Wright-Fisher-Modell

Das Wright-Fisher-Modell ist ein stochastisches Modell in der Evolutionsbiologie, Populationsgenetik und Phylogenetik. Es ermöglicht, die Entwicklung genetischer Variabilität innerhalb einer Population zu simulieren. Das Modell ist nach Sewall Wright und Ronald Aylmer Fisher benannt und von ihnen sowie Patrick Alfred Pierce Moran entwickelt.

Mithilfe des Modells lässt sich bei Betrachtung von zwei Allelen in einer Population bestimmen, ob eines der beiden Allele dominiert und letztendlich fixiert.

Annahmen

Entwicklung der Allelverbreitung in einer biallelen Population

In diesem Artikel steht $\mathbb {N}$ für die natürlichen Zahlen ohne die Null, während $\mathbb {N} _{0}$ die Null enthält.

Betrachte zwei Allele $a$ und $A$, die gemeinsam den Zustandsraum $E=\{a,A\}$ aufstellen. Weiter betrachte eine Population haploïder, ungeschlechtlich fortpflanzende Individuen. Es wird angenommen, dass die Anzahl $N\in \mathbb {N}$ der Individuen je Generation sehr groß ist, $N\gg 1$. Die Individuen der ersten Generation besitzen nach dem Zufallsprinzip eines der zwei Allelen. Jedes Individuum lebt nur für eine Generation. Die Individuen der nachfolgenden Generation wählen aus der vorangegangen jeweils einen beliebigen Vorfahren.

Modell

Sei $N\in \mathbb {N}$ und $\{E,{\mathcal {E}}\}$ ein nicht-leerer meßbarer Raum. Dann heißt der stochastische Prozess $\{\xi _{r}\}_{r\in \mathbb {N} }:=\{\xi _{r,1},\xi _{r,2},\ldots ,\xi _{r,N}\}_{r\in \mathbb {N} }$ mit Werten in $\{1,\ldots ,N\}^{N}$ Wright-Fisher-Ahnenprozess, wenn für alle $r\in \mathbb {N}$ und $i\in \{1,\ldots ,N\}^{N}$ gilt, dass $\xi _{r,i}$ gleichverteilt auf $\{1,\ldots ,N\}^{N}$ ist und unabhängig von allen $\xi _{r^{\prime },i^{\prime }}$ ist für $r\neq r^{\prime }$ und $i\neq i^{\prime }$. Für $i,j\in \{1,\ldots ,N\}^{N}$ wird mit dem Ereignis $\{\xi _{r,i}=j\}$ beschrieben, dass das $j$-te Individuum der $(r-1)$-ten Generation der Vorgänger des $i$-ten Individuums der $r$-ten Generation ist. Mit Gentypkonfiguration des Wright-Fisher-Ahnenprozesses wird der stochastische Prozess $\{t_{r}\}_{r\in \mathbb {N} _{0}}:=\{t_{r,1},t_{r,2},\ldots ,t_{r,N}\}_{r\in \mathbb {N} _{0}}$ bezeichnet, wofür ${\mathcal {L}}(t_{0})=\mu ^{N}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $E$ ist und $t_{r,i}:=t_{r-1,j}$ wenn $\xi _{r,i}=j$ für alle $r\geq 1$ und $i,j\in \{1,\ldots ,N\}^{N}$ gilt.

Eigenschaften

Setze ${\textstyle X_{r}:={\frac {1}{N}}\#\{t_{r,i}=A\}}$ den Zählprozess der Anzahl Individuen mit dem Allel $A$ in der $r$-ten Generation. Jede Generation lässt sich als Bernoulli-Kette auffassen. Die Übergänge folgen einer Binomialverteilung mit Parametern , also ${\textstyle \mathbb {P} (\xi _{r+1,i}=k)=\mathbb {P} (X_{r+1}=i\vert X_{r}=k)={\binom {N}{i}}f_{r}^{i}(1-f_{r})^{N-i}}$ mit ${\textstyle f_{r}={\frac {X_{r}}{N}}}$ die Frequenz des Allels $A$ in der $r$-ten Generation.

Die beiden Prozesse $X$ und $f$ sind sowohl zeithomogene Markow-Ketten auf $\{0,1,\ldots ,N\}$ beziehungsweise ${\textstyle \{0,{\frac {1}{N}},\ldots ,{\frac {N}{N}}=1\}}$ als auch Martingale bezüglich der kanonischen Filtrierung. Ihre absorbierenden Zustände sind die Randwerte $\{0,N\}$ beziehungsweise $\{0,1\}$. Die bedingte Varianz von $X$ ist ${\textstyle \mathbb {V} [X_{r+1}\vert X_{r}]=Nf_{r}(1-f_{r})={\frac {X_{r}(N-X_{r})}{N}}}$ und von $f$ ist ${\textstyle \mathbb {V} [f_{r+1}\vert f_{r}]={\frac {f_{r}(1-f_{r})}{N}}}$, was bedeutet, dass die Frequenzfluktuation wesentlich bedeutender um den Median als an den Rändern ist.

Bezeichne mit $\mathrm {T}$ den (zufälligen) ersten Zeitpunkt, wofür $X\in \{0,1\}$, d. h. wofür eines der beiden Allele fixiert. $\mathrm {T}$ ist eine Stoppzeit, wofür dem Stoppsatz folgend $p=X_{0}=\mathbb {E} X_{0}=\mathbb {E} X_{\mathrm {T} }$ gilt. Da $X_{\mathrm {T} }\in \{0,1\}$, gilt außerdem ${\textstyle p=\mathbb {E} [1\cdot \mathbb {I} _{\{X_{\mathrm {T} }=1\}}]+\mathbb {E} [0\cdot \mathbb {I} _{\{X_{\mathrm {T} }=0\}}]=\mathbb {P} (X_{\mathrm {T} }=1)}$, wobei $\mathbb {I}$ die Indikatorfunktion. Es lässt sich zeigen, dass $\mathrm {T}$ einer geometrischen Verteilung folgt und fast sicher endlich ist. Der erwartete Fixierungseintritt $\mathbb {E} \mathrm {T}$ wächst linear mit der Populationsgröße $N$.

Sowohl die Austauschbarkeit als auch die Martingaleigenschaft garantieren, dass das Wright-Fisher-Modell neutral ist. Es wird keine Selektion vorgenommen.

Erweiterung

Schematisches Beispiel eines Koaleszenzbaumes

Beziehung zu Kingmans Koaleszenz

Betrachte zwei Individuen einer selben Generation und setze $\mathrm {T} _{V}$ die Zeitspanne bis zum letzten gemeinsamen Vorfahren. Indem die Zeitsprünge infinitesimal klein werden, lässt sich der Zählprozess $X$ mithilfe des Donskerschen Invarianzprinzips in eine Diffusion mit Dynamik $\operatorname {d} \!X_{r}={\sqrt {X_{r}(1-X_{r})}}\operatorname {d} \!W_{r}$ entwickeln, wobei $W$ ein Wienerprozess. Diese Diffusion wird auch Wright-Fisher-Grenzprozess oder Wright-Fisher-Diffusion genannt. Das Modell nähert sich damit der Koaleszenz von Kingman an. Indem mit dem reinen Sterbeprozess $L_{r}$ die Anzahl der Linien der Koaleszenz beschrieben wird, lässt sich die Dualität $\mathbb {E} _{x}[X_{r}^{l}]=\mathbb {E} [x^{L_{r}}]$ beobachten, wobei linkerhand der $l$-te Moment gemeint ist. Es gilt somit $\lim _{r\to \infty }\mathbb {E} _{x}X_{r}^{l}=\lim _{r\to \infty }\mathbb {E} x^{L_{r}}=\mathbb {E} x^{1}=x$ für beliebiges $l\in \mathbb {N}$. Ein Erzeuger des Zählprozesses $\{X_{r}\}_{r}$ ist von der Form $A_{x}g(x)={\frac {1}{2}}x(1-x){\partial ^{2} \over \partial x^{2}}f(x)$ und vom reinen Sterbeprozess $\{L_{r}\}_{r}$ von der Form $A_{n}h(n)={\binom {n}{2}}{\Bigl [}h(n-1)-(n){\Bigr ]}$. Indem $f(x,\cdot )=g(x)$ und $f(\cdot ,n)=h(n)$ sei, folgt $A_{x}f(x,n)=A_{n}f(x,n)$, womit eine Dualität zwischen Kingmans Koaleszenz und einem reinen Sterbeprozess hergestellt wird.

Genmutationen

Das Modell lässt sich um Genmutationen erweitern. Die Dynamik des Wright-Fisher-Prozesses ändert sich zu $\operatorname {d} \!X_{r}=-{\Bigl (}m_{a\to A}X_{r}-m_{A\to a}(1-X_{r}){\Bigr )}\operatorname {d} \!r+{\sqrt {X_{r}(1-X_{r})}}\operatorname {d} \!W_{r}$ mit $m_{x\to y}$ die Mutierrate vom Allel $x$ zum Allel $y$.

Erweiterungen

• Fisher-Wright-Haldane-Modell
• Moran-Modell
• Cannings-Modell

Siehe auch

• Lebenszyklusgesetz
• Dreiviertelgesetz
• Die sieben Töchter Evas

Literatur

• Stephan Morgenthaler: Génétique statistique (= Statistiques et probabilites appliquees). Springer, Paris Berlin 2008, ISBN 978-2-287-33911-0. 
• Gerold Alsmeyer: Mathematische Populationsgenetik. Vorlesung im Sommersemester. 2008, Kap. 2 Das Wright-Fisher-Modell (uni-muenster.de [PDF; 554 kB; abgerufen am 2. Mai 2026]). 
• Wolfgang Stephan, Anja Christina Hörger: Molekulare Populationsgenetik: Theoretische Konzepte und empirische Evidenz. 1. Aufl. 2019. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2019, ISBN 978-3-662-59427-8, 2.1.1 Wright-Fisher-Modell. 

Weblinks

• drawWrightFisher von Bernhard Haubold
• popG (archiviert & gespiegelt) – Simulation des Wright-Fisher Modells von Joe Felsenstein (s. a. PHYLIB)
• STUN: Forward-time Simulation on TUnable fitNess landscapes in recombining populations des Banklab