Variation der Konstanten

Die Variation der Konstanten ist ein Verfahren aus der Theorie linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen, mit dem eine spezielle Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung bestimmt werden kann. Es besteht darin, dass die Integrationskonstante $c$, die in der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung vorkommt, durch eine Funktion $c(x)$ ersetzt wird und dann durch passende Wahl von $c(x)$ eine Lösung der inhomogenen Gleichung gewonnen wird.

Das Verfahren lässt sich auch auf Systeme linearer Differentialgleichungen sowie auf lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung übertragen. Voraussetzung für das Verfahren ist eine vollständige Lösung (Fundamentalsystem) der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.

Leonhard Euler benutzte einen Vorläufer dieser Methode bereits 1748 im Zusammenhang mit astronomischen Problemen. In seiner heutigen Form wurde das Verfahren von Joseph-Louis Lagrange entwickelt.

Inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung

Gesucht sind die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung

$y'(x)=a(x)y(x)+b(x)$,

wobei $a(x)$ und $b(x)$ stetige Funktionen auf einem Intervall $I$ sind.

Ausgangspunkt des Verfahrens ist die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung

$y'(x)=a(x)y(x)$,

welche gegeben ist durch $y_{h}(x)=ce^{A(x)}$ mit einer Stammfunktion $A(x)$ von $a(x)$ und $c\in \mathbb {R}$.

Zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung wird nun die Integrationskonstante $c$ der allgemeinen Lösung $y_{h}$ durch eine differenzierbare Ansatzfunktion $c(x)$ ersetzt (Variation der Konstanten):

$y(x)=c(x)e^{A(x)}$.

Die Ableitung dieser Ansatzfunktion ist

$y'(x)=c(x)a(x)e^{A(x)}+c'(x)e^{A(x)}=a(x)y(x)+c'(x)e^{A(x)}$.

Also löst $y$ die inhomogene Differentialgleichung

$y'(x)=a(x)y(x)+b(x)$

genau dann, wenn die Beziehung

$c'(x)=b(x)e^{-A(x)}$

gilt. Beispielsweise ist für ein beliebiges $x_{0}\in I$

$c(x):=\int _{x_{0}}^{x}b(t)e^{-A(t)}\,\mathrm {d} t$

eine solche Funktion und somit

$y_{sp}(x):=e^{A(x)}\cdot \int _{x_{0}}^{x}b(t)e^{-A(t)}\,\mathrm {d} t$

die spezielle Lösung mit $y_{sp}(x_{0})=0$. Also ist

$\left\{y(x)=e^{A(x)}\cdot \left[\int _{x_{0}}^{x}b(t)e^{-A(t)}\,\mathrm {d} t+d\right]\ |\ d\in \mathbb {R} \right\}$

die Menge aller Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung $y'(x)=a(x)y(x)+b(x)$.

Beispiel

Gelöst werden soll die inhomogene Differentialgleichung

$y'(x)=-xy(x)+(1+x)e^{x}$

Die zugehörige homogene Differentialgleichung

$y'(x)=-xy(x)$

hat die allgemeine Lösung

$y_{h}(x)=ce^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\ ,\,c\in \mathbb {R} .$

Für die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ersetzt man die Konstante $c$ durch eine noch zu bestimmende Funktion $c(x)$ und erhält die Ansatzfunktion

$y(x):=c(x)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}.$

Ableiten mit der Produktregel liefert

$y'(x)=-xc(x)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+c'(x)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}=-xy(x)+c'(x)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$.

Also löst $y$ die inhomogene Differentialgleichung genau dann, wenn gilt:

$c'(x)=(1+x)e^{x+{\frac {x^{2}}{2}}}$

Eine Funktion, welche diese Gleichung erfüllt, ist $c(x)=e^{x+{\frac {x^{2}}{2}}}$. Somit lautet eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

$y_{sp}(x)=e^{x+{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}=e^{x}$.

Die allgemeine Lösung erhält man durch die Berücksichtigung aller Stammfunktionen von $(1+x)e^{x+{\frac {x^{2}}{2}}}$:

$y(x)=(e^{x+{\frac {x^{2}}{2}}}+d)\cdot e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}=e^{x}+de^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\ ,\,d\in \mathbb {R}$.

Inhomogene lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

Das obige Verfahren lässt sich auf folgende Weise verallgemeinern:

Formulierung

Seien $A:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n\times n}$ und $b:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ stetige Funktionen und $\Phi (x)=(y_{1}(x)\ |\ \cdots \ |\ y_{n}(x))$ eine Fundamentalmatrix des homogenen Problems $y'(x)=A(x)y(x)$ sowie $\Phi _{k}(x)$ diejenige Matrix, die aus $\Phi (x)$ entsteht, indem man die $k$-te Spalte durch $b(x)$ ersetzt. Dann ist

$y_{sp}(x):=\sum _{k=1}^{n}c_{k}(x)y_{k}(x)$

mit

$c_{k}(x):=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\det \Phi _{k}(s)}{\det \Phi (s)}}{\rm {d}}s$

die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems $y'(x)=A(x)y(x)+b(x)$ und $y(x_{0})=0$.

Beweis

Setze

$y_{sp}(x):=\Phi (x)\int _{x_{0}}^{x}\Phi (s)^{-1}b(s){\rm {d}}s\ .$

Es ist $y_{sp}(x_{0})=0$, und wegen $\Phi '(x)=A(x)\Phi (x)$ sieht man durch Differenzieren, dass $y_{sp}$ die Differentialgleichung $y_{sp}'(x)=A(x)y_{sp}(x)+b(x)$ erfüllt. Nun löst

$a(s):=\Phi (s)^{-1}b(s)\in \mathbb {R} ^{n}$

für festes $s$ das lineare Gleichungssystem

$\Phi (s)\cdot a(s)=b(s)\ .$

Nach der cramerschen Regel ist somit

$a_{k}(s)={\frac {\det \Phi _{k}(s)}{\det \Phi (s)}}\ ,\ k=1,\ldots ,n\ .$

Also gilt

$y_{sp}(x)=\int _{x_{0}}^{x}\Phi (x)a(s){\rm {d}}s=\sum _{k=1}^{n}\left[\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\det \Phi _{k}(s)}{\det \Phi (s)}}{\rm {d}}s\right]y_{k}(x)\ .$

Spezialfall: Resonanzfall

Falls die Inhomogenität $b$ selber Lösung des homogenen Problems ist, d. h. $b'(x)=A(x)b(x)$, so bezeichnet man dies als Resonanzfall. In diesem Fall ist

$\ y_{sp}(x):=(x-x_{0})b(x)$

die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems $y'(x)=A(x)y(x)+b(x)$ und $y(x_{0})=0$.

Inhomogene lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung

Das Lösen einer Differentialgleichung höherer Ordnung ist äquivalent zum Lösen eines geeigneten Differentialgleichungssystems erster Ordnung. Auf diese Weise kann man obiges Verfahren nutzen, um eine spezielle Lösung für eine Differentialgleichung höherer Ordnung zu konstruieren.

Formulierung

Seien $a_{0},\ldots ,a_{n-1},b:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ stetige Funktionen und $\Phi (x)$ eine Fundamentalmatrix des homogenen Problems $\textstyle y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(x)y^{(k)}(x)$, deren erste Zeile $(y_{1}(x)\ |\ \cdots \ |\ y_{n}(x))$ lautet, sowie $\Phi _{k}(x)$ diejenige Matrix, die aus $\Phi (x)$ entsteht, indem man die $k$-te Spalte durch $\textstyle {\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\b(x)\\\end{pmatrix}}$ ersetzt. Dann ist

$y_{sp}(x):=\sum _{k=1}^{n}c_{k}(x)y_{k}(x)$

mit

$c_{k}(x):=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\det \Phi _{k}(s)}{\det \Phi (s)}}{\rm {d}}s$

die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems $\textstyle y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(x)y^{(k)}(x)+b(x)$ und $y(x_{0})=0$.

Beweis

Man betrachte zunächst das hierzu korrespondierende Differentialgleichungssystem erster Ordnung, bestehend aus $n$ Gleichungen

$\ Y'(x)=A(x)Y(x)+B(x)$ mit $A(x):={\begin{pmatrix}0&1&&0\\&\ddots &\ddots &\\&&\ddots &1\\a_{0}(x)&a_{1}(x)&\cdots &a_{n-1}(x)\\\end{pmatrix}}\ ,\ B(x):={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\b(x)\\\end{pmatrix}}\ .$

Es gilt: $y(x)$ löst die skalare Gleichung $n$-ter Ordnung genau dann, wenn $\textstyle Y(x):={\begin{pmatrix}y(x)\\y'(x)\\\vdots \\y^{(n-1)}(x)\\\end{pmatrix}}$ Lösung obigen Systems erster Ordnung ist. Per definitionem ist $\Phi$ eine Fundamentalmatrix für dieses System erster Ordnung. Darauf wende man schließlich das oben bewiesene Verfahren der Variation der Konstanten an.

Alternative: Grundlösungsverfahren

Im Fall konstanter Koeffizienten ist es gelegentlich von Vorteil, das Grundlösungsverfahren zur Konstruktion einer speziellen Lösung zu verwenden: Ist $y_{h}$ diejenige homogene Lösung von $\textstyle y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}y^{(k)}(x)$, welche

$y_{h}^{(k)}(x_{0})=0\ ,\ k=0,\ldots ,n-2\ ,\ y_{h}^{(n-1)}(x_{0})=1$

erfüllt, dann ist

$y_{sp}(x):=\int _{x_{0}}^{x}y_{h}(x_{0}+x-t)b(t){\rm {d}}t$

diejenige spezielle Lösung von $\textstyle y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}y^{(k)}(x)+b(x)$ mit $y_{sp}(x_{0})=0$.

Beweis

Durch Differenzieren überprüft man

$y_{sp}^{(k)}(x)=\int _{x_{0}}^{x}y_{h}^{(k)}(x_{0}+x-t)b(t){\rm {d}}t\ ,\ k=0,\ldots ,n-1$

und

$y_{sp}^{(n)}(x)=b(x)+\int _{x_{0}}^{x}y_{h}^{(n)}(x_{0}+x-t)b(t){\rm {d}}t\ .$

Es ergibt sich

$y_{sp}^{(n)}(x)-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}y_{sp}^{(k)}(x)=b(x)+\int _{x_{0}}^{x}\left[y_{h}^{(n)}-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}y_{h}^{(k)}\right](x_{0}+x-t)b(t){\rm {d}}t=b(x)\ .$