User:Soeri10/sandbox

Gelfand afbildningen(opkaldt efter I.M. Gelfand) er en kontinuær homomorfi fra en unital kommutativ Banach algebra A ind i en Banach algebra af kontinuære funktioner. Ydermere, i det specielle tilfælde hvor A også en C*-algebra, da er afbildningen en isometrisk isomorfi. Det betyder at vi kan opfatte enhver af disse C*-algebraer som en algebra af kontinuære funktioner.

Sætningen

Hvis A er en kommutativ unital Banach algebra, og M er rummet bestående af alle komplekse homomorfier på A, så kan man vise at M er et kompakt Hausdorffrum(mht. den svage* topologi). Det betyder at C(M), rummet bestående af alle kontinuære funktioner på M med komplekse værdier, er en kommutativ unital Banach algebra med supremum normen. Vi definerer Gelfand afbildningen således

$\Gamma :A\rightarrow C(M)$

$a\mapsto \Gamma (a)(\phi )=\phi (a)\;\;\;a\in A$ og $\phi \in M$

Det vil altså sige, at Γ sender a til den kontinuære funktion hvis værdi i punktet φ er φ(a), vi kalder Γ(a) = a^t Gelfand transformationen af a.

Sætning Γ(a) = a^t er en kontinuær funktion på M for hvert a i A, afbildningen Γ er en kontinuær homomorfi fra A ind i C(M) og Γ injektiv hvis og kun hvis fællesmængden af alle de maksimale idealer i A er {0}. Ydermere, hvis A er en C*-algebra, så er Γ en isometrisk *-isomorfi.

Komplekse homomorfier og idealer i en kommutativ Banach algebra

En kompleks homomorfi på en unital kommutativ Banach algebra A, er en ikke-triviel multiplikativ funktionale

$\phi :A\rightarrow \mathbb {C}$

Som nødvendigvis er kontinuær og har norm 1. Lad M være sættet bestående af alle komplekse homomorfier på A. Der er en én-til-én korrespondance mellem disse funktionaler og de maksimale idealer i A. kernen af et hvert φ i M er et tydeligvis et ideal i A og maksimalitet kan let påvises. Omvendt kan man ved brug af Gelfand-Mazur sætningnen vise, at et hvert maksimalt ideal i A, er kernen af et funktionale i M. Så den afbildning der sender φ til sin kerne, afbilder altså surjektivt på sættet af maksimale idealer i M, og det kan fremgår nemt at denne afbildning er én-til-én. Noter at dette også er gældende for en ikke-kommutativ Banach algebra, den skal bare være unital. M bliver ofte kaldt maksimal ideal rummet af A.

En af de første konsekvenser af denne én-til-én korrespondance, ser man hvis man betragter den kommutative unitale Banach algebra C(X), hvor X er et kompakt Hausdorffrum. Der kan man bruge ovenstående til at vise at en hver kompleks homomorfi φ på C(X) er af formen ev(x) = f(x) for et eller andet x i X, altså φ er bare en evaluerings-funktion. Dette giver os en meget nyttig identitet, da spektrummet σ(f) af en funktion f i C(X), bare er dets billed, det medfører

$\sigma (f)=\{\phi (f):\phi \in M\}$

Dette viser sig også at holde for en arbitrær kommutativ unital Banach algebra, her er kommutaviteten dog essentiel.

Svage^* topologi

Hvis X er et Banach rum og Y er dualen af X, altså vektorrummet bestående af alle lineære funktionaler på X, så er den Y-svage topologi på X defineret som den 'groveste'(færreste åbne mængder) topologi således at alle funktionerne i Y er kontinuære på X. Dette er alle mængder af formen

$\{\phi ^{-1}(U):\phi \in Y\;{\text{og U er åben i}}\;\mathbb {C} \}$

Disse mængder udgør en underbasis for den svage topologi på X, ydermere er denne topologi Haussdorff hvis og kun hvis funktionerne i Y separerer punkter i X.

Hvis A* er dual rummet af A, og A** er dualen af A*, så findes der en isometrisk injektiv homeomorfi fra A ind i A**, som identificerer et a i A med et a** i A**, denne afbildning er defineret således

$a\mapsto a^{**}(\phi )=\phi (a)\;\;\phi \in A^{*}$

Hvis denne afbildning også er surjektiv, kalder man Banach rummet refleksivt. Med eksemplet i starten af sektionen i minde, lad

$Y=\{a^{**}:a\in A\}\subseteq A^{**}$.

Så kalder man den Y-svage topologi på A* den svage* topologi. Her ses det let via én-til-én korrespondancen mellem A og A**, at Y separerer punkter A* så A* er også Hausdorff udstyret med den svage* topologi. En underbasis for den svage* topologi er

$\{(a^{**})^{-1}(U):a\in A\;{\text{og U er åben i}}\;\mathbb {C} \}$

Den svage* topologi bliver ofte kaldt 'topologien for punktvis konvergens', grundet at hvis $\{\phi _{\alpha }\}_{\alpha \in I}$ er et net i A* og φ er i A*, så gælder der

$\phi _{\alpha }{\underset {weak^{*}}{\rightarrow }}\phi \;\;\Leftrightarrow \;\;\phi _{\alpha }(a)\rightarrow \phi (a)\;\;\;\forall a\in A$

Grunden til at den svage* topologi er interessant i denne sammenhæng, er at maximal ideal rummet af en unital kommutativ Banach algebra A faktisk er kompakt, når den er udstyret med den svage* topologi. Vi har allerede set at A* med den svage* topologi er Hausdorff, hvilket medfører at M som underrum af A* også er Hausdorff. Elementerne i M har alle norm 1, så de sidder altså inde i den norm-afsluttede enhedskugle af A*. Man ved, grundet Banach-Alaoglu sætningen, at den norm-afsluttede enhedskugle i A* er kompakt med hensyn til den svage* topologi. Så for at vise at M er kompakt, er det altså tilstrækkeligt at vise at M er afsluttet i A* med hensyn til den svage* topologi. Dette følger direkte fra det faktum, at den svage* topologi er topologien for punktvis konvergens. Hvis $\{\phi _{\alpha }\}_{\alpha \in I}$ er et net der svagt*-konvergerer til φ i A* og a,b er elementer i A, gælder der

$\phi _{\alpha }(a)\rightarrow \phi (a)\;\;{\text{,}}\;\;\phi _{\alpha }(b)\rightarrow \phi (b)\;\;{\text{,}}\;\;\phi _{\alpha }(ab)=\phi _{\alpha }(a)\phi _{\alpha }(b)\rightarrow \phi (a)\phi (b)\;\;{\text{og}}\;\;\phi _{\alpha }(ab)\rightarrow \phi (ab)$

Multiplikativiteten af φ følger så fra, at i et Hausdorffrum, kan et net kun konvergere til et punkt. Ydermere har vi

$1=\phi _{\alpha }(I)\rightarrow \phi (I)$

derfor er φ ikke-identisk nul(ellers ville den ikke være kontinuær). φ er altså en kompleks homomorfi og ligger derfor i M. M er afsluttet i A* og dermed også kompakt.

Maksimal idealrummet M af en unital kommutativ Banach algebra A, udstyret med den svage* topologi, er altså et kompakt Hausdorffrum. Dette betyder at C(M), rummet bestående af alle kontinuære funktioner med komplekse værdier på M er en unital kommutativ Banach algebra.

Bevis af sætningen

Lad A være en unital kommutativ Banach algebra, og M være maksimal idealrummet af A, hvor

$\Gamma :A\rightarrow C(M)$

$a\mapsto \Gamma (a)(\phi )=\phi (a)\;\;\;a\in A\;{\text{og}}\;\phi \in M$

Sætning

Γ(a) = a^t er en kontinuær funktion på M for hvert a i A. Afbildningen Γ er en kontinuær homomorfi fra A ind i C(M). Γ injektiv hvis og kun hvis fællesmængden af alle de maksimale idealer i A er {0}. Ydermere, hvis A er en C*-algebra, så er Γ en isometrisk *-isomorfi.

Her betyder en *isomorfi, en isomorfi mellem to C*-algebraer der bevarer *.

Bevis

Hvis $\{\phi _{\alpha }\}_{\alpha \in I}$ er et net i M, der svagt*-konvergerer til et φ i M, så har vi

$a^{t}(\phi _{\alpha })=\phi _{\alpha }(a)\rightarrow \phi (a)=a^{t}(\phi )$

Dette viser at a^t er en kontinuær funktion. Lineariteteten og multiplikativiteten af Γ følger direkte fra lineariteten og multiplikativiteten af φ, så vi mangler altså bare at tjekke om Γ er kontinuær. Lad a være i A, spektral radiusen r(a) af a er givet ved

$r(a)=max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (a)\}$.

Denne størrelse er altid begrænset af ||a||. Vi husker, at for spektrummet af et element i en unital kommutativ Banach algebra galdt der

$\sigma (a)=\{\phi (A):\phi \in M\}$

Dermed har vi

$||\Gamma (a)||_{\infty }=||a^{t}||_{\infty }=max\{|a^{t}(\phi )|:\phi \in M\}=max\{|\phi (a)|:\phi \in M\}=r(A)\leq ||a||$

Her er supremum og maximum ens, da kontinuære funktioner antager deres maksimum værdi på et kompakt set. Dette viser at Γ er en kontraktion, altså er den begrænset og dermed kontinuær. Vi kan dermed konkludere at Γ er en homomorfi. Det er tydeligt at Γ(a) = 0 hvis og kun hvis φ(a) = 0 for alle φ i M, og dette gælder hvis og kun hvis $a\in ker(\phi )$ for alle φ i M. Da hvert ker(φ) er et maksimal ideal i A, og en homomorfi er injektiv hvis og kun hvis dens kerne er triviel, betyder det at Γ er injektiv hvis og kun hvis fællesmængden af alle de maksimale idealer i A er {0}.

Lad nu A være en unital kommutativ C*-algebra. Vi ved at C(M) er en unital kommutativ C*-algebra hvor *-operationen er konjugation. Hvis Γ er en *-isomorfi skal der gælde

$\Gamma (a^{*})=\Gamma (a)^{*}=(a^{t})^{*}={\overline {a^{t}}}$.

Så vi skal altså vise $\phi (a^{*})={\overline {\phi (a)}}$ for et φ i M, men φ er en kompleks homomorfi på en C*-algebra og de er altid *-bevarende, dermed er Γ også *-bevarende. For at vise at Γ er en isometri, udnytter vi, at der for selv-adjungerede operatorer gælder r(a) = ||a||. Elementet a*a i A er tydeligvis selv-adjungeret, det betyder

$||\Gamma (a)||_{\infty }^{2}=||\Gamma (a)^{*}\Gamma (a)||_{\infty }=||\Gamma (a^{*}a)||_{\infty }=r(a^{*}a)=||a^{*}a||=||a||^{2}$

Hvor vi har brugt at Γ er en *-bevarende homomorfi, samt C*-identiteten. Dette viser at Γ er en isometri. Dette betyder også automatisk at Γ er injektiv.

Vi mangler nu bare at vise at Γ er surjektiv. Til dette formål kan vi anvende Stone-Weierstrass sætningen, der siger at hvis B er en afsluttet underalgebra af C(X), hvor X er kompakt og Hausdorff, og B separarer punkterne i X, indeholder de konstante funktioner af C(X) samt er afsluttet under konjugation, så er B = C(X). Fordi at Γ er en *-homomorfi så må billedet Γ(A) være en underalgebra af C(M) der er afsluttet under konjugation, samtidig må den også være norm-afsluttet da Γ afbilder isometrisk. De konstante funktioner λ i C(M) er alle indeholdt i Γ(A) da Γ(λ I) = λ. Slutteligt, hvis $\phi _{1}\neq \phi _{2}$ i M, så kan vi finde et a i A således at $\phi _{1}(a)\neq \phi _{2}(a)$ hvilket medfører $\Gamma (\phi _{1})\neq \Gamma (\phi _{2})$. Ved at anvende Stone-Weierstrass, ser vi så at Γ(A) = C(M), og dermed er Γ surjektiv.

Eksempel

Lad X være et kompakt Hausdorffrum, så er A = C(X) en kommutativ unital C*-algebra. Gelfand afbildningen er per definition

$\Gamma :C(X)\rightarrow C(M)$

$f\mapsto \Gamma (f)=f^{t}\;\;f\in X$

Hvor $f^{t}(\phi )=\phi (f)$ for et φ i M. Men i vores tidligere eksempel, viste vi at ethvert φ i M er en evaluerings-funktion for et eller andet x i X. Altså har vi

$f^{t}(ev_{x})=ev_{x}(f)=f(x)$.

Dette betyder, at hvis vi kan identificere et punkt x i X med en evualerings-funktion ev(x) i M, så bliver Gelfand afbildningen Γ(f) = f. Denne 'identifikation' er selvfølgelig bare afbildningen der sender x til ev(x), det er en surjektiv homeomorfi med hensyn til den svage* topologi(punktvis konvergens).

Referencer

• [1],[8] - MacCluer: p.120
• [2],[3] - MacCluer: p.124
• [4],[5] - MacCluer: p.127
• [6] - MacCluer: p.130
• [7],[9] - MacCluer: p.116

Litteratur

• Barbara D.MacCluer (2009). Elementary Functional Analysis. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-85529-5.