Indikatorfunktion

Die Indikatorfunktion einer Menge (auch charakteristische Funktion einer Menge genannt) ist eine Funktion, die die Zugehörigkeit eines Elements zur Menge charakterisiert. Sie ermöglicht es, fallweise definierte Funktionen mit Hilfe einer Formel darzustellen und mit ihnen zu rechnen. Beispiele sind einfache Funktionen und die Dirichlet-Funktion.

Definition

In der Literatur finden sich mehrere Schreibweisen für die charakteristische Funktion. Neben der hier verwendeten mittels $χ_{T}$ sind ebenfalls die Schreibweisen $ξ_{T}$ und $𝟏_{T}$ gebräuchlich.^[1]

Reellwertige charakteristische Funktion

Gegeben sei eine Grundmenge $X$ und eine Teilmenge $T \subseteq X$ . Die Funktion $χ_{T} : X \to {0, 1}$ , definiert durch

χ_{T} (x) = {\begin{matrix} 1, & falls x \in T \\ 0, & falls x \notin T \end{matrix}

heißt dann die charakteristische Funktion oder Indikatorfunktion der Menge $T$ .

Die Zuordnung $𝒫 (X) \to {0, 1}^{X}, T \mapsto χ_{T},$ liefert eine Bijektion zwischen der Potenzmenge $𝒫 (X)$ und der Menge aller Funktionen von $X$ in die Menge ${0, 1} .$

Erweiterte charakteristische Funktion

In der Optimierung wird die charakteristische Funktion teils als erweiterte Funktion definiert. Hier heißt dann die Funktion $χ_{T} : X \to {1, + \infty}$ , definiert durch

χ_{T} (x) = {\begin{matrix} 1, & falls x \in T \\ + \infty, & falls x \notin T \end{matrix}

die (erweiterte) charakteristische Funktion oder Indikatorfunktion der Menge $T$ . Sie ist eine echte Funktion, wenn $T$ nicht leer ist.

Partielle charakteristische Funktion

Bei der Bildung der partiellen charakteristischen Funktion wird die Definitionsmenge auf $T$ eingeschränkt; im Sinne von partiellen Funktionen kann man sie also wie folgt beschreiben:

{χ_{T}}^{'} : X ⇝ {0, 1}, x \mapsto {\begin{matrix} 1, & falls x \in T \\ undefiniert & sonst \end{matrix} .

Verwendung der unterschiedlichen Definitionen

Die reellwertige charakteristische Funktion wird häufig in der Integrationstheorie und in der Stochastik verwendet, da sie es ermöglicht, Integrale der Funktion $f$ über die Menge $T$ durch Integrale von $f \cdot χ_{T}$ über die Grundmenge zu ersetzen:

\int_{T} f (x) d x = \int_{X} f (x) \cdot χ_{T} (x) d x

.

Dadurch lassen sich zum Beispiel oft Fallunterscheidungen vermeiden.

Die erweiterte charakteristische Funktion wird in der Optimierung verwendet, um Funktionen auf Teilbereiche einzuschränken, auf denen sie gewisse gewünschte Eigenschaften wie z. B. Konvexität besitzen, oder um Restriktionsmengen zu modellieren.

Die partielle charakteristische Funktion findet Verwendung in der Berechenbarkeitstheorie.

Eigenschaften und Rechenregeln der reellwertigen charakteristischen Funktion

Die Menge $T \subset X$ ist durch ihre charakteristische Funktion eindeutig bestimmt. Es gilt

T = χ_{T}^{- 1} ({1}) = {x \in X | χ_{T} (x) = 1}

.

Für

S, T \subset X

ist also die Gleichheit

χ_{S} = χ_{T}

mit der Gleichheit

S = T

der Mengen äquivalent.

Die charakteristische Funktion $χ_{\emptyset}$ der leeren Menge ist die Nullfunktion. Die charakteristische Funktion $χ_{X}$ der Grundmenge ist die konstante Funktion mit dem Wert 1.
Es seien Mengen $S, T \subset X$ gegeben. Dann gilt für die Schnittmenge

χ_{S \cap T} = min (χ_{S}, χ_{T}) = χ_{S} χ_{T}

und für die Vereinigungsmenge

χ_{S \cup T} = max (χ_{S}, χ_{T}) = χ_{S} + χ_{T} - χ_{S} χ_{T}

.

Für die Differenzmenge ist

χ_{S ∖ T} = χ_{S} - χ_{S} χ_{T}

.

Insbesondere gilt für das Komplement

T^{𝖢} = X ∖ T

χ_{T^{𝖢}} = 1 - χ_{T}

.

Unter anderem gilt für das kartesische Produkt

S \times T \subset X^{2}

χ_{S \times T} (s, t) = χ_{S} (s) χ_{T} (t)

Sei $(X, Σ, μ)$ ein Maßraum und $N$ eine $μ$ -Nullmenge, dann ist

χ_{N} = 0

μ

-fast überall.

Verwendung zur Berechnung von Erwartungswert, Varianz und Kovarianz

Für einen gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum $(Ω, ℱ, P)$ und ein Ereignis $A \in ℱ$ ist die Indikatorfunktion $χ_{A} : Ω \to ℝ$ eine bernoulliverteilte Zufallsvariable. Insbesondere gilt für den Erwartungswert

E (χ_{A}) = P (A)

und für die Varianz

Var (χ_{A}) = P (A) (1 - P (A))

.

Die Varianz von $χ_{A}$ nimmt also ihren maximalen Wert $\frac{1}{4}$ im Fall $P (A) = \frac{1}{2}$ an.

Ist zusätzlich $B \in ℱ$ , dann gilt für die Kovarianz

Cov (χ_{A}, χ_{B}) = P (A \cap B) - P (A) P (B)

.

Zwei Indikatorvariablen sind also genau dann unkorreliert, wenn die zugehörigen Ereignisse stochastisch unabhängig sind.

Sind $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} \in ℱ$ beliebige Ereignisse, dann gibt die Zufallsvariable

N = \sum_{i = 1}^{n} χ_{A_{i}}

die Anzahl derjenigen Ereignisse an, die eingetreten sind. Wegen der Linearität des Erwartungswerts gilt dann

E (N) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i})

.

Diese Formel gilt auch dann, wenn die Ereignisse abhängig sind. Sind sie zusätzlich paarweise unabhängig, dann gilt nach der Gleichung von Bienaymé für die Varianz

Var (N) = \sum_{i = 1}^{n} Var (χ_{A_{i}}) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) (1 - P (A_{i}))

.

Im allgemeinen Fall kann die Varianz über die Formel

Var (N) = \sum_{i, j = 1}^{n} Cov (χ_{A_{i}}, χ_{A_{j}}) = \sum_{i, j = 1}^{n} P (A_{i} \cap A_{j}) - \sum_{i, j = 1}^{n} P (A_{i}) P (A_{j})

bestimmt werden.

Siehe auch

Literatur

A. A. Konyushkov: Characteristic function of a set. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
Carl Geiger, Christian Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2002, ISBN 3-540-42790-2.

Anmerkungen

↑ Die Bezeichnung $1_{T}$ wird aber auch für die Identitätsrelation bzw. -abbildung verwendet und kann daher leicht zu Verwechselungen führen.

[1] Die Bezeichnung $1_{T}$ wird aber auch für die Identitätsrelation bzw. -abbildung verwendet und kann daher leicht zu Verwechselungen führen.

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