Diskussion:Ziegenproblem

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Analyse der Folgen eines Wechsels (alle Konstellationen)

Annahme: Symmetrische Zufalls-Verteilung der Objekte und zufällige Tor-Wahl des Kandidaten. Der Moderator gibt keine zusätzlichen regelwidrigen Informationen preis.
Es gibt nur ein einziges Auto. Aus diesem Grund enthält das nicht gewählte Torepaar somit vorherbestimmt zwangsläufig immer zumindest eine Ziege
Der Moderator öffnet ein in jenem nicht gewählten Torepaar somit zwangsläufig vorhandenes Ziegentor. Dieses sichere Ereignis tritt immer ein.

Auto hinter Tor	Kandidat wählt Tor	Das nicht gewählte Torepaar enthält immer ( ! ) zumindest 1 Ziege aber in 2/3 der Fälle auch das Auto	Verlust bei Wechsel nur in 3 von 9 Fällen: Nur dann, wenn zufälligerweise ursprünglich aus drei Toren das einzige Tor mit dem Auto gewählt war, also nur in einem Drittel aller Fälle	Gewinn bei Wechsel in 6 von 9 Fällen: Immer dann, wenn eines der beiden Ziegentore gewählt war	Moderator öffnet Ziegentor	Folge eines Wechsels:
1	1	Ziege ⇔ Ziege	Verlust, egal ob der Moderator Ziegentor 2 oder Ziegentor 3 öffnet		2 oder 3	Auto-Tor  1 war gewählt, Wechsel schadet
1	2	Ziege ⇔ Auto		Gewinn	3	Ziegentor 2 war gewählt, Wechsel auf Tor 1 nützt
1	3	Ziege ⇔ Auto		Gewinn	2	Ziegentor 3 war gewählt, Wechsel auf Tor 1 nützt
2	1	Ziege ⇔ Auto		Gewinn	3	Ziegentor 1 war gewählt, Wechsel auf Tor 2 nützt
2	2	Ziege ⇔ Ziege	Verlust, egal ob der Moderator Ziegentor 1 oder Ziegentor 3 öffnet		1 oder 3	Auto-Tor  2 war gewählt, Wechsel schadet
2	3	Ziege ⇔ Auto		Gewinn	1	Ziegentor 3 war gewählt, Wechsel auf Tor 2 nützt
3	1	Ziege ⇔ Auto		Gewinn	2	Ziegentor 1 war gewählt, Wechsel auf Tor 3 nützt
3	2	Ziege ⇔ Auto		Gewinn	1	Ziegentor 2 war gewählt, Wechsel auf Tor 3 nützt
3	3	Ziege ⇔ Ziege	Verlust, egal ob der Moderator Ziegentor 1 oder Ziegentor 2 öffnet		1 oder 2	Auto-Tor  3 war gewählt, Wechsel schadet
Gewinn- Chance	${\tfrac {1}{3}}$	$0$           ${\tfrac {2}{3}}$	Diese Chancen-Verteilung 1/3 : 0 : 2/3 gilt gemäß Spielregel von Beginn an und unveränderlich bis zum Schluss des Spieles
Verlust- Risiko	${\tfrac {2}{3}}$	$1$           ${\tfrac {1}{3}}$	Diese Risiko-Verteilung 2/3 : 1 : 1/3 gilt gemäß Spielregel von Beginn an und unveränderlich bis zum Schluss des Spieles

In jenem 1/3 aller Möglichkeiten, in denen der Kandidat zufällig auf Anhieb dasjenige der drei Tore mit dem einzigen Auto gewählt hat, würde er durch einen Wechsel verlieren.
Das sind nur 3 von 9 Möglichkeiten, also in nur 1/3 der Fälle führt ein Wechseln zum Verlust des schon gewählten Autos und schadet.

In den restlichen 2/3 aller Möglichkeiten, in denen der Kandidat jedoch eines der beiden Ziegentore gewählt hat, gewinnt er das Auto durch einen Wechsel.
Das sind 6 von 9 Möglichkeiten, also in 2/3 der Fälle führt ein Wechseln zum Gewinn des Autos.

• Ohne zu wechseln: Der Kandidat gewinnt nur dann, wenn seine erste Wahl auf das eine Tor mit dem Auto gefallen war (Wahrscheinlichkeit 1/3).
  
• Mit einem Wechsel: Der Kandidat gewinnt immer dann, wenn seine erste Wahl auf eine der beiden Nieten gefallen war (Wahrscheinlichkeit 2/3).
  
• Durch ein Wechseln verdoppelt der Kandidat seine Gewinnchance zweifelsfrei von 1/3 auf 2/3.

Gemäß Spielregel gibt es von Anfang an nur drei Möglichkeiten

Das nicht gewählte Torepaar besteht aus zwei Toren, je mit einer Gewinnchance von 1/3 und einem Nietenrisiko von 2/3.
Daraus ergibt sich, dass das nicht gewählte Torepaar gemäß Spielregel eine Gewinnchance von 2/3 und ein Nietenrisiko von 1 1/3 auf sich vereinigt. Obwohl jedes der beiden nicht gewählten Tore – für sich betrachtet – eine Gewinnchance von 1/3 und ein Nietenrisiko von "nur" 2/3 besitzt, besagt die Spielregel dennoch: In jedem dieser drei Fälle befindet sich hinter zumindest einem der beiden Tore des nicht gewählten Torepaares zwangsläufig und mit absoluter Sicherheit zumindest eine Ziege (es gibt nur ein Auto). Hinter dem "anderen Tor" des nicht gewählten Torepaares wird sich gemäß Spielregel in nur 1/3 der Fälle die zweite Ziege, jedoch in 2/3 der Fälle das Auto befinden. Dabei ist es von vornherein völlig belanglos, welches der beiden nicht gewählten Tore das "garantierte Ziegentor" mit der Gewinnchance von Null und dem Nietenrisiko von 1 ist, und welches das "andere, das privilegierte Tor" mit einer Gewinnchance von 2/3 und einem Nietenrisiko von nur 1/3. Diese Belanglosigkeit liegt zwar klar auf der Hand, wird jedoch selbst von Mathematikern nicht immer genügend berücksichtigt. Nochmals: Die Frage: "Welches der beiden Tore" ist von vornherein völlig belanglos und absurd, sie wird sich im Spielverlauf niemals stellen. Denn dadurch, dass der Moderator – nachdem der Kandidat sein Tor gewählt hatte – ein Ziegentor öffnet, ist sie ja bereits beantwortet worden: Das geöffnete Ziegentor hatte von Beginn an eine Gewinnchance von Null und ein Nietenrisiko von 1, und damit hatte das dann noch verschlossene, nun zum Wechsel angebotene Tor bereits von Anfang an eine Gewinnchance von 2/3 und ein Nietenrisiko von nur 1/3. Der Moderator hat diese Frage also bereits beantwortet, und ein retrogrades Rätselraten darüber und die Suche nach "mathematischen Beweisen dafür" ist schlicht absurd.

1. In 1/3 der Fälle wählt der Kandidat zufällig das Tor mit dem Auto, dann befindet sich sogar hinter jedem Tor des nicht gewählten Torepaares je eine Ziege und Wechseln schadet.
2. Der Kandidat wählt "das eine" der beiden Ziegentore (in 1/3 der Fälle, Wechseln nützt)
3. Der Kandidat wählt "das andere" der beiden Ziegentore (in 1/3 der Fälle, Wechseln nützt), denn in diesen beiden Fällen, also jenen 2/3 der Fälle, in denen der Kandidat ein Ziegentor gewählt hatte, befindet sich hinter dem nicht gewählten Torepaar mit absoluter Sicherheit die zweite der beiden Ziegen (sie wird vom Moderator später hergezeigt), aber auch das durch die Spielregel zugesagte Auto. Wechseln bringt somit in 2/3 der Fälle das Auto als Gewinn, und es schadet nur in 1/3 der Fälle.

Für diesen schlichten Sachverhalt bedarf es keinerlei weiterer "Beweise", schon gar nicht unnötiger "Wahrscheinlichkeitsrechnungen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten". Dass solche Wahrscheinlichkeitsrechnungen seit Jahrzehnten dennoch zuhauf in kurioser, ja skurriler sogenannter "Fachliteratur" am Markt angeboten worden sind und noch immer als "unerlässlich" angeboten und ebenso ernsthaft als "unerlässlich" diskutiert werden ist ein eigenes Kapitel wert, etwa als "wissenschaftlicher Beweis erfolgreicher Vernebelung einfacher Sachverhalte und Raffinesse zur permanenten Irreführung der geduldigen Leserschaft ..." oder "Unvermögen mancher Mathematiker, schlichte Sachverhalte darzustellen".

Das Paradoxon: Der fatale "50:50-Trugschluss" – Warum das Dilemma für die große Mehrzahl für immer ungelöst bleiben wird

Das "Besondere" am Ziegenproblem liegt darin, dass es sich, gemäß Spielregel vorherbestimmt, effektiv um drei Tore mit völlig unterschiedlicher Charakteristik handelt. Diese von vornherein unterschiedliche Charakteristik der drei Tore sollte jedoch tunlichst unerkannt bleiben, um die Marktchancen von sogenannter "Fachliteratur" nicht zu gefährden.

Die drei Tore besitzen gemäß Spielregel eine völlig unterschiedliche Charakteristik. Es handelt sich

1. um das durch den Kandidaten "ursprünglich gewählte Tor" (egal welches) mit vom Anfang bis zum Ende des Spieles exakt durchschnittlicher Gewinnchance (1/3) und von Anfang bis zum Ende des Spieles durchschnittlichem Verlustrisiko (2/3),
2. weiters um ein imperatives "garantiertes Nietentor" mit einer Gewinnchance von Null und einem Verlustrisiko von 1 (der Moderator wird jene Niete später dann ja zeigen),
3. und damit um ein drittes, von vornherein "privilegiertes" Tor mit der hohen Gewinnchance von 2/3 und einem niedrigen Verlustrisiko von nur 1/3.

Diese laut geltender Spielregel vorherbestimmte, unterschiedliche Charakteristik der drei Tore wird nicht auf den ersten Blick erkannt, gilt jedoch in jedem Fall von Anfang an.

Jedes der drei Tore besitzt a priori eine Gewinnchance von 1/3 und ein Nieten-Risiko von 2/3. Für das durch den Kandidaten gewählte Tor gilt dies sogar bis zum Schluss des Spieles.

Das eigentliche "Paradoxon" liegt an der Struktur jener beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore, denn jenes nicht gewählte Torepaar muss, durch die Spielregel vorherbestimmt, zwingend immer zumindest eine Ziege enthalten (es gibt nur ein Auto), obwohl seine ebenso vorherbestimmte gemeinsame Gewinnchance in jedem Fall und bis zum Schluss des Spieles bei exakt 2/3 liegt. Dieser Sachverhalt ist durch die Spielregel gegeben und bedarf keines mathematischen Beweises.

Dies ist also das eigentliche Paradoxon: Die Gewinnchance jedes der beiden Tore des nicht gewählten Torepaares beträgt je 1/3, in Summe beträgt die Gewinnchance des Torepaares von Anbeginn total 2/3, trotz des dort garantierten "Nietentores" das selbst keinerlei Gewinnchance haben kann. Ohne jeden weiteren "mathematisch geführten Beweis" kann die Gewinnchance des nicht gewählten Torepaares von 2/3 deshalb niemals beide Tore in gleicher Weise betreffen, sondern letztlich immer nur ein einziges Tor, das von vornherein "privilegierte" Tor. Dieser durch die Spielregel gegebene Sachverhalt bedarf wie dargelegt keines weiteren mathematischen Beweises.

Zur Verdeutlichung:
Die Ausgangslage gemäß Spielregel lautet: Es gibt nur ein einziges Auto, und bei dem nicht gewählten Torepaar geht es um eine Gruppe von zwei Toren, egal um welche auch immer.
Die gemeinsame "Gewinnchance" jenes nicht gewählten Torepaares wird laut Spielregel in jedem Fall 2/3 betragen und dessen gemeinsames "Ziegen-Risiko" 4/3   (1 1/3).
Eines jener beiden Tore enthält jedoch imperativ, gemäß Spielregel vorherbestimmt, mit absoluter Sicherheit (1/1 oder 3/3) eine Ziege und hat somit gemäß Spielregel von Anfang an eine Gewinnchance von genau Null, es ist damit von vornherein das durch die Spielregel garantierte "imperative Nietentor" in jenem Torepaar. Dennoch beträgt die gemeinsame Gewinnchance jenes Torepaares 2/3. Da die gemeinsame Gewinnchance jener zwei Tore gemäß Spielregel 2/3 beträgt, ist bereits durch die Spielregel von Anfang an konkludent gegeben, dass folglich stets "das andere" jener beiden Tore von vornherein die vorherbestimmte Gewinnchance von 2/3 auf sich allein vereinigt: Es ist das "privilegierte" Tor. Seine "Gewinnchance" beträgt gemäß Spielregel vorherbestimmt 2/3 und sein "Ziegen-Risiko" nur 1/3.

Allerdings ist noch unbekannt, welches jener beiden Tore (des nicht gewählten Torepaares) die durch die Spielregel "vorherbestimmte Ziege" verbirgt (das "absolute Nietentor"), und welches das "andere", das von Anfang an "privilegierte Tor" mit der doppelten Gewinnchance von 2/3 und dem halben Verlustrisiko von nur 1/3 ist. Das zu wissen wäre eminent wichtig, ist jedoch in diesem Stadium des Spieles noch völlig belanglos! Der Kandidat wählt soeben erst "sein" Tor, und der Moderator wird diese Frage im Anschluss daran ohnehin beantworten.

Das anschließende (ebenso durch die Spielregel vorherbestimmte) Öffnen eines Ziegentores durch den Moderator bringt zwar keinerlei relevante zusätzliche Information hinsichtlich der Gewinnchance des vom Kandidaten ursprünglich gewählten Tores (1/3) noch hinsichtlich der gemeinsamen Gewinnchance der beiden nicht gewählten Tore (von zusammen 2/3), es stellt dafür eben kein Ereignis dar. Durch das Öffnen des Ziegentores wird jedoch gezeigt, dass die besagte, von Anfang an feststehende Gewinnchance von 2/3 also allein das zweite, jetzt noch immer verschlossene, nicht gewählte Tor betrifft. Bei diesem noch verschlossen bleibenden Tor handelt es sich also um das von Anfang an "privilegierte Tor" mit der − gegenüber dem ursprünglich gewählten Tor − doppelten Gewinnchance von 2/3 und dem – gegenüber dem ursprünglich gewählten Tor – nur halbem Verlustrisiko von 1/3.

Der Moderator hilft:
Zumindest eines der beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore ist ein "absolutes Nietentor", es enthält imperativ eine Ziege, das andere nicht gewählte Tor ist das durch die Spielregel von Anfang an "privilegierte Tor" mit einer vorherbestimmten Gewinnchance von 2/3. Der Moderator zeigt nun, welches der beiden nicht gewählten Tore eine Ziege enthält und offenbart damit jenes (noch verschlossen bleibende) "privilegierte Tor" mit der "a priori Gewinnchance" von 2/3.

Die Gewinnchance jenes Tores, das der Kandidat ursprünglich aus drei Toren ausgewählt hat, bleibt bis zum Schluss unverändert 1/3 (und dessen Ziegen-Risiko 2/3).
Die Gewinnchance des anderen, noch verschlossenen Tores (des durch den Moderator offenbarten "privilegierten Tores") betrug von Anfang an 2/3 (und dessen Nieten-Risiko nur 1/3).

Da nicht bekannt ist, hinter welchem der beiden nun letztlich noch verschlossenen Tore (dem vom Kandidaten ursprünglich gewählten "durchschnittlichen Tor" mit einer Gewinnchance von 1/3 oder dem nicht gewählten, verschlossen gebliebenen "privilegierten Tor" mit einer Gewinnchance von 2/3) sich der Gewinn verbirgt (zwei geschlossene Tore, hinter einem der beiden muss sich zwangsläufig das Auto befinden, hinter dem anderen Tor die zweite Ziege), wird irrtümlicherweise landläufig angenommen, dass jedes der beiden noch geschlossenen Tore die gleiche Chance biete und es daher keine Rolle spiele, ob dem Angebot zu wechseln gefolgt werde oder nicht (der berühmte fatale 50:50 -Trugschluss).

Das eigentliche Paradoxon des "Ziegenproblems" ist rein intuitiv nicht leicht aufzulösen. Der Grund dafür besteht darin, dass sämtliche hier relevanten, bereits durch die Spielregel vorherbestimmten zwingenden Konklusionen und die vorherbestimmte, von Anfang an durch die Spielregel festgelegte, unterschiedliche Chancen-Risken-Charakteristik der drei Tore nicht ohne weiteres und auf den allerersten Blick erkennbar sind, obwohl dies – didaktisch aufbereitet – zum "Aha-Erlebnis" führen könnte. Dass dies nicht geschieht ist Gold wert. Die einschlägige Fachliteratur zu diesem Thema zeigt anschaulich: Unter striktem Ignorieren der durch die Prämissen der Spielregel bereits klar vorherbestimmten Konklusionen lassen sich publikumswirksam ganze Bibliotheken füllen, mit eindrucksvollen, aber in diesem Fall unnötigen mathematischen Wahrscheinlichkeits-Berechnungen und völlig überflüssigen, angeblich "wissenschaftlich unbedingt notwendigen mathematischen Beweisen", ohne das permanente "Ja, warum denn nur" des Paradoxons enthüllen zu wollen. Das Kennzeichnende für das ungelöste "Warum denn nur?" sind manche "Mathematiker", die selbst die bereits durch die Spielregel vorherbestimmten Konklusionen nicht sehen (können?) und die durch die Spielregel bereits klar festgelegte, völlig unterschiedliche Chancen-Risken-Struktur der drei Tore nicht erkennen (wollen?). Die am Markt befindlichen und laufend neu angebotenen Publikationen bedienen sich bedingter Wahrscheinlichkeiten und kommen mit unnötigen mathematischen "Beweisen" auf Umwegen zwar schließlich dennoch zum selben Ergebnis, lassen aber die ungewisse Frage nach dem "Warum denn nur" weiterhin bewusst offen.

Und: die in manchen Publikationen angestellt gewesenen Überlegungen, der Moderator könnte allenfalls durch ein bestimmtes regelwidriges Verhalten auf die eine oder andere unsaubere Weise vielleicht doch zusätzliche Informationen preisgeben, was dann neue Rätsel aufgibt, ignorieren die vorgegebene Spielregel. Solche Verwirrspiele lenken vom eigentlichen Paradoxon des "Ziegenproblems" ab und sind zum Verständnis des scheinbaren Paradoxon wenig hilfreich, auch wenn sie aus "reputablen Quellen" zitiert werden. Der klare "Durchblick" des Publikums kann so verhindert werden, was für einschlägige "Fachliteratur" weitere Verkaufserfolge verspricht. Voraussetzung dafür: Die durch die Spielregel vorherbestimmte unterschiedliche Chancen-Charakteristik der drei Tore: ( ${\tfrac {1}{3}}$ : $0$ : ${\tfrac {2}{3}}$ ) beziehungsweise deren Risiko-Verteilung ( ${\tfrac {2}{3}}$ : $1$ : ${\tfrac {1}{3}}$ ) bleiben weiterhin tabu.

Des Kaisers neue Kleider

Das "Ziegen-Problem" veranschaulicht – ähnlich wie "Des Kaisers neue Kleider" – ein Phänomen: Gewieften interessierten Kreisen gelang und gelingt es, selbst über lange Zeiträume hinweg, sich unverzichtbar zu machen. Ein relativ schlichter Sachverhalt kann erfolgreich zum angeblich unbeweisbaren und unlösbaren magischen Problem stilisiert werden, das ohne aufwändige wissenschaftliche Bemühung und kostspielige (für den Autor lukrative) Beratung für immer unlösbar bliebe. Der klare Blick auf die Bestimmungen der Spielregel und die konsequente Beachtung aller sich daraus ergebenden schlüssigen Folgerungen sei "ein falscher Lösungsweg". Solchen "Fachleuten" gelingt es hier zu dekretieren, ohne "Beweise", die nur durch mathematische Wahrscheinlichkeitsberechnungen, unter Zuhilfenahme "bedingter Wahrscheinlichkeiten" erbracht werden könnten, bliebe der schlichte Sachverhalt angeblich undurchschaubar und letztlich für immer unlösbar. Ein solcher "Beweis" sei schlicht unabdingbar und "der einzig zulässige Lösungsweg". Die gläubige Mehrheit nahm und nimmt das für bare Münze an (die Verkaufserfolge sprechen für sich), und die nächste derartige "wissenschaftliche Veröffentlichung" zum Thema wartet bereits im Schaufenster?

Es gilt in erster Linie, die Anschaulichkeit der schlichten Problemstellung und damit das "Aha-Erlebnis" zu fördern, und nicht die angebliche Unerlässlichkeit mathematischer "Beweise" zu dekretieren und damit zu verwirren. Die (an sich völlig unnötigen) Bemühungen, den Sachverhalt auch in mathematischen Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung darzustellen sind anzuerkennen. Da sie aber immer als "zur Problemlösung unverzichtbar" dargestellt wurden, gehören sie als "historisches Phänomen" vom eigentlichen Ziegenproblem gelöst und unter dem Titel "skurrile Kuriositäten" in ein vom Paradoxon deutlich getrenntes Kapitel. -- Gerhardvalentin 12:49, 28. Dez. 2009 (CET)

Was hast du vor mit dieser Doctorarbeit? Nijdam 20:44, 24. Jun. 2009 (CEST)

Lieber Nijdam, die durch die Spielregel festgelegte völlig unterschiedliche Chancen-Risken-Charakteristik der drei Tore benötigst du offensichtlich nicht für deine Berechnungen. Rechne du also einfach weiter. . .   Und schreibe weiter an mathematischer Fachliteratur.    Liebe Grüße   --Gerhardvalentin 19:23, 20. Dez. 2009 (CET)

Hilfen und Hinweise für zukünftige Erweiterungen/Verbesserungen und Neuautoren

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Anstatt sich gegenseitig um die beste oder richtige Lösung und eigene Darstellungen zu streiten (mein subjektiver Eindruck von einem Großteil der hier beobachteten Diskussion), sollte der Artikel (gemäß den WP-Richtlinien) stattdessen die Darstellung des Problems und seiner Lösungen in reputablen Quellen wiedergeben. Dazu habe ich hier noch einmal eine Reihe reputabler Quellen gesammelt, die von allen online eingesehen werden können, an deren Inhalt sowie an den im Artikel angegebenen weiteren Quellen sollte sich Artikel orientieren und dabei möglichst die verschiedenen Darstellungen und Abschnitte auch direkt den einzelnen Quellen zuordnen, sei es mit Einzelnachweisen oder auch im Text direkt wie im englischen Interwiki:

Fachliteratur Mathe (Bücher,Fachpublikationen, verlässliche Fachwebseiten)

• Behrends, Ehrhard: Five-Minute Mathematics. AMS Bookstore, 2008, ISBN 978-0-8218-4348-2, S. 57 (google.com). 
• D'Ariano, G.M et al. (2002). "The Quantum Monty Hall Problem" (PDF). Los Alamos National Laboratory, (February 21, 2002). Retrieved January 15, 2007.
• Keith Devlin: Devlin's Angle: Monty Hall. The Mathematical Association of America, abgerufen am 25. April 2008. 
• Grinstead, Charles M. and Snell, J. Laurie, Online version of Introduction to Probability, 2nd edition, published by the American Mathematical Society, Copyright (C) 2003 Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell.: Grinstead and Snell’s Introduction to Probability. 4. Juli 2006 (dartmouth.edu [PDF; abgerufen am 2. April 2008]). 
• Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (May 1999). "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making", University of Missouri Working Paper 99-06. Retrieved July 5, 2005.
• Rosenthal: Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl
• Eisenhauer: Monty-Hall-Matrix - Fachzeitschrift
• Rosenhouse: The Remarkable Story of Math's Most Contentious Brain Teaser - Kapitel 1 eines demnächst erscheinendes Fachbuch zum Ziegenproblem
• Henze: Stochastik für Einsteiger -einfache Lösung auf S.52, detallierteste Modellierung (3-stufiges Experiment mit bedingten Wahrscheinlichkeiten) - S. 104-105
• Hans-Otto Georgii : Stochastik - S.54-57
• Olle Häggström: Olle Häggström: Streifzüge durch die Wahrscheinlichkeitstheorie - S.19-20
• Marc Steinbach: Autos, Ziegen und Streithähne. In: Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB). Report Nr. 40, S. 7
• Kam Hon Chou: To Switch or Not To Switch? - Univserity of New Foundland
• Monty Hall auf Mathworld
• Monty Hall auf cut-the-knot
• Matheprisma - Unterrichtseinheit

sonstige Literatur (allgemeine Quellen, Fachpublikationen zu nichtmathematischen Aspekten

• Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (May 1999): The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making, University of Missouri Working Paper 99-06. Retrieved July 5, 2005.
• Krauss, Stefan and Wang, X. T. (2003). "The Psychology of the Monty Hall Problem: Discovering Psychological Mechanisms for Solving a Tenacious Brain Teaser," Journal of Experimental Psychology: General 132(1). Retrieved from http://www.usd.edu/~xtwang/Papers/MontyHallPaper.pdf March 30, 2008.
• Tierney, John (1991). "Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?", The New York Times, 1991-07-21. Retrieved on 2008-01-18.
• Tierney, John (2008). "And Behind Door No. 1, a Fatal Flaw", The New York Times, 2008-04-08. Retrieved on 2008-04-08.
• Darstellung auf der webseite von Vos Savant
• Hall, Monty (1975). The Monty Hall Problem. LetsMakeADeal.com. Includes May 12, 1975 letter to Steve Selvin. Retrieved January 15, 2007.
• Mack, Donald R.: The Unofficial IEEE Brainbuster Gamebook. Wiley-IEEE, 1992, ISBN 978-0-7803-0423-9, S. 76 (google.com). 

Inhalte für einen guten Artikel

Wenn man die (Fach)literatur überfliegt schälen sich schnell einige Kernpunkte heraus, die ein guter Artikel haben bzw. behandeln sollte (egal wie man sie im Detail gliedert oder innerhalb des Artikels gewichtet):

• einfache Lösung ohne bedingte Wahrscheinlichkeiten
• detallierte/komplexe Lösung mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
• Unterschiede zwischen beiden Lösungen, Erwähnung der (Fach)kritik an der einfachen Lösung
• "Originalproblem" und Lösung bei Vos Savant (da Auslöser der Kontroverse und verantwortlich für Wirkung und Bekanntheit des Problems)
• Unklarheiten des Originalproblems, Problemvarianten
• historischer Abriss

Vorgehen bei persönlichen oder inhaltlichen Dauerkonflikten zwischen Autoren

Wenn man bei nicht behebbaren Meinungsverschiedenheiten Editwars oder die Stagnation des Artikel auf einem möglicherweise schlechten Nivau verhindern will, so kann man eine 3-te Meinung einholen oder weniger formal direkt ein zuständiges Fachportal um Begutachtung bitten. Als Fachportale bietet sich hier vor allem Mathematik aber auch Logik, Philosophie, Physik, Psychologie, Wirtschaft und Informatik an. Es gibt auch ein Portal statistik, das aber zur Zeit weitgehend inaktiv ist. Wichtig ist, dass sich vorher aber alle aktiven Autoren einig sind, eine 3-te Meinung bzw. Begutachtung durch Experten einzuholen und diese dann auch zu akzeptieren. Sollte es einen einzelnen Autoren geben, der jegliche Einigung und auch eine 3-te Meinung blockiert bzw. unterläuft, so kann dessen Account im Extremfall auch sperren lassen. Auch dafür ist es sinnvoll sich über das Fachportal einen kundigen Admin zu suchen, der beurteilen kann, ob der betroffene Autor eine akzeptablen sachlichen Grund für sein Verhalten hat oder nicht. Wenn ein solcher nicht vorliegt und auch ein administrativen Zureden nicht hilft, kann man ihn gegebenfalls sperren. Bei komplexen und sehr unübersichlichen Streitfragen mit langer Vorgeschichte empfiehlt es sich außerdem, das die betroffen Autoren für umstrittene Abschnitte (zur Not auch für den ganzen Artikel) eine komplette ausformulierte eigene Version vorlegen (auf ihrer Benutzerseite oder auf der Diskussionsseite hier), so dass die begutachtenden Experten einfach die bessere (oder sachlich richtige) Version auswählen können.

So ich verabschiede mich damit demnächst aus der Diskussion und wünsche allen aktiven bzw. zukünftigen Autoren gutes Gelingen beim Erreichne eines besseren Artikels. --Kmhkmh 18:25, 23. Jun. 2009 (CEST)

Ziegenproblem Alternativvorschlag

Auf der Suche nach einem Auto wählt der Kandidat Tor 1. Der Showmaster öffnet Tor 3, hinter dem sich eine Ziege verbirgt und schlägt dem Kandidaten vor, das Tor zu wechseln. Ist es vorteilhaft für den Kandidaten, das Tor 2 zu wählen?

Das Ziegenproblem, Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma (nach Monty Hall, dem Moderator der US-amerikanischen Spielshow Let's make a deal, in Deutschland Geh aufs Ganze!) ist eine Aufgabe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es wird oft als Beispiel dafür herangezogen, dass der menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht.

Das Problem wurde 1990 in seiner wohlbekannten Form in einem Leserbrief von Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland an Marilyn vos Savant's "Ask Marilyn"-Kolumne im Parade Magazine formuliert:

Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: 'Möchten Sie das Tor Nummer Zwei?' Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?

Durch die Antwort von Marilyn vos Savant auf den Leserbrief erzielte das Problem international auch außerhalb der Fachwelt hohe Aufmerksamkeit und führte zu heftigen Kontroversen. Sie erklärte die Lösung des Problems anhand einer Million Tore. Ihre Antwort lautete: "Ja, Sie sollten wechseln. Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von 1/3, aber das zweite Tor hat eine Gewinnchance von 2/3."

Kontroversen

Es gibt zwei Hauptargumente, die zu Zweifeln an vos Savants Lösung führen. Während das erste Argument nicht stichhaltig ist und auf falsch angewendeter Wahrscheinlichkeitstheorie basiert, verdeutlicht das zweite Argumemt, dass das Originalproblem ohne geeignete weitere Einschränkung keine eindeutige Lösung hat:

• Unter der Voraussetzung, dass der Showmaster den im nächsten Abschnitt ausgeführten Spielregeln folge, sei ein Wechsel des Tores nicht schlecht. Die Gewinnchance für das zweite Tor sei aber niemals 2/3 sondern generell nur 1/2, weil nach dem Öffnen eines Tores mit einer Ziege dahinter nur noch zwei geschlossene Tore zur Auswahl ständen. Die Chancen seien deshalb auf beide Tore immer gleichverteilt.
• Die Fragestellung im Leserbrief enthält keinerlei Hinweise darauf, dass der Showmaster einer bestimmten Verhaltensregel folgt. Solch eine Regel ließe sich nur mittels der Annahme ableiten, dass das Spiel mehrmals unter den gleichen Bedingungen wiederholt würde: Sie wählen ein beliebiges Tor, der Showmaster öffnet ein anderes Tor, hinter dem eine Ziege steht, und Sie dürfen die Wahl ihres Tores ändern. Von solch einer Wiederholung des Spiels ist aber im Leserbrief keine Rede. Also basiert Savants Lösung auf willkürlichen Annahmen, die sie unzulässigerweise in den Leserbrief hinein interpretiert hat.

Das erste Argument wird von Marilyn vos Savants Lösung widerlegt, das Zweite wird anhand mehrerer Spielvarianten ausgeführt.

Allgemeine Gewinnwahrscheinlichkeit

Einfache Lösung

Der Kandidat wählt ein Tor ohne es zu öffnen. Da wir wissen, dass der Moderator mit Sicherheit ein anderes Tor mit einer Ziege öffnen wird und dem Kandidaten anbietet, das verbleibende Tor ebenfalls zu öffnen, kann er dem Kandidaten stattdessen auch anbieten, entweder sein zuerst gewähltes Tor oder aber die beiden anderen anfangs noch geschlossenen Tore selbst zu öffnen. Da der Kandidat nun ein Tor gegen zwei Tore tauschen darf, sollte er das natürlich tun und damit seine Gewinnchance auf p=2/3 verdoppeln. Die Antwort auf die Frage "Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?" ist also "Ja!"

Hauptvariante nach Marilyn vos Savant

Weil die im Leserbrief von Whitaker formulierte Fragestellung keine eindeutige Lösung zulässt, haben Krauss und Wang eine Neuformulierung des Ziegenproblems vorgeschlagen, die bestimmte zur eindeutigen Lösbarkeit fehlenden Zusatzinformationen bereitstellt:

Angenommen Sie befinden sich in einer Spielshow und haben die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem Tor ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Das Auto und die Ziegen sind vor der Show zufällig hinter die Tore verteilt worden. Die Regeln der Spielshow sind folgende: Nachdem Sie ein Tor gewählt haben bleibt dieses zunächst geschlossen. Der Showmaster Monty Hall, der weiß was sich hinter den Toren befindet, muss nun eine der beiden verbleibenden Tore öffnen, und hinter dem von ihm geöffneten Tor muss sich eine Ziege befinden. Wenn hinter beiden verbleibenden Toren jeweils eine Ziege steht, öffnet er eines der beiden Tore zufällig. Nachdem Monty Hall ein Tor mit einer Ziege geöffnet hat fragt er Sie, ob Sie bei Ihrer ersten Wahl bleiben oder zum letzten verbleibenden Tor wechseln möchten. Nehmen Sie an Sie wählen Tor 1 und der Showmaster öffnet Tor 3 mit einer Ziege. Er fragt Sie dann:"Möchten Sie zu Tor 2 wechseln?" Ist es zu Ihrem Vorteil, Ihre Wahl zu ändern?

Um zu der Lösung von Marilyn vos Savant zu gelangen, ist lediglich zu ergänzen, dass bei der Zufallswahl des Showmasters zwischen zwei Ziegentoren beide Tore mit der gleichen Wahrscheinlichkeit geöffnet werden.

Spielregeln

Bei einer Spielshow kann der Kandidat ein Auto gewinnen. Dem Spiel liegen die folgenden Regeln zugrunde.

1. Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig auf drei Tore verteilt.
2. Zu Beginn des Spiels sind alle Tore verschlossen, sodass Auto und Ziegen nicht sichtbar sind.
3. Der Kandidat wählt ein Tor aus, welches aber vorerst verschlossen bleibt.
4. Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann öffnet der Moderator zufällig ausgewählt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege befindet.
5. Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann öffnet der Moderator dasjenige der beiden anderen Tore, hinter dem die zweite Ziege steht.
6. Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das andere ungeöffnete Tor zu wählen.
7. Das vom Kandidaten letztlich gewählte Tor wird geöffnet und er erhält das Auto, falls es sich hinter diesem Tor befindet.

Diese Regeln sind dem Kandidaten bekannt. Wie soll er sich im vorletzten Schritt entscheiden, wenn er zunächst Tor 1 gewählt und der Moderator daraufhin Tor 3 mit einer Ziege dahinter geöffnet hat?

Tabellarische Lösung

Für die folgende Erklärung wird angenommen, dass der Kandidat zu Anfang Tor 1 gewählt hat. Für die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 bzw. 3 gewählt hat und der Moderator dementsprechend andere Tore öffnet, gilt eine analoge Erklärung. Es müssen sechs Fälle betrachtet werden um die Gleichwahrscheinlichkeit des Öffnens der Tore 2 und 3 durch den Moderator gemäß Regel 4 modellieren zu können. Jede Spielsituation wird also zweimal betrachtet. Das entspricht einem Zufallsexperiment bei dem die beiden Ziegen voneinander unterschieden werden können, und jede Verteilung von Auto und Ziegen hinter den drei Toren gleichwahrscheinlich ist (Laplace-Experiment).

1		Auto hinter Tor 1. Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege (Regel 4)		Bei einem Wechsel verliert der Kandidat
2		Auto hinter Tor 2. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege (Regel 5)		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
3		Auto hinter Tor 3. Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege (Regel 5)		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
4		Auto hinter Tor 1. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege (Regel 4)		Bei einem Wechsel verliert der Kandidat
5		Auto hinter Tor 2. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege (Regel 5)		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
6		Auto hinter Tor 3. Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege (Regel 5)		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat

Zur Auswertung der Tabelle müssen nun die Fälle betrachtet werden, in denen der Moderator das Tor 3 öffnet. Das sind die Fälle 2, 4 und 5. Man sieht, dass in zwei von drei dieser Fälle der Kandidat durch Wechseln gewinnt. Außerdem kann aus der Tabelle leicht abgelesen werden, dass wenn der Moderator anstelle von Tor 3 das Tor 2 öffnet, der Kandidat durch Wechseln ebenfalls in zwei von drei Fällen das Auto gewinnt.

Formelle Lösung

Es sind die Ereignisse definiert:

$G_{i}\$: Der Gewinn ist hinter Tor i (i = 1, 2, 3)

$M_{j}\$: Der Moderator hat das Tor j geöffnet (j = 1, 2, 3)

Es liegt folgende Situation vor: Der Kandidat hat Tor 1 gewählt, und der Moderator hat daraufhin das Tor 3 geöffnet. Lohnt es sich für den Kandidaten zu wechseln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tor 2 ist? Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(G_{2}|M_{3})\$, dass das Auto hinter Tor 2 ist, wenn bekannt ist, dass es nicht hinter Tor 3 ist. Man kann diese Wahrscheinlichkeit mit dem Bayesschen Theorem ermitteln.

Auf Grund der Aufgabenstellung (Regeln 1, 4 und 5) gelten folgende Voraussetzungen:

${\begin{aligned}&(1)&P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})={\tfrac {1}{3}}\\&(4)&P(M_{3}|G_{1})={\tfrac {1}{2}}\\&(5)&P(M_{3}|G_{2})=1\\&(5)&P(M_{3}|G_{3})=0\end{aligned}}$

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann Folgendes:

${\begin{aligned}P(G_{2}|M_{3})&={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})}}\\&={\frac {1\cdot {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}+1\cdot {\tfrac {1}{3}}+0\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {2}{3}}.\end{aligned}}$

Der Kandidat sollte also wechseln um seine Gewinnchancen von anfangs 1/3 auf nun 2/3 zu verdoppeln.

Eine Million Tore

Das Ziegenproblem lässt sich auch erklären, indem man die Situation überspitzt. Es gibt dann eine Million Tore und hinter genau einem befindet sich das Auto. Nachdem der Kandidat ein Tor gewählt hat, z.B. Tor 1, öffnet der Moderator alle anderen Tore, jeweils mit einer Niete dahinter, bis auf eines, z.B. Tor 777777. Hier ist es sofort einsichtig, dass der Kandidat wechseln sollte: Die Wahrscheinlichkeit, mit dem zuerst gewählten Tor richtig zu liegen, ist sehr gering. Wenn man die Zahl der Tore verringert, ändert sich nichts daran, dass der Kandidat das Tor wechseln sollte, nachdem der Moderator alle Nieten bis auf eine entfernt hat. Insbesondere gilt dies auch für den Fall mit drei Toren.

Andere Spielvarianten

Aus dem Leserbrief geht nicht hervor, dass sich der Moderator an bestimmte Verhaltensregeln hält. Selbst wenn er gemäß solcher Regeln handeln würde, wäre nicht gewährleistet, dass der Kandidat diese Regeln auch kennt. Darüberhinaus gibt die Problemstellung keine Auskunft darüber, ob sich der Kandidat in einer einmaligen Spielsituation befindet oder ob das Spiel schon häufiger stattgefunden hat. Im zweiten Fall wäre es denkbar, dass der Kandidat Verhaltensweisen des Moderators verallgemeinern und daraus bestimmte Regeln ableiten konnte. Wegen dieser Unklarheiten in der Fragestellung existieren verschiedene Interpretationsvarianten, von denen einige im Folgenden vorgestellt werden. Dabei wird immer Bezug genommen auf die im Leserbrief beschriebene konkrete Spielsituation. Außerdem wird vorausgesetzt, dass der Kandidat die Verhaltensregeln des Moderators kennt. Die Entscheidung des Kandidaten ist dann in bestimmten Spielsituationen trivial zu treffen. Kennte er diese Regeln nicht müsste er sich so entscheiden als ob der Moderator sich an keine Regel halten würde.

Keine Regel

In diesem Fall bleibt dem Kandidaten nichts weiter übrig als seine Wahl zufällig oder nach einem Münzwurf zu treffen. Seine Gewinnwahrscheinlichkeit ist demgemäß p=1/2.

Der nette Moderator

Der Moderator macht das Angebot zum Wechseln nur, wenn Tor 1 nicht die Gewinnwahl ist. Da der Kandidat weiß, warum ihm ein Wechsel angeboten wird, wählt er natürlich jetzt Tor 2 und gewinnt sicher.

Der fiese Moderator

Der Moderator macht das Angebot zum Wechseln nur, wenn Tor1 die Gewinnwahl ist. Da der Kandidat weiß, warum ihm ein Wechsel angeboten wird, bleibt er natürlich bei Tor 1 und gewinnt sicher.

Der faule Moderator

Der Moderator, der nicht gerne große Wege zurücklegt, öffnet am liebsten Tor 3, weil er dort in der Nähe seinen Standort als Showmaster hat. Wenn also hinter dem vom Kandidaten gewählten Tor 1 das Auto stände, dann würde er mit Sicherheit Tor 3 öffnen, auf keinen Fall aber Tor 2.

Tabellarische Lösung

Für die folgende Erklärung wird angenommen, dass der Kandidat zu Anfang Tor 1 gewählt hat. Für die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 bzw. 3 gewählt hat und der Moderator dementsprechend andere Tore öffnet, gilt eine analoge Erklärung. Obwohl es hier ausreichen würde, die drei ersten Spielsituationen zu betrachten, werden sechs Fälle unterschieden, um die Problemstellung vergleichbar mit der obigen tabellarischen Lösung in Marilyn vos Savant's Variante modellieren zu können. Jede Spielsituation wird also zweimal betrachtet. Das entspricht einem Zufallsexperiment bei dem die beiden Ziegen voneinander unterschieden werden können, und jede Verteilung von Auto und Ziegen hinter den drei Toren gleichwahrscheinlich ist (Laplace-Experiment).

1		Auto hinter Tor 1. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege		Bei einem Wechsel verliert der Kandidat
2		Auto hinter Tor 2. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
3		Auto hinter Tor 3. Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
4		Auto hinter Tor 1. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege		Bei einem Wechsel verliert der Kandidat
5		Auto hinter Tor 2. Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
6		Auto hinter Tor 3. Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege		Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat

Zur Auswertung der Tabelle müssen nun die Fälle betrachtet werden, in denen der Moderator das Tor 3 öffnet. Das sind die Fälle 1, 2, 4 und 5. Man sieht, dass nur in zwei von vier dieser Fälle der Kandidat durch Wechseln gewinnt. Seine Gewinnwahrscheinlichkeit ist demnach hier nur p = 1/2. Es kann ebenso leicht aus der Tabelle abgelesen werden, dass wenn der Moderator Tor 2 öffnet, der Kandidat sicher gewinnt, wenn er zu Tor 3 wechselt.

Formelle Lösung

Es liegt folgende Situation vor: Der Kandidat hat Tor 1 gewählt, und der Moderator hat daraufhin das Tor 3 geöffnet. Es gelten dann folgende mathematische Beziehungen unter Berücksichtigung der oben definierten Ereignismengen:

${\begin{aligned}&P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{1})=1\\&P(M_{3}|G_{2})=1\\&P(M_{3}|G_{3})=0\\\end{aligned}}$

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann für die bedingte Wahrscheinlichkeit dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet:

${\begin{aligned}P(G_{2}|M_{3})&={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})}}\\&={\frac {1\cdot {\tfrac {1}{3}}}{1\cdot {\tfrac {1}{3}}+1\cdot {\tfrac {1}{3}}+0\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {1}{2}}.\end{aligned}}$

Für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto tatsächlich hinter Tor 1 befindet, gilt aber ebenfalls

${\begin{aligned}P(G_{1}|M_{3})&={\tfrac {1}{2}}.\end{aligned}}$

Der Gewinn hinter Tor 2 ist genauso wahrscheinlich wie der Gewinn hinter Tor 1. Der Kandidat kann also ebensogut bei Tor 1 bleiben wie zu Tor 2 wechseln. Seine Gewinnchancen sind p = 1/2.

Der nicht eingeschränkte Moderator

Der Moderator, der alle Tore einschließlich des vom Kandidaten zuvor gewählten Tores 1 mit der gleichen Wahrscheinlichkeit öffnet, öffnet zufällig Tor 3. Dann gelten folgende mathematische Beziehungen unter Berücksichtigung der oben definierten Ereignismengen:

${\begin{aligned}&P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{1})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{2})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{3})={\tfrac {1}{3}}\\\end{aligned}}$

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann für die bedingte Wahrscheinlichkeit dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet:

${\begin{aligned}P(G_{2}|M_{3})&={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})}}\\&={\frac {{\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {1}{3}}.\end{aligned}}$

Der Gewinn hinter Tor 2 ist genauso wahrscheinlich wie der Gewinn hinter Tor 1. Der Kandidat kann also ebensogut bei Tor 1 bleiben wie zu Tor 2 wechseln. Seine Gewinnchancen sind p = 1/2.

Der zufallsbestimmte Moderator

Wenn der Moderator die Möglichkeit hat, aus zwei Toren mit jeweils einer Ziege dahinter ein Tor auszusuchen (der Kandidat hat also das Tor mit dem Auto dahinter ausgewählt), dann öffnet er das Tor mit der höchstmöglichen Nummer mit der Wahrscheinlichkeit q und das Tor mit der niedrigeren Nummer mit der Wahrscheinlichkeit q* = 1 - q. Dann gelten folgende mathematische Beziehungen unter Berücksichtigung der oben definierten Ereignismengen:

${\begin{aligned}&P(G_{1})=P(G_{2})=P(G_{3})={\tfrac {1}{3}}\\&P(M_{3}|G_{1})=q\\&P(M_{3}|G_{2})=1\\&P(M_{3}|G_{3})=0\\\end{aligned}}$

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann für die bedingte Wahrscheinlichkeit dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet:

${\begin{aligned}P(G_{2}|M_{3})&={\frac {P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})}{P(M_{3}|G_{1})P(G_{1})+P(M_{3}|G_{2})P(G_{2})+P(M_{3}|G_{3})P(G_{3})}}\\&={\frac {1\cdot {\tfrac {1}{3}}}{q\cdot {\tfrac {1}{3}}+1\cdot {\tfrac {1}{3}}+0\cdot {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {1}{q+1}}.\end{aligned}}$

Diese Berechnung beschreibt den allgemeinen Fall, aus dem sich die Lösungen von Marilyn vos Savant (q = 1/2) und "Der faule Moderator" (q = 1) als Spezialfälle ableiten lassen.

Literatur

• Gero von Randow: Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten. Rowohlt, Reinbek 1992, ISBN 3-499-19337-X, Neuauflage: Rowohlt, Reinbek 2004, ISBN 3-499-61905-9
• Olle Häggström: Streifzüge durch die Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-23050-5
• Henk Tijms: Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. University Press, Cambridge 2004, ISBN 0521833299
• Gerd Gigerenzer: Das Einmaleins der Skepsis – Über den richtigen Umgang mit Zahlen und Risiken. Berlin-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-8270-0079-3
• Hans-Otto Georgii: Stochastik, Einführung in Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik, Seite 54 f, Gruyter, August 2004, ISBN 3-11-018282-3
• Norbert Henze:Stochastik für Einsteiger. Vieweg 1997, ISBN 3-528-06894-9, S. 51-52, 105-107
• Grinstead, Charles M. and Snell, J. Laurie, Online version of Introduction to Probability, 2nd edition, American Mathematical Society, Copyright (C) 2003 Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell: Grinstead and Snell’s Introduction to Probability. 4. Juli 2006 (dartmouth.edu [PDF; abgerufen am 2. April 2008]). 

Weblinks

Commons: Ziegenproblem – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Ziegenproblem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Visualisierte Demonstration und Evaluation des Ziegenproblems
• Recht anschauliche Beschreibung
• Die Zeit: Das Rätsel der drei Türen
• Matheprisma der Uni Wuppertal: Ziegenproblem – Online Simulation, bedingte und totale Wahrscheinlichkeit, Bayes-Formel

Siehe auch

• Gefangenenparadoxon
• Geh aufs Ganze!

Kommentare zu diesem Vorschlag:

Die tabellarische Lösung wie auch die formelle zum „faulen Moderator“ sind schlicht falsch, weil sie irrig davon ausgehen: „Für die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 bzw. 3 gewählt hat, gilt die gleiche Erklärung.“ Die korrekte Lösung findet sich im Abschnitt Analyse der Folgen eines Wechsels bei geänderter Strategie des Moderators (alle Konstellationen). -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 20:58, 29. Jun. 2009 (CEST)

Vielleicht liegt hier ein Missverständnis vor. Die tabellarische Lösung bezieht sich auf die Formulierung im Leserbrief, dass der Kandidat zunächst Tor 1 wählt. Wenn er stattdessen Tor 2 oder Tor 3 wählt, funktioniert die Lösung analog, natürlich für andere Tore, die der Moderator dann öffnen kann. Pro Vorwahl des Kandidaten gibt es 6 Fälle zu unterscheiden, das macht zusammen 18 Kombinationsmöglichkeiten und nicht nur 9. Außerdem dürfen in den jeweils 6 Fällen für die Lösung nur diejenigen betrachtet werden (bedingte Wahrscheinlichkeit), bei denen der Moderator das zuvor angegebene Tor öffnet. --89.50.33.228 21:50, 29. Jun. 2009 (CEST)

PS: Habs mal umformuliert...

Natürlich liegt hier ein Mißverständnis vor. Dieses liegt in der Annahme, bei veränderter Strategie des Moderators sei das Problem immer noch symmetrisch. (Ich habe insofern oben tatsächlich an der falschen Stelle eingehakt, sorry.) Korrekt ist, daß wenn der Kandidat Tor 1 wählt und der Moderator Tor 3 öffnet, Wechseln nur noch in 50% der Fälle gewinnt. Öffnet der Moderator jedoch Tor 2, gewinnt Wechseln in 100% der Fälle. Es bleibt dabei, daß der Kandidat in 2/3 der Fälle durch Wechseln gewinnt, wenn er zunächst Tor 1 gewählt hat. (Ebenso, wenn er zunächst Tor 2 oder Tor 3 gewählt hat). Falsch ist allerdings die Annahme, man müsse hier 18 gleichwahrscheinliche Kombinationsmöglichkeiten unterscheiden. Dies ist deshalb nicht nötig, weil hier jeweils zwei davon identisch sind, da der Moderator nicht mehr eines der verbliebenen Tore mit gleicher Wahrscheinlichkeit öffnet, falls der Kandidat von vornherein das Tor mit dem Auto gewählt hat. Er wählt hier vielmehr immer das Tor mit der höchsten Nummer. Daher bleiben nur neun gleichwahrscheinliche Kombinationen. Du bist herzlich eingeladen, für die von mir referenzierten Lösung eine Kombination aufzuzeigen, die fehlt oder (un)wahrscheinlicher ist als die anderen. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 07:53, 30. Jun. 2009 (CEST)

PS. Auch in der symmetrischen Aufgabenstellung ist es nicht notwendig, statt der tatsächlichen zwölf unterschiedlichen Abspiele deren 18 zu betrachten. Dies dient nur zur Vereinfachung, um das Problem auf ein Laplace-Experiment abzubilden, IOW: 18 gleichwahrscheinliche Abspiele zu erhalten. Dem mathematisch auch nur gemäßigt Begabten gelingt es jedoch, mit der Tatsache umzugehen, daß die genannten zwölf Abspiele nicht gleichwahrscheinlich sind, sondern drei der neun möglichen Ausgangssituationen jeweils zwei gleichwahrscheinliche mögliche Ausgänge haben (siehe mein obiges Posting von vor einer Stunde). So ergeben diese drei Ausgangssituationen sechs mögliche Abspiele mit einer Wahrscheinlichkeit von je 1/18, die anderen sechs Ausgangssituationen sechs weitere mögliche Abspiele mit einer Wahrscheinlichkeit von je 1/9. -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 08:54, 30. Jun. 2009 (CEST)

Mir ist nicht klar, worauf du hinauswillst. Möchtest du noch eine andere Spielvariante einfügen: "Der Noderator öffnet immer das Tor mit der höchsten Nummer."?

Du sagst:"Dem mathematisch auch nur gemäßigt Begabten gelingt es jedoch, mit der Tatsache umzugehen, daß [...] drei der neun möglichen Ausgangssituationen jeweils zwei gleichwahrscheinliche mögliche Ausgänge haben." Das gelingt anscheinend auch höher Begabten nicht immer. Wie ist es sonst zu erklären, dass manche hier den Unterschied zwischen Savants Lösung und der Lösung "Der faule Moderator" nicht unmittelbar wahrgenommen haben? Oder behauptest du, dass Letztere keine Lösung der Problemstellung im Leserbrief ist? --89.50.32.28 17:13, 1. Jul. 2009 (CEST)

PS: 1.Ich habe mal deine Anregung "Laplace-Experiment" im Vorschlag erwähnt.

2. In der aktuellen Fassung des Artikels wird die "Gleichwahrscheinlichkeit" bei Regel 4 überhaupt nicht gefordert. Da sind dann viele Interpretationen möglich... (nicht signierter Beitrag von 89.50.32.28 (Diskussion) 17:37, 1. Jul. 2009)

Der „faule Moderator“ öffnet immer das Tor mit der größten Nummer. Diese Formulierung ist logisch äquivalent zur der in der modifizierten Aufgabenstellung. Die angesprochenen Situation („daß [...] drei der neun möglichen Ausgangssituationen jeweils zwei gleichwahrscheinliche mögliche Ausgänge haben“) tritt nicht beim faulen Moderator auf, sondern bei der ursprünglichen Fragestellung, wie sie jetzt im Artikel ausgeführt ist. In der aktuellen Regel 4 heißt es: „Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann öffnet der Moderator zufällig ausgewählt eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege befindet.“ Das bedeutet sehr wohl Gleichwahrscheinlichkeit. Der faule Moderator hingegen öffnet immer Tor 3 oder das Tor, welches sich am nächsten an Tor 3 befindet, also das mit der höchsten Nummer. Daher gibt es nur 9 mögliche, gleichwahrscheinliche Abspiele. Hast Du die korrekte Lösung zum „faulen Moderator“ überhaupt gelesen? -- M.ottenbruch sup>¿⇔! RM 20:34, 1. Jul. 2009 (CEST)

OK, so langsam fang ich an zu kapieren was du meinst... Die tabellarische Lösung von "Der faule Moderator" in meinem Vorschlag ist tatsächlich redundant: die Fälle 4-6 sind Kopien der Fälle 1-3. Der Grund für die Doppelung ist die Vergleichbarkeit dieser Tabelle mit der tabellarischen Lösung von Savants Interpretation. Das finde ich wichtig für die OMA-Tauglichkeit des Vorschlags.

Bezogen auf die von dir favorisierte Lösung heißt das, dass man auf 6 der 9 Fälle verzichten könnte und sie reduziert auf die Zeilen 1, 4 und 7. Und wenn man diese Zeilen gemäß des Leserbriefs auswertet kommt man zu dem Ergebnis p = 1/2. Es wird ja vorausgesetzt:"Der Kandidat wählt Tor 1, der Moderator öffnet Tor 3."

"Zufällig ausgewählt" heißt nicht unbedingt "gleichwahrscheinlich". Der Moderator könnte das Tor mit der höchstmöglichen Nummer mit p = 2/3 und das Tor mit niedrigerer Nummer mit p = 1/3 öffnen. Dann handelt es sich immer noch um eine Zufallsentscheidung, aber nicht mehr um Savants Lösung. --89.50.26.245 23:13, 1. Jul. 2009 (CEST)

In der beispielhaften Lösung der exakten Aufgabenstellung wird zwar vorausgesetzt: „Der Kandidat wählt Tor 1, der Moderator öffnet Tor 3.“ Es wird aber ebenfalls - zutreffend! - angenommen, daß die Lösung aus Symmetriegründen analog ist für den Fall: „Der Kandidat wählt Tor 1, der Moderator öffnet Tor 2.“ Dies ist aber gerade nicht der Fall, wie die korrekte Lösung zum „faulen Moderator“ zwanglos nachweist. Und deswegen ist das Ergebnis p = 1/2 falsch. Vielmehr gewinnt der Kandidat auch bei einem „faulen Moderator“ in 2/3 der Fälle durch Wechseln das Auto, und zwar genau dann, wnn er nicht von vornherein das Tor mit dem Auto gewählt hat. Hast Du die korrekte Lösung zum „faulen Moderator“ überhaupt gelesen? -- M.ottenbruch ^{¿⇔! RM} 07:40, 2. Jul. 2009 (CEST)

Natürlich habe ich sie gelesen. Nehmen wir den Fall "Kandidat wählt Tor 1, Moderator öffnet Tor 2". Wenn der Kandidat jetzt wechselt gewinnt er sicher, denn wenn Tor 2 das Tor mit der höchstmöglichen Nummer ist, welches der "faule Moderator" öffnen kann, muss das Auto hinter Tor 3 sein. Das weiß der Kandidat, und damit ist die Gewinnwahrscheinlichkeit p = 1.

Es gibt für jede Kombination "Torwahl durch den Kandidaten/Toröffnung durch den Moderator" eine eindeutige Lösung für die Gewinnchancen p des Kandidaten. Die Lösungen sind aber unterschiedlich. Bei T1/T3 ist p=1/2. Bei T1/T2 ist p=1. Bei T2/T3 ist p=1/2, bei T2/T1 ist p=1. Und bei T3/T2 ist p=1/2, bei T3/T1 ist p=1. Da kommt die bedingte Wahrscheinlichkeit ins Spiel um die konkrete Spielsituation zu modellieren, also welches Tor der Moderator öffnet und damit in das Spielgeschehen eingreift. Der Kandidat hat einfach Pech, wenn wie im Leserbrief Tor 3 geöffnet wird. Er hoffte wahrscheinlich darauf, dass der faule Moderator nur Tor 2 öffnen kann und damit der Gewinn sicher ist...

Vielleicht hast du recht mit der Kritik an der Formulierung des Abschnitts "Der faule Moderator" im Vorschlag. Da kann man ja noch was verbessern. --89.50.20.20 13:01, 2. Jul. 2009 (CEST)

Ich würde gerne konkrete Einzelnachweise sehen, dass die Sekundärliteratur das Problem wie hier beschrieben behandelt, d.h. das Verhalten des Showmasters frei varitert. --Pjacobi 23:42, 29. Jun. 2009 (CEST)

Ich möchte mich Pjacobi's Hinweis anschließen, es wäre schön für die einzelnen Abschnitten direkt die Quellen anzugeben (sowie im englischen Interwiki). Ansonsten finde ich diesen Vorschlag durchaus brauchbar.

@pjacobi: Unabhängig von der Tatsache, das die Quellen in den Artikel sollten, wenn du auch einfach persönlichem Interesse wissen wolltest, wo welche Variation steht, dann kannst du das zur Zeit im englischen Interwiki nachlesen. Alles was online lesbar ist, findet sich auch in der Quellenliste auf dieser Diskussionseite.--Kmhkmh 00:26, 30. Jun. 2009 (CEST)

Ich wollte eigentlich weniger wissen, wo welche Variante steht, sondern ob es überhaupt sinnvoll und quellenbelegt, hier eine solche Variantenlandschaft auszubreiten. --Pjacobi 10:43, 30. Jun. 2009 (CEST)

Ok, die kurze Antwort dazu ist ja. Nachdem Presseecho auf die Diskussion des Problems durch vos Savant im Magazin Parade hat es eine ganze Reihe von Veröffentlichungen gegeben, die sich mit allen möglichen Varianten und Perspektiven beschäftigt haben.--Kmhkmh 10:54, 30. Jun. 2009 (CEST)

Denkfehler der Mathematiker

Ich denke hier liegt ein Denkfehler vor. Scheinbar hat man die Wahl zwischen 3 Toren. Letztendlich läuft es aber IMMER auf die Wahl zwischen ZWEI TOREN (Richtiges und Falsches) heraus. Die anfängliche Auswahl "eins aus drei" existiert eigentlich nicht. Sie ist ein Trugschluss. Denn egal wie man sich entscheidet, bleibt die endgültige Entscheidung zwischen ZWEI Toren.

--Mika82 (13:44, 20. Sep. 2009 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Ja. Und? --AchimP 14:46, 20. Sep. 2009 (CEST)

Was "Ja und" ? Damit wollte ich sagen, dass die Wahrscheinlichkeit 50:50 beträgt. Der andere Denkansatz ist m. E. rein theoretischer Nautur. (nicht signierter Beitrag von Mika82 (Diskussion | Beiträge) 14:53, 20. Sep. 2009 (CEST))

Wieso sollte bei zwei Toren die Wahrscheinlichkeit 50:50 sein, wenn man wie beim Ziegenproblem Zusatzinformationen hat? Stell Dir zwei Tore vor, eine rotes und ein grünes. Der Quizmaster erzählt Dir vor dem Spiel, dass er vor Dir versteckt einen normalen Würfel werfen würde. Kommt eine 6, platziert er den Gewinn hinter dem roten Tor, ansonsten hinter dem grünen. Dann würfelt er und platziert den Gewinn, ohne dass Du es sehen kannst. Nun darfst Du ein Tor wählen. Welches wählst Du, wenn Du den Gewinn gerne haben möchtest, und warum? --AchimP 15:00, 20. Sep. 2009 (CEST)

Ich würde nach Belieben eines der beiden wählen, es ist egal. Das mit den Zusatzinfos ist und bleibt "theoretischer Vierlefanz".

Fakt ist: zwei Tore stehen zur Auswahl, eines ist das Richtige und eines das Falsche. Zusatzinfo hin oder her, die Chance steht 50:50.

Es wäre interessant das Spiel mal mit z. B. 2000 Kandidaten durchzuspielen. Die eine Hälfte der Kandidaten wechselt ihre Auswahl nochmal, die andere nicht. Ich glaube, es würden beide Seiten etwa gleich häufig gewinnen. (nicht signierter Beitrag von Mika82 (Diskussion | Beiträge) 15:11, 20. Sep. 2009 (CEST))

Ich hingegen würde stets das grüne Tor wählen und mit 5/6 den Gewinn abräumen. Wenn Du dieses einfache Beispiel nicht nachvollziehen kannst, dürfte es schwer werden, Dir das Ziegenproblem zu erklären. --AchimP 15:28, 20. Sep. 2009 (CEST)

Ja, Mika82, der "theoretische Vierlefanz" hat mit Mathematik zu tun. Das verstehst du halt nicht, macht aber nix, es gibt Schlimmeres. -- Martin Vogel 18:52, 20. Sep. 2009 (CEST)

Und zahlreiche Experimtente unterstützen die 2/3- Wahrscheinlichkeit. --χario 19:46, 20. Sep. 2009 (CEST) PS: Ich würde auch grün wählen :-D

... am 27. September? -- Martin Vogel 21:31, 20. Sep. 2009 (CEST)

Mika82: Es ist eben die Krux mit der bedingten Wahrscheinlichkeit, so dass der mathematisch Unbedarfte leicht in die Falle tappt. Die Zusatzinfo ist deswegen von Bedeutung, weil sie nach der ersten Wahl erfolgt. Man kann das Dreitürenproblem aber auf folgende Art gut veranschaulichen: Man stelle sich vor, dass es nicht nur drei Türen gäbe sondern 100. Hinter einer der 100 Türen verbirgt sich das Traumauto. Man wird vom Quizmaster aufgefordert, eine Türe zu wählen und wählt z.B. die Tür Nr. 39. Diese Türe bleibt erstmal dicht und der Quizmaster öffnet als Zusatzinfo sämtliche Türen bis auf Tür Nr. 39 (die vom Kandidaten gewählt wurde) und Tür Nr. 73. So, und jetzt nochmal: zwei Türen sind noch zu: 39 und 73. Würdest Du immer noch behaupten wollen, die Chance sei 50:50, dass der Hauptgewinn hinter Nr. 39 liegt? – Wladyslaw [Disk.] 15:05, 22. Sep. 2009 (CEST)

Falsche Anzahl möglicher Ereignisse

Meines Erachtens, liegt dieser Rechnung eine falsche Annahme über die Anzahl der möglichen Ereignisse im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie zugrunde:

Das eine mögliche Ereignis ist selbstverständlich die Wahl des richtigen Tores.

Die folgenden Ereignisse dürfen aber nicht als zwei selbständige Ereignisse gewertet werden:

Ich wähle Tor 1, hinter dem sich eine Ziege befindet. Ich wähle Tor 2, hinter dem sich eine Ziege befindet.

Beide Ereignisse führen nämlich zwangsweise zu demselben Ergebnis: Nachdem zwangsläufig ein Ziegentor eliminiert wurde, habe ich das einzig verbliebene Ziegentor gewählt. Das ist das wahre mögliche Ereignis im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es handelt sich nicht um zwei mathematisch relevante Ereignisse, nur weil ich auf verschieden Wegen an dasselbe Ziel gekommen bin. Entgegen der oben vertretenen Meinung ist es nämlich unerheblich, auf welchem Weg ich vor das letzte verbliebene Ziegentor gekommen bin. Selbst wenn es 1000 Tore gäbe, hinter denen sich Ziegen befinden, von denen 999 vor der entscheidenden Wahl geöffnet wurden, bleibt es bei dem Ereignis, dass ich vor einem einzig verbliebenen Ziegentor stehe. Es handelt sich nicht um 1000 Ereignisse, denn alle diese Ereignisse haben dieselbe Konsequenz.

Dem Laplace-Experiment zufolge ändert sich die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen durch einen Wechsel des Tores nicht:

P(E) = Anzahl der Erfolgsmöglichkeiten / Anzahl der möglichen Ereignisse

Anzahl der möglichen Ereignisse beim Verbleib vor demselben Tor:

1. Ich stehe nach Öffnung des einen falschen Tores vor dem richtigen Tor und bleibe bei diesem. 2. Ich stehe nach Öffnung des einen falschen Tores vor dem anderen falschen Tor und bleibe bei diesem.

Gewinnwahrscheinlichkeit: 1/2

Anzahl der möglichen Ereignisse beim Wechsel des Tores:

1. Ich stehe nach Öffnung des einen falschen Tores vor dem anderen falschen Tor und wechsle zum richtigen. 2. Ich stehe nach Öffnung des einen falschen Tores vor dem richtigen Tor und wechsle zum falschen Tor.

Gewinnwahrscheinlichkeit: 1/2 (nicht signierter Beitrag von 92.225.28.100 (Diskussion | Beiträge) 01:29, 12. Okt. 2009 (CEST))

Hallo IP 92.225.28.100, schön dass du dir Gedanken zum Thema gemacht hast. Du schreibst (sinngemäß): Und wenn es 1000 Tore mit 999 Ziegen und einem Auto gäbe, von denen 998 (!) geöffnet werden [...] – Nun, dann sind ebenfalls noch zwei Tore verschlossen: Das letzte Ziegentor und das Auto-Tor. Schätzt du die Gewinn-Wahrscheinlichkeit bei einen Wechsel dann auch noch 1:1 ein? Korrekt wäre 999:1. Liebe Grüße Gerhardvalentin 18:44, 12. Okt. 2009 (CEST)

Da habe ich einen entscheidenden Denkfehler gemacht!!! Vielleicht hat er auch etwas gutes und hilft, den vielen Zweiflern auf die richtige Fährte:

Meine Annahme, dass sich die Wahrscheinlichkeiten mit dem Öffnen des ersten Tores zu meinen Gunsten verändert haben, geht fehl. Denn der Moderator wählt nicht nach dem Zufallsprinzip aus! Da klar ist, dass auf jeden Fall ein Ziegentor geöffnet wird und daher kein für mich negatives Ereignis (Öffnen der Autotür) eliminiert werden kann, hat das Öffnen auch keinen positiven Einfluss auf meine Siegwahrscheinlichkeit. Daher müssen die unterschiedlichen Tore doch als relevante Ereignisse betrachtet werden.

Gruß Felix--85.179.24.194 15:43, 13. Okt. 2009 (CEST)

Einfache Erklärung: Es läßt sich sehr leicht und nachvollziehbar zeigen, daß der Kandidat K bei der Wechselstrategie genauso gestellt ist, als hätte er von vornherein das Recht, gleich zwei beliebige Türen auf einmal zu öffnen und das Auto zu gewinnen, wenn es hinter einer der beiden Türen steht. Daß die Chance in einem solchen Fall bei 2/3 liegt, muß sicher nicht näher erläutert werden.

Nehmen wir also an, die Türen seien von links nach rechts mit 1 - 3 numeriert und der K möchte die Türen 2 und 3 geöffnet haben (Entsprechendes gilt für jedes beliebige andere Türpaar). Das Öffnen dieser beiden Türen 2 und 3 (und damit die 2/3-Chance für den Gewinn) erzwingt der K unter Beachtung der Spielregeln wie folgt:

Er tippt zuerst auf die Tür außerhalb des gewählten Paars, im Beispiel also Tür 1, und sorgt damit dafür, daß diese Tür vom Moderator M nicht als etwaige Ziegentür geöffnet werden darf, so daß der M seine Ziegentür nur noch aus dem vom K insgeheim gewählten Paar 2 und 3 öffnen kann. Wenn der M nun als Ziegentür die 2 öffnet, "wechselt" der K zu Tür 3 und läßt diese öffnen, und wenn der M als Ziegentür die 3 öffnet, "wechselt" der K nun auf die Tür 2. Und schon stehen in beiden Fällen exakt die beiden Türen 2 und 3 offen, die der K dafür vorherbestimmt hatte - und er gewinnt das Auto, wenn es sich entweder hinter Tür 2 oder hinter Tür 3 befindet. Das einzige, was er dafür tun mußte, bestand im Eliminieren der nicht zum Paar gehörigen Tür durch die "erste Wahl", deren Rolle sich mithin bei Licht betrachtet qualitativ darauf reduziert, die beiden "anderen" zum Öffnen auszuwählen.

--Wilbert 92.79.172.140 16:19, 1. Nov. 2009 (CET)

+ 1 !   Gruß   -- Gerhardvalentin 11:33, 11. Nov. 2009 (CET)

Der Artikel in seiner aktuellen Fassung ist grottenschlecht, die Erklärungen sind umständlich und teilweise sinnlos überkompliziert.

Wie ich inzwischen festgestellt habe, enthielt der Artikel eine zeitlang eine meinem letzten Beitrag entsprechende Erklärung, wenn auch unter der etwas verwirrenden und letztlich unzutreffenden Überschrift "Erweiterungen und Alternativen". Warum ist das wieder herausgenommen worden? Warum hat eine einfache und einleuchtende Erklärung es nicht verdient, im Artikel dargestellt zu werden?

Bei dem wieder verworfenen Erklärungsansatz handelt es sich allerdings keineswegs um eine Erweiterung oder Alternative, denn darunter könnte man doch nur eine Erklärung mithilfe einer Variante der Spielregeln verstehen. In diesem Sinne könnte man zwar spontan an eine "Alternative" denken, wenn man davon ausgeht, daß der Kandidat (erst- bzw. einmaliges Spiel unterstellt) im Zeitpunkt der ersten Wahl noch gar nicht weiß, daß der M ihm nach dem Öffnen einer Ziegentür den "Wechsel" anbieten wird. Diese Überlegung geht aber fehl, denn nachdem das Wechselangebot vorliegt, kann der K, wenn er eben pfiffig genug ist, sich sehr wohl immer noch klarmachen, daß er jetzt in genau der gleichen Situation ist, als hätte er von Anfang an zwei bestimmte Türen in der Weise zum Öffnen positiv auswählen dürfen, daß er das Öffnen einer bestimmten Tür ausschließen läßt - denn ein identisches Ergebnis kann er eben auch jetzt noch durch "Wechseln" herbeiführen.

-- Wilbert87.187.49.119 09:21, 19. Nov. 2009 (CET)

Ich schon wieder...

Bis in die jüngste Zeit hat sich auch in diesem Diskussionsstrang immer wieder bestätigt, daß es letztlich ausschließlich die intuitiv naheliegende 50/50-Vorstellung ist, die den gedanklichen Weg zum richtigen Verständnis/Aha-Erlebnis blockiert. Gäbe es diese fatale 50/50-Schiene nicht, hätte doch nie auch nur ein einziger Hahn nach dem im Kern zutiefst läppischen Ziegenproblem gekräht. Es kann daher doch eigentlich nicht angehen, daß ausgerechnet dieser zentrale Aspekt, der dem Ziegenproblem überhaupt erst seinen (bei Licht betrachtet einzigen!) Reiz gibt, in der aktuellen Fassung mit keinem Wort mehr angesprochen wird.

Die (siehe meinen letzten Beitrag) früher schon einmal im Artikel behandelte, dann aus unerfindlichen Gründen offenbar wieder eliminierte und von mir kürzlich neu angeregte Erklärung hätte nicht zuletzt auch den Vorzug, zugleich einen wie ich meine gut nachvollziehbaren Ansatz zur Widerlegung der 50/50-Annahme beizusteuern. Denn sie ist geeignet, zu verdeutlichen, daß im letzten Schritt in Wahrheit eben nicht die Wahl zwischen zwei Türen zu treffen ist, von denen man nicht weiß, hinter welcher sich das Auto befindet, sondern daß, weil im ersten Schritt die Wahl zwischen einer Einzeltür und einem Türpaar bereits endgültig erfolgt ist, die am Ende zum vermeintlichen Wechsel zur Verfügung stehende (scheinbar einzelne) Tür nichts anderes ist als der jetzt noch per finaler Öffnung abzuarbeitende "Rest" des zum vollständigen Öffnen ausgewählten Paars - wobei es konstruktiv schnurzpiepegal und für das Ergebnis völlig irrelevant ist, welche Tür des Paars nun als erste geöffnet wird. In Wahrheit steht ja fest, daß ich im Ergebnis beide Türen des Paars öffne, das könnte ich also ebensogut auch sofort und gleichzeitig tun. Daß sich hinter einem beliebig ausgewählten Türpaar zwangsläufig immer mindestens eine Ziege verbergen muß, ist bei der vorausgesetzten Verteilung logisch zwingend und geradezu unvermeidbar ;-) Wenn ich also ein beliebiges Türpaar öffne, kommt immer mindestens eine Ziege zum Vorschein, und dies völlig unabhängig davon, mittels welchen Prozederes ich dieses Türpaar öffne. Daß nach den Regeln immer zuerst eine (zwingend stets vorhandene!) Ziegentür geöffnet werden muß, ist unter diesem Blickwinkel nur willkommenes Mittel zum Zweck der Ermöglichung der zur 50/50-Annahme verleiten sollenden Frage nach dem "Wechsel" (die sich in Wahrheit aber gar nicht stellt). Man muß sich einfach von der Vorstellung lösen, daß es sich bei der Tür der "ersten Wahl", der geöffneten Ziegentür und der sog. Wechseltür um verschiedene einzelne Türen mit je eigenständigem Schicksal handeln könnte.

Die "erste Wahl" bestimmt diese Tür in Wahrheit eben gerade nicht für eine potentielle Öffnung, sondern schließt sie umgekehrt vom Geöffnetwerden aus. Ein echter Wechsel im Sinne der Aufgabe könnte aber nur zwischen zwei Türen erfolgen, von denen jede für ein Öffnen in Betracht kommt, sonst vergliche man die berühmten Äpfel mit den ebenso berühmten Birnen.

All dies führt zu guter Letzt zu der Erkenntnis, daß beim Ziegenspiel überhaupt kein Wechsel stattfindet, weder von einer Tür zu einer anderen, noch von einer Einzeltür zu einem Paar. Vielmehr wird, wie man es auch dreht und wendet, von Anfang an ein Türpaar ausgewählt und dessen beide Türen werden geöffnet - und Schluß! So erweist sich das Wort "Wechsel" als grandioser Etikettenschwindel, der allerdings die verführerische sedes materiae der üblichen Verwirrung bildet.

-- Wilbert 87.187.46.174 18:44, 20. Nov. 2009 (CET)

Ich versuche es mal anders, dir das 2/3-Ergebnis plausibel zu machen. Voraussetzungen:

• Bei dem Spiel mit drei Türen gibt es auf jeden Fall ein Auto zu gewinnen. Man kann auch sagen: Kein Spiel ohne Hauptgewinn. Die Wahrscheinlichkeit ist also w(gesamt)=100%.
• Es gibt einen Moderator und zwei Spieler, die ich mal A und B nennen will. Alle drei kommen gleichzeitig auf die Bühne, das Spiel geht los.
• Spieler A ist ein Sturkopf, der bei seiner ersten Wahl bleiben wird.
• B entscheidet sich zunächst für die gleiche Tür wie A. B imitiert also A.
• Spieler B ist unsicher und wird wechseln, wenn es angeboten wird.

1. Wir sollten uns einig sein, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit für A 1/3 ist. Begründung: A kommt, sieht drei Türen, entscheidet sich für eine, also w(A)=1/3=33,3%. Damit ist für ihn das Spiel zu Ende, denn was der Moderator anschließend auch immer erzählt und was B macht, A ist stur und bleibt bei der ersten Wahl.
2. Für B sieht das ganz anders aus: Er entscheidet sich zunächst wie A, das war so abgemacht. Nachdem der Moderator eine Tür geöffnet hat, wechselt B zur anderen, noch geschlossenen Tür. A und B wetten nun auf verschiedene Türen. Nur einer kann gewinnen.
3. Nun ist das Spiel beendet. Weil es nun garantiert ein Auto gibt, muss gelten w(A)+w(B)=w(gesamt)=100%. Nun muss nur noch die simple Gleichung gelöst werden: w(B)=100%-33,3%=66,7%. Fertig.

Noch Fragen, Wilbert? --Herbertweidner 23:58, 17. Dez. 2009 (CET)

Allerdings, Herbertweidner! Ich frage mich verzweifelt, wodurch ich bei dir den Eindruck erweckt habe, daß ich das 2/3-Ergebnis nicht für plausibel halte, daß ich also einer weiteren Erklärung bedürftig sei. Aus meinen vorstehenden letzten Beiträgen kannst du das wohl kaum geschlossen haben.

Deine jetzige Erklärung entspricht in etwa meiner Erklärung vom 28. März 2008 (siehe Archiv 4), die da lautete:

"a) Hinter der Tür der 1. Wahl steht in 2 von 3 Fällen eine Ziege.

b) Nach dem Öffnen einer Ziegentür (Aussortieren einer Niete) steht in allen Fällen hinter der restlichen Tür die Gegenchance zur Tür der 1. Wahl. In allen Fällen, in denen hinter der Tür der 1. Wahl eine Ziege steht, steht also hinter der restlichen Tür das Auto.

c) Da hinter der Tür der 1. Wahl in 2 von 3 Fällen eine Ziege steht (a), steht in 2 von 3 Fällen hinter der restlichen Tür das Auto (b)."

Allerdings nur, falls du viel Zeit und Geduld hast, könntest du dir zBsp auch meine Erzählstunde vom Schalttag 2008 (Archiv 5) zu Gemüte führen, oder meine (wahrscheinlich mehrmals verbreitete) Analogie mit drei Kugeln und einem Beutel (als traditioneller "Urne"), und, und, und... Will sagen: mich mußt du wirklich nicht überzeugen ;-)

Viele Grüße, -- Wilbert 87.187.116.234 10:38, 19. Dez. 2009 (CET)

Nijdams Statement soll den obigen konkludenten Beitrag von Wilbert nicht "zerstückeln", deshalb hier nachgestellt: --Gerhardvalentin 15:20, 20. Dez. 2009 (CET)

"a) Hinter der Tür der 1. Wahl steht in 2 von 3 Fällen eine Ziege.

>Richtig: : P(Ziege hinter Tür 1)=2/3. Nijdam 14:21, 20. Dez. 2009 (CET)

b) Nach dem Öffnen einer Ziegentür (Aussortieren einer Niete) steht in allen Fällen hinter der restlichen Tür die Gegenchance zur Tür der 1. Wahl. In allen Fällen, in denen hinter der Tür der 1. Wahl eine Ziege steht, steht also hinter der restlichen Tür das Auto

>Richtig: P(Ziege hinter Tür 1|Tür 3 geöffnet)+P(Ziege hinter Tür 2|Tür 3 geöffnet)=1. Nijdam 14:21, 20. Dez. 2009 (CET)

c) Da hinter der Tür der 1. Wahl in 2 von 3 Fällen eine Ziege steht (a), steht in 2 von 3 Fällen hinter der restlichen Tür das Auto (b)."

>Antwort als Zahl richtig, aber falsch argumentiert! P((Ziege hinter Tür 1)=2/3, aber warum ist auch P(Ziege hinter Tür 1|Tür 3 geöffnet)=2/3? Nijdam 14:21, 20. Dez. 2009 (CET)

@Nijdam:

Ich will das Auto gewinnen und muß daher die Frage beantworten, welche von zwei dafür möglichen Türen ich am Schluß öffnen soll. Da genügt mir "die richtige Zahl" (Gewinnwahrscheinlichkeit) für die "restliche Tür", welche lfd. Nummer diese restliche Tür oder irgendeine andere Tür auch immer trage. Denn von den lfd. Nummern bzw. von der konkreten Verteilung von Auto und Ziege hängt für meine finale Entscheidung nichts ab, wohl aber gibt es am Ende immer eine - und nur eine - ganz bestimmte "restliche" Tür, für die oder gegen die ich micht entscheiden muß - und für die ich mich entscheiden sollte, wenn ich gesteigerten Wert darauf lege, das Auto zu gewinnen.

Die Wahrscheinlichkeitswerte für die vom M zwischendurch geöffnete Ziegentür interessieren mich bei der ganzen Chose einen feuchten Sonstwas, es ist mir insbesondere egal, ob sich bezüglich dieser Tür die Werte im Verlauf des Procedere irgendwann geändert haben oder nicht. Auch davon hängt für meine Entscheidung nichts ab, denn nachdem diese Tür offen steht, ist sie für mich nur noch Mittel zum Zweck für einen logischen Schluß, der von den gegenwärtigen oder vergangenen Wahrscheinlichkeitswerten dieser (geöffneten) Tür ganz unabhängig ist. Warum sollte man die Lösung/Erklärung mit solchen irrelevanten Marginalien überfrachten, die auch zum Verständnis nichts beitragen (Ockham läßt grüßen)? Hier ist das Aha-Erlebnis gefragt, der Groschenfall, mehr nicht. Der Rest ist entbehrliche intellelle Selbstbefriedigung (das Wolkenkuckucksheim läßt grüßen).

Der Artikel ist schon in seiner jetzigen Fassung ein Trauerspiel und der Wikipedia m. E. nicht würdig. Allerbestens gefällt mir in diesem Kontext übrigens das treffliche Feynman-Zitat auf Herbertweidners Benutzerseite: "Wenn man etwas nicht auf Anfängerniveau verstanden hat, hat man es selbst nicht verstanden." Diese gnadenlose Wahrheit sollte sich jeder Lehrende und vor allem jeder, der mit Didaktik zu tun hat, ausschneiden und grelleuchtendrot unterstrichen und umrahmt über seinen Schreibtisch hängen (oder wo er es sonst so oft wie möglich im Blickfeld hat...)

(So, das mußte mal gesagt werden... ;-))

Grüße, -- Wilbert 87.187.43.166 17:39, 20. Dez. 2009 (CET)

Es ist sonnenklar dass du wenig von Wahrscheinlichkeitsrechnung verstehst. Nijdam 16:41, 21. Dez. 2009 (CET)

Völlig falsch, Nijdam: ich verstehe nicht wenig von Wahrscheinlichkeitsrechnung, sondern gar nichts. Warum sollte ich auch? Ich bin ein stinknormaler Nichtmathematiker mit gesundem Menschenverstand und der (selbst bei Nichtmathematikern hier und da anzutreffenden) Fähigkeit, logisch zu denken. Man muß überhaupt nichts von Wahrscheinlichkeitsrechnung verstehen, um diese läppische Denksportaufgabe zu verstehen und korrekt zu lösen. Und genau das scheint es zu sein, was "Kenner der Materie" wie Dich so ärgert. So muß denn ohne jede Not das Problem krampfhaft künstlich aufgebauscht und nach allen Regeln der Kunst zerredet und verwässert werden - bis es am Ende niemand mehr versteht. Aber das kann nicht der Sinn eines Wikipedia-Artikels sein.

Man könnte auch die altbekannte Scherzfrage "Ein Stein wiegt 1 kg plus die Hälfte seines Gewichts. Wie schwer ist der Stein?" sicherlich mittels eindrucksvoller Gleichungen lösen. Aber muß man das wirklich, und wenn ja: warum eigentlich?

-- Wilbert 87.187.127.43 23:33, 21. Dez. 2009 (CET)

Wenn Dir ein falscher Lösungsweg mit einem zahlenmäßig zufällig richtigen Ergebnis ein befriedigendes Aha-Erlebnis bereitet, so sei Dir das gegönnt. Es ist allerdings anzumerken, dass der Groschen dann in den falschen Schlitz fällt. --AchimP 17:55, 20. Dez. 2009 (CET)

Wenn in 2 von 3 Fällen das Auto hinter einem bestimmten Türpaar steht, wobei lediglich unbekannt ist, hinter welcher dieser beiden Türen es steht (wenn denn überhaupt), und der M dann ohne eigenes Zutun des K dieses Paar in eine Einzeltür "umwandelt" (das Paar gewissermaßen komprimiert), ohne daß dabei das Auto zum Vorschein gekommen ist, steht das Auto in diesem Fall eben in 2 von 3 Fällen hinter dieser jetzt allein verbliebenen Einzeltür und in 1 von 3 Fällen nicht - was denn sonst? Wieso ist dieses Ergebnis zahlenmäßig nur zufällig richtig?

-- Wilbert 87.187.88.252 08:54, 21. Dez. 2009 (CET)

+1, Wilbert !   −   zur Groschendämmerung:

Wenn hinter einem bestimmten Türpaar laut Spielregel mit absoluter Sicherheit zumindest eine Ziege steht, und sich hinter diesem Türpaar laut Spielregel in (nur) 2 von 3 Fällen, mit einer Wahrscheinlichkeit von (nur) 2/3 auch das Auto dort befindet, wobei lediglich noch unbekannt ist, hinter welcher dieser beiden Türen es stehen kann, und der M dann dieses Türpaar in eine Einzeltür "umwandelt", die Chance auf das Auto gewissermaßen komprimiert, ohne dass dabei das Auto zum Vorschein gekommen ist, steht das Auto dann eben in 2 von 3 Fällen hinter dieser jetzt noch verschlossen gebliebenen Einzeltür und in 1 von 3 Fällen nicht - was denn sonst? Unnötige mathematische Berechnungen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten können das nicht widerlegen. Was soll daran unklar sein? Wieso ist dieses Ergebnis zahlenmäßig nur zufällig richtig? Wo bleibt der Groschen? LG --Gerhardvalentin 11:48, 21. Dez. 2009 (CET)

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit in der Aufgabenstellung ist P(Ziege hinter Tür 1|Tür 3 geöffnet), weil zum Zeitpunkt der Entscheidung des Kandidaten Tür 3 geöffnet und nicht geschlossen ist. Dabei kommt p=2/3 raus. Wenn ich nun irgendeine andere Wahrscheinlichkeit als die gesuchte berechne, z.B. P(Name d.Moderators ist Harry) und behaupte, so ließe sich die Lösung berechnen und da kommt auch 2/3 raus, lässt sich das natürlich durch die der Situation entsprechenden bedingten Wahrscheinlichkeit nicht wiederlegen. Es ist aber trotzdem nicht die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Nun lässt sich aber im vorliegenden Fall zeigen, dass die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(Ziege hinter Tür 1|Tür 3 geöffnet) der Wahrscheinlichkeit P((Ziege hinter Tür 1)=2/3 entspricht. Das ist gar nicht so schwer und mehrfach im Laufe der Disk hier geschehen. Nur: Tun muss man's (und den Unterschied verstehen). --AchimP 12:26, 21. Dez. 2009 (CET)

Der Groschen beginnt zu rollen?   –   Die unterschiedliche Chancen-Charakteristik der drei Tore ist durch die Spielregel klar vorherbestimmt und "bedingt", auch ohne Zuhilfenahme bedingter Wahrscheinlichkeitsrechnung:
${\tfrac {1}{3}}$ : $0$ : ${\tfrac {2}{3}}$   beziehungsweise deren Risiko-Verteilung   ${\tfrac {2}{3}}$ : $1$ : ${\tfrac {1}{3}}$ .
Die Wahrscheinlichkeit in der Aufgabenstellung ist und bleibt (gleichgültig ob Tor 2 ungeöffnet oder bereits geöffnet!): P(Ziege hinter Tor 1) = ${\tfrac {2}{3}}$ und P(Auto hinter Tor 1) = ${\tfrac {1}{3}}$.
Und die Wahrscheinlichkeit in der Aufgabenstellung ist P(Ziege hinter Tor 3|Tor 2 geöffnet) = nur ${\tfrac {1}{3}}$ und P(Auto hinter Tor 3|Tor 2 geöffnet) = immerhin ${\tfrac {2}{3}}$, weil zum Zeitpunkt der Entscheidung des Kandidaten Tor 2 geöffnet und nicht geschlossen ist.

Das Nachvollziehen dieser Tatsache mit bedingten Wahrscheinlichkeiten ist dabei nicht erforderlich, weil bereits durch die Spielregel klar vorgegeben. Freilich kann das auch durch mathematische Berechnungen beliebig oft immer mit demselben Ergebnis nachvollzogen werden. Das ist jedoch, durch die klare Ausgangslage bedingt, nur eine überflüssige reine Fleißaufgabe ohne zusätzliche "Beweiskraft". Der Groschen hat bereits zu rollen begonnen. Liebe Grüße --Gerhardvalentin 14:11, 21. Dez. 2009 (CET)

Ich glaube, wir stehen auf verlorenem Posten, lieber Gerhardvalentin... Aber ich versuch's noch einmal.

Frage: Was ist an folgender Aussage falsch oder allenfalls zufällig richtig, die sich auf die Situation nach dem Öffnen einer Z-Tür bezieht?

Wenn - Bedingung A - sich hinter der Tür "der 1. Wahl" mit 2/3-Wahrscheinlichkeit (W) eine Ziege befindet, und wenn - (kumulative) Bedingung B - sicher ist, daß sich hinter der anderen noch verschlossenen Tür unabhängig vom Inhalt der 1. Tür deren Gegenchance befindet, dann - Schlußfolgerung - befindet sich hinter letzterer Tür mit 2/3-W das Auto.

Das Vorliegen von Bedingung A ergibt sich zwingend aus der Konfiguration der Aufgabe. Das Vorliegen von B ergibt sich zwingend aus dem regelkonformen(!) Eingreifen des M. Da mithin beide Bedingungen kumulativ erfüllt sind, ist somit auch die Schlußfolgerung zwingend richtig.

Was bedarf es mehr für eine unanfechtbare Beweisführung?

Exkurs: Da am Ende nur noch zwei Türen in Gestalt von Chance und Gegenchance zur Wahl stehen, müssen zwangsläufig auch deren Wahrscheinlichkeitswerte im Bezug auf das je "umgekehrte" Objekt gleich hoch sein - das ist, wenn man es ein wenig provozierend formulieren will, durchaus eine "Pari-Situation", aber anders als beim bekannten 50/50-Pari-Trugschluß, der sich allein auf das Vergleichspaar "Gewinn/Auto und Verlust/Ziege" versteift, bezieht sich die tatsächliche Pari-Situation auf das Vergleichspaar "Chance und Gegenchance" (ohne insoweit etwas über Auto und Ziege auszusagen). Nutzbar mache ich mir dies nun durch Einbeziehung der Tatsache, daß die Werte für die eine "Chance" (Tür der "1. Wahl") feststehen und bekannt sind (was der 50/50-Trugschluß frechlings negiert), nämlich (u. a.) 2/3 für Ziege, so daß die wertgleiche Umkehrung zur Gegenchance hinter der verbleibenden geschlossenen Tür 2/3 für das Auto bedeuten muß.

Grüße, -- Wilbert 87.187.70.204 17:53, 21. Dez. 2009 (CET)

frechlings? – Wilbert, s. oben: "Des Kaisers neue Kleider". Gruß -- Gerhardvalentin 15:02, 24. Dez. 2009 (CET)

Hilfe zum Verstehen

Hier ist was geschehen kann:

Wahl=1

Auto=1 Offen=2 -> Wahrscheinlichkeit=1/6

Auto=1 Offen=3 -> Wahrscheinlichkeit=1/6

Auto=2 Offen=3 -> Wahrscheinlichkeit=1/3

Auto=3 Offen=2 -> Wahrscheinlichkeit=1/3

Wie geht es nun weiter?Nijdam 14:03, 29. Dez. 2009 (CET)

Wie es weitergeht? Willst Du es verstehen? Du musst nur, ebenso wie der Moderator, die Spielregel beachten. Bitte ganz oben nachlesen, dann verstehst Du vielleicht, was Wilbert sagt. Für das Ziegenproblem wird "Mathematik" nicht benötigt, wohl aber benötigen Mathe-Studenten Beispiele, an denen sie üben und an denen sie sich "austoben" können. Der Student benötigt vielleicht das Ziegenproblem "zum Üben", doch das simple Ziegenproblem und der Leser kommen ohne Mathematik und ohne bedingte Wahrscheinlichkeiten aus, er sollte allerdings bis drei zählen können.

Da es nur ein einziges Auto gibt, muss sich in dem vom Kandidaten nicht gewählten Torepaar laut Spielregel immer, also in jedem Fall, zumindest eine Ziege befinden. Dass der Moderator dann, wenn der Kandidat in 1/3 der Fälle zufällig das Autotor wählt, nun ausnahmsweise gleich zwei Ziegentore zum Öffnen zur Auswahl hat, dass aber immer dann, wenn der Kandidat nicht das Autotor, sondern in 2/3 der Fälle eines der beiden Ziegentore wählt, der Moderator in dem nicht gewählten Torepaar tatsächlich nur ein einziges (das für jeden Fall "garantierte") Ziegentor öffnen kann, weil er das Autotor nicht öffnen darf, das ist für das Verständnis des "Paradoxon" wahrlich keine Hilfe. Das klingt so, als würde man mit dem rechten Arm um den Globus herumgreifen, um sich mit rechten Hand am linken Ohr zu kratzen. Das ist keine Hilfe für das Verständnis des Paradoxon und sollte endgültig "raus".

Nijdam: Es gibt drei Tore, und es gibt nur ein einziges Auto, aber es gibt zwei Ziegen. Und es gibt eine Spielregel.
Egal welches der drei Tore der Kandidat nun auch immer wählen mag, von Anfang bis zum Schluss des Spieles gilt für "jedes" vom Kandidaten einzeln gewählte Tor – in diesem Fall eben für Tor Nr. 1: Gewinnchance auf das Auto=1/3 (keine Sicherheit), Verlustrisiko –> eine der beiden Ziegen=2/3 (ebenfalls keine Sicherheit). Das gilt für jedes vom Kandidaten gewählte Tor, egal für welches, und es gilt für dieses Tor unveränderlich vom Anfang bis zu Schluss des Spieles.

Es gilt sogar auch für die zwei nicht vom Kandidaten gewählte Tore. Auch dafür ist die Gewinnchance auf das Auto=1/3. Meinst du nicht auch? Nijdam 01:10, 30. Dez. 2009 (CET)

Völlig korrekt. Auch für jedes der beiden Tore des nicht gewählten Torepaares gilt diese Gewinnchance von je 1/3 ebenso, und jedes von beiden hat auch ein Ziegenrisiko von je 2/3. Also: Zwei Tore mit einer Gewinnchance von je 1/3 und einem Verlustrisiko von je 2/3. Das nicht gewählte Torepaar besitzt somit als Gruppe total eine Gewinnchance von 2/3 und ein Verlustrisiko von 1 1/3. Einverstanden? Jetzt kommt die Spielregel und sagt: Es gibt nur ein Auto. Die gemeinsame Gewinnchance von 2/3 kann also nicht jedes der beiden Tore in gleicher Weise betreffen, ihre Gewinnchance muss unterschiedlich sein, wobei allerdings völlig gleichgültig ist, "welches" der beiden Tore das (einzig garantierte) Ziegentor ohne jede Gewinnchance ist und "welches" damit das privilegierte Tor. Diese Frage stellt sich, wenn der Kandidat "sein Tor" wählt, noch überhaupt nicht. Es ist nur zu beachten: Das Chancen-Risken-Verhältnis der beiden nicht gewählten Tore untereinander ist, wie die Spielregel von Anfang an festlegt, in jedem Fall völlig ungleich. LG -- Gerhardvalentin 19:05, 30. Dez. 2009 (CET)

Nun öffnet der Moderator in dem nicht gewählten Torepaar eines jener beiden Tore, egal ob Tor 2 oder 3. Hinter jenem Torepaar (2+3) können nicht zwei Autos stehen, denn laut Spielregel gibt es nur ein einziges Auto. Also befindet sich hinter jenem Torepaar mit absoluter Sicherheit zumindest eine Ziege. Das ist nicht neu, das ist schon durch die Spielregel festgelegt. Das Verlustrisiko jenes Torepaares beträgt vom Anfang bis zum Schluss 1 1/3, seine Gewinnchance=2/3 (es sind zwei Tore!). Da sich aber laut Spielregel hinter einem der beiden Tore jenes Torepaares (welches von beiden ist allerdings noch unbekannt) mit absoluter Sicherheit=1 eine Ziege befindet und demnach dessen Gewinnchance absolut Null ist, kann die gesamte Gewinnchance jenes Torepaares von total 2/3 niemals beide Tore in gleicher Weise betreffen. Jene zwei Tore unterscheiden sich somit deutlich hinsichtlich ihrer Gewinnchance ( 0 : 2/3 ), und ebenso hinsichtlich ihres Verlustrisikos ( 1 : 1/3 ). Das ergibt sich bereits aus der Spielregel und benötigt keine Mathematik.

Zwar befindet sich hinter einem der zwei restlichen Tore eine Ziege, aber wir wissen (anfangs) nicht welches Tor das ist. Das wird jedes Mal ein anders Tor sein. Darum sagen wir auch: die Wahrscheinlichkeit auf eine Ziege ist für jedes der Tore 2/3.Nijdam 01:10, 30. Dez. 2009 (CET)

Völlig richtig, Nijdam. Du sagst korrekt: Das Ziegenrisiko jedes Tores ist 2/3. Für das vom Kandidaten gewählte Tor gilt dies sogar bis zum Schluss des Spieles. Doch für die beiden Tore des vom Kandidaten nicht gewählten Torepaares gilt dies nur VOR dem Öffnen eines Ziegentores. Doch die Frage "welches der beiden nicht gewählten Tore ist ein Ziegentor" stellt sich, während der Kandidat "sein" Tor wählt, noch überhaupt nicht. Und, noch bevor sich diese Frage also stellt, ist sie durch das Öffnen eines Ziegentores durch den Moderator auch schon beantwortet worden. -- Gerhardvalentin 19:05, 30. Dez. 2009 (CET)

Das ist das Paradoxon: Trotz "garantiertem Ziegentor" liegt die Gewinnchance jenes Torepaares von Anfang bis zum Schluss bei 2/3.

Wiederholung: Das ist das Paradoxon: Trotz "garantiertem Ziegentor" liegt die Gewinnchance jenes Torepaares von Anfang bis zum Schluss bei 2/3. Das Öffnen eines Ziegentores durch den M ändert nichts an der Gewinnchance jenes nicht gewählten Torepaares (2/3) und auch nichts an der Gewinnchance des vom Kandidaten gewählten Tores (1/3):   Im nicht gewählten Torepaar ist zumindest eine Ziege garantiert. Das Öffnen nur "eines" Ziegentores dort, wo ein Ziegentor ja schon von vornherein durch die Spielregel garantiert ist (egal ob das rechte oder das linke) ist sowohl hinsichtlich der Gewinnwahrscheinlichkeit des vom Kandidaten gewählten Tores, als auch hinsichtlich der Gewinnchance des nicht gewählten Torepaares eben "keinerlei relevantes Ereignis!" Wiederhole: Kein Ereignis!

Sobald der Moderator dort ein Ziegentor öffnet, ist somit gegeben: Gewinnchance des vom Kandidaten ursprünglich gewählten Tores=1/3, Gewinnchance des nicht gewählten Torepaares (und von nun an nur noch des verschlossen gebliebenen Tores)=2/3.

Dann ist eine neue Situation eingetreten. Jetzt wissen wir, dass sich hinter dem geöffneten Tor eine Ziege befindet. Anfangs war die Ziegechance 2/3, nun ist sie 0! Anfangs war die Gewinnchance 1/3, nun ist sie 2/3! Neue Zahlen, weil neue Wahrscheinlichkeiten. (Bedingte!!)Nijdam 01:10, 30. Dez. 2009 (CET)

Wahrscheinlichkeitsrechnung mit "bedingten Wahrscheinlichkeiten" aber zur klaren Lösung des "Paradoxon" nicht notwendig, sondern eher "Selbstzweck" für trainierende Mathematik-Studenten. Liebe Grüße -- Gerhardvalentin 19:05, 30. Dez. 2009 (CET)

@ Nijdam:

Nochmals: Durch seine sog. 1. Wahl wählt in Wahrheit (Aha-Erlebnis) der K höchstpersönlich (und nicht etwa für ihn ganz oder teilweise der M) ein bestimmtes Türpaar (eben die beiden anderen Türen) zum Öffnen aus und hat folglich von vornherein eine Gewinnchance von 2/3. Damit ist die Aufgabe bereits gelöst.

Es ist für das Ergebnis und für die Gewinnwahrscheinlichkeit völlig irrelevant, welche Dialoge während der Öffnungsprozedur zwischen K und M geführt werden oder nicht. Insbesondere hängt nichts davon ab, in welcher Reihenfolge die beiden Türen des gewählten Paars geöffnet werden. Daß der M nach den Regeln zunächst eine Ziegentür öffnen muß, ist für die zu berechnende Gewinnwahrscheinlichkeit von vornherein keine Bedingung. Die - für die Lösung sich selbst genügende! - Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 für das Türpaar steht nämlich bereits nach der "1. Wahl" fest und ändert sich später nicht mehr, denn sie folgt keineswegs aus dem historischen Verlauf einer einzelnen Partie, sondern aus der inneren Struktur des Problems.

-- Wilbert 87.187.117.84 08:44, 30. Dez. 2009 (CET)

Wilbert, wir sind uns einig: Mathe bringt zwar korrekte Ergebnisse, ist aber hier zur "Problemlösung" oder "Beweisfindung" eigentlich völlig unnötig. Was dem Artikel fehlt, ist ein hilfreicher Weg zum "Aha-Erlebnis". Sagst Du mir bitte, ob der obige Abschnitt "Gemäß Spielregel gibt es von Anfang an nur drei Möglichkeiten" verständlich genug ist? LG -- Gerhardvalentin 18:57, 30. Dez. 2009 (CET)

So geht es weiter. Egal ob der Kandidat Tor 1, Tor 2 oder Tor 3 wählt und egal, welches Tor der Moderator als "Ziegentor" zeigt. Hilf bitte vermeiden, dass sich Leser derart umständlich am linken Ohr kratzen. Grüße -- Gerhardvalentin 18:25, 29. Dez. 2009 (CET)