Vektorpotential

Das Vektorpotential ist im Bereich der Vektoranalysis ein Vektorfeld, dessen Rotation ein gegebenes Vektorfeld erzeugt.

Formal lautet die Definition eines Vektorpotentials $\vec{A}$ für ein festes Vektorfeld $\vec{V}$ mit dem Nabla-Operator $\vec{\nabla}$

\vec{V} = r o t \vec{A} = \vec{\nabla} \times \vec{A}

Der Zusammenhang ist analog zum Skalarpotential und seinem Gradientenfeld.^[1]

Historisch war das magnetische Vektorpotential der Anlass, das Vektorpotential zu beschreiben. Es wurde eingeführt, um in der klassischen Elektrodynamik Berechnungen mit der magnetischen Flussdichte und der elektromagnetischen Induktion zu vereinfachen.^[2]

Berechnung

Sei $\vec{V} : ℝ^{3} \to ℝ^{3}$ ein zweifach stetig differenzierbares, quellfreies Vektorfeld, das für $‖ \vec{x} ‖ \to \infty$ mindestens so schnell abfällt wie $\frac{1}{‖ \vec{x} ‖}$ . Dann ist durch

\vec{A} (\vec{x}) = \frac{1}{4 π} \int_{ℝ^{3}} \frac{\nabla_{y} \times \vec{V} (\vec{y})}{‖ \vec{x} - \vec{y} ‖} d^{3} y

,

ein Vektorpotential $\vec{A}$ von $\vec{V}$ definiert^[1].

Dies ist ein Spezialfall des Helmholtz-Theorems.

Uneindeutigkeit

Das Vektorpotential eines quellfreien Vektorfeldes ist nicht eindeutig definiert. Ist $\vec{A}$ ein Vektorpotential von $\vec{V}$ , so ist auch

\vec{A} + \vec{\nabla} f

ein Vektorpotential von $\vec{V}$ für beliebige, stetig differenzierbare Skalarfelder $f$ . Dies folgt aus der Rotationsfreiheit von Gradientenfeldern. In der Physik wird diese Eigenschaft des Vektorpotentials unter dem Thema Eichtransformation behandelt.^[1]

Eigenschaften des erzeugten Feldes

Wenn ein Vektorfeld durch ein Vektorpotential erzeugt werden kann, muss es ein quellfreies Vektorfeld sein.

Dies liegt daran, dass die Divergenz einer Rotation immer Null ist.

d i v \vec{V} = d i v r o t \vec{A} = 0

Anwendung

Das Vektorpotential wird vor allem in der Physik angewendet. Beispiele dafür sind

das Magnetische Vektorpotential und
das Elektrische Vektorpotential

Einzelnachweise

1 2 3 Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3 (= Springer-Lehrbuch). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-37904-8, S. 188–190, doi:10.1007/978-3-642-37905-5.
↑ A. C. T. Wu, Chen Ning Yang: EVOLUTION OF THE CONCEPT OF THE VECTOR POTENTIAL IN THE DESCRIPTION OF FUNDAMENTAL INTERACTIONS. In: International Journal of Modern Physics A. Band 21, Nr. 16, 30. Juni 2006, ISSN 0217-751X, S. 3235–3277, doi:10.1142/S0217751X06033143.

[:0-1] 1 2 3 Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3 (= Springer-Lehrbuch). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-37904-8, S. 188–190, doi:10.1007/978-3-642-37905-5.

[2] A. C. T. Wu, Chen Ning Yang: EVOLUTION OF THE CONCEPT OF THE VECTOR POTENTIAL IN THE DESCRIPTION OF FUNDAMENTAL INTERACTIONS. In: International Journal of Modern Physics A. Band 21, Nr. 16, 30. Juni 2006, ISSN 0217-751X, S. 3235–3277, doi:10.1142/S0217751X06033143.

[1]

[2]