User:Lambda C/sandbox

Überblick

Das mathematische Beweisen ist der Kern des mathematischen Arbeitens. Wird eine mathematische Aussage, auch Theorem genannt, bewiesen, geschieht dies in der Regel unter folgender Notation:

- Voraussetzungen

Zuerst werden die Voraussetzungen des mathematischen Satzes formuliert.

- Behauptung

Der zu beweisende Satz wird festgelegt.

- Beweis

Der Beweis der Behauptung unter gegebenen Voraussetzungen wird mit einer oder einer Kombination mehrerer Beweismethoden geführt.

Der Ende eines Beweises wird in der Regel mit "qed" (lat. für quod erat demonstrandum - was zu zeigen war) gekennzeichnet, allerdings auch häufig mit einem schwarzen Viereck. Mathematische Sätze, die insbesondere der Ableitung weiterer zentralen Aussagen einer mathematischen Theorie dienen werden auch oft Lemma genannt. Eine Folgerung aus einem zentralen Theorem einer mathematischen Theorie wird Korollar genannt.

(Ref: Grundwissen Mathematikstudium, S. 5 )

Formale und Informale Beweise

Beweise in der Mathematik lassen sich in formale und informale Beweise unterteilen. Ein informaler Beweiseines mathematischen Satz wird in der Regel zwar mit mathematischen Argumenten, allerdings noch in einer natürlicher Sprache formuliert. Dies soll einen Experten im Bereich der Mathematik ermöglichen, diesen nachzuvollziehen. Bei formalen Beweisen hingegen muss jeder zu beweisende Satz anhand von Inferenzregeln (Regeln zur Manipulation von Zeichenketten), zum Beispiel dem Modus Posens, aus einem in einer formalen Sprache formulierten Axiomensystem abgeleitet werden (Ref: https://people.cs.pitt.edu/~milos/courses/cs441/lectures/Class6.pdf). Im letzteren Fall reduziert sich die Tätigkeit des Beweisens also auf die schrittweise Manipulation von Zeichenketten.(Grundzüge der theoretischen Logik, David Hilbert und Wilhelm Ackermann, Springer Verlag Berlin Heiderberg GmbH, 6. Auflage S. 99) Im Rahmen des Hilbertprogramms wurde versucht, die gesamte Mathematik auf ein solches System zu stellen. Während für gewisse Theorien wie der Aussagen und Prädikatenlogik ein Erfolg erzielt werden konnte, wurde durch Kurt Gödel mit dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz gezeigt, dass es ein solches Unterfangen für die gesamte Mathematik nicht zufriedenstellend durchführbar ist.