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
八元数 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
十六元數 (
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
三十二元數 六十四元數 一百二十八元數 二百五十六元數…… 分裂 其他超複數 其他系統
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7)
![{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbb1843079a9df3d3bbcce3249bb2599790de9c)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}\ e^{i\left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/323e3ac46b83ad613903f31cc64c5c586f37627d)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/10eb7386bd8efe4c5b5beafe05848fbd923e1413)
![{\displaystyle \mathbb {R} [X]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d740527b0b7f949b4bf9c9ce004134bb490b68)
![{\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa9640da3f1e66d74b396640053c93122352dc1)
