User:DD0814/sandbox

Рационална тригонометрија

Рационална тригонометрија је предложена реформулација метричких планарних и чврстих геометрија (која укључује тригонометрију) од стране канадског математичара Нормана Ј. Вилдбергера, тренутно професора математике на Универзитету Нови Јужни Велс. Његове идеје изнете су у његовој књизи из 2005. године Божанске пропорције: рационална тригонометрија универзалној геометрији. Према Новом Научнику (лист New Scientis) , део његове мотивације за алтернативу традиционалној тригонометрији био је да се избегну неки проблеми које он тврди да се јављају када се бесконачне серије користе у математици. Рационална тригонометрија избегава директну употребу трансценденталних  функција као што су синус и косинус  тако што замењује њихове  квадратне  еквиваленте. Вилдбергер инспирише математичаре који су претходили бесконачној теорији сета Георг Цантор-а, као што су Гаусс и Еуклид, за које тврди да су далеко више опрезни у коришћењу бесконачних скупова од модерних математичара. [2] Математичка литература.

Приступ

Рационална тригонометрија прати приступ заснован на методама линеарне алгебре на теме геометрије основне школе. Удаљеност се замењује квадратном вредношћу (квадрантом), а 'угао' се замењује квадратном вредношћу уобичајеног синусног односа (ширење) повезаног са било којим углом између две линије. (Комплемент Спреад, познат као криж, такође одговара скалираном облику унутрашњег производа између сегмената линије узетих као вектори). Три главна закона у тригонометрији - Питагорина теорема, синусни закон и косинусни закон - дати су у рационалној (квадратно еквивалентној) форми, а увећани су са два додатна закона - троструком квадрацијом (која повезује квадране три колинеарне тачке). и формулу троструког ширења (која се односи на размаке три истовремене линије) -, дајући пет главних закона субјекта.

Рационална тригонометрија је иначе широко заснована на картезијанској аналитичкој геометрији, са тачком дефинисаном као уређени пар рационалних бројева

(x,y)} (x,y)

И линије

{ ax+by+c=0,} ax + by + c = 0,

као општа линеарна једначина са рационалним коефицијентима а, б и ц.

Избегавањем израчунавања које се ослањају на операције квадратног корена које дају само приближне удаљености између тачака, или стандардне тригонометријске функције (и њихове инверзије), давање само скраћених полиномских апроксимација углова (или њихових пројекција) геометрије постаје потпуно алгебарско. Другим речима, не постоји претпоставка о постојању решења реалног броја проблема, већ резултати дати у пољу рационалних бројева, њиховим екстензијама алгебарских поља или коначним пољима. Након тога, тврди се, чини се да многи класични резултати еуклидске геометрије могу бити примењени у рационалном облику (као квадратни аналози) над било којим подручјем које није карактеристично за два.

Књига Божанске  пропорције показује примену рачунског рачуна користећи рационалне тригонометријске функције, укључујући тродимензионалне прорачуне запремине. Такође се бави и применом рационалне тригонометрије у ситуацијама које укључују ирационалне, као што је доказ да Платонске Круте имају рационалне 'проширенје' између својих лица.

Значај и критика

Рационална тригонометрија (РТ) се помиње само у скромном броју математичких публикација поред Вилдбергерових чланака и књига. Божанске пропорције одбацио је рецензент Паул Ј. Кемпбел, у часопису Математикс  из Математичке Асоциације из  Америке (МАА): "аутор тврди да ће ова нова теорија узети" мање од пола уобичајеног времена за учење ", али сумњам у то и то би ипак требало да буде повезано са традиционалним концептима и нотацијом. " Рецензент Вилијам Баркер, Исак  Хенри Винг, професор математике на Бовдоин Коледжу, такође пише за МАА, био је више одобравајући: "Божанске  пропорције су несумњиво вредан  додатак математичкој литератури. Пажљиво развија промишљен, паметан и користан алтернативни приступ. Не би било изненађујуће да неки од његових метода у завршници продру у стандардни развој ових предмета, али ако не дође до неочекиваног помака у прихваћеним погледима на темеље математике, онда не постоји јак случај,за рационалну тригонометрију која замењује класичну теорију ”[3] Аманда Гефтер из новог научника описала је приступ Вилдбергера као пример финитизма. [2] Џејмс Френклин из Математичке интелигенције тврди да књига заслужује пажљиво разматрање. [4]

Анализа Михајла  Гилсдорфа о примерима проблема које је Вилдбергер дао у раном раду оспорио је тврдњу да је РТ захтевао мање корака за решавање већине проблема, ако је слободна селекција класичних метода (као што је 'формула за везање' за подручје трокута од координате његових врхова или примену посебног случаја Стјуартове  теореме директно на троугао са медијаном) је дозвољено да оптимизује решење проблема. Што се тиче педагогије, и да ли коришћење квадратних величина које је увео РТ нуди стварне предности у односу на традиционално учење, аутор је приметио да класична тригонометрија није у почетку заснована на употреби Теилоровог низа за апроксимацију углова уопште, већ на мерењима акорда (два пута синус) угао) и на тај начин са правилним разумевањем ученици би могли да искористе континуиране предности коришћења линеарног мерења без тражених логичких недоследности када се накнадно уведе кружна параметризација под углом.

Квадрант

Квадрант

Квадранца и удаљеност (као квадратни корен) мере одвајање тачака у еуклидском простору. [6] Следећи Питагорину теорему, квадраната две тачке A1 = (x1, y1) and A2 = (x2, y2) у равни је стога дефинисана као сума квадрата разлика у  { x} x и { y} и координате:

Q(А1,А2)једнако (x2-x1)на квадрат +(y2-y1) на квадрат.

Неједнакост троугла   d3_{­<d1+d2   изражава се под рационалном тригонометријом као (Q{3}-Q{1}-Q{2})^{2} 4Q{1}Q{2}}.}

IEEE је стандардизовао представљање рачунара за бинарне бројеве са бројевима са децималним бројевима у IEEE 754 (а.к.а. IEC 60559) 1985. године. Овај први стандард прати скоро све савремене машине. Ревидирана је 2008. године. IBM-ови главни рачунари подржавајуIBM-ов сопствени хексадецимални формат са децималним бројевима и IEEE 754-2008 децимално записаних бројева поред IEEE 754 бинарног формата. Серија Cray T90 имала је IEEE верзију, али SV1 и даље користи Cray децималних бројева.

Стандард садржи многе блиско повезане формате, различите у само неколико детаља. Пет од ових формата назива се основним формама, а други се називају проширеним форматима; три од њих се посебно користе у компјутерском хардверу и језицима:

Појединачна прецизност, обично се користи за представљање типа "float" у породици C језика (мада то није гарантовано). Ово је бинарни формат који заузима 32 bita (4 bajta) и његов сигнификант има прецизност од 24 bita (око 7 децималних цифара).

Двострука прецизност, обично се користи да представља "двоструки" тип у породици C језика (мада то није гарантовано). Ово је бинарни формат који заузима 64 bita (8 bajta) и његов сигнификант има прецизност од 53 bita (око 16 децималних цифара).

Дупло продужено, такође названо "продужена прецизност". Ово је бинарни формат који заузима најмање 79 bita (80 ако се не користи скривено / имплицитно битно правило) и његово значење има прецизност од најмање 64 bita (око 19 децималних цифара). Формат који задовољава минималне захтеве (64-bitna прецизност, 15-bitna експонента, тако да се уклапа у 80 bita) обезбеђује X86. Уопштено, на таквим процесорима, овај формат се може користити са "дугим двоструким" у породици C језика (C99 и C11 стандарди "IEC 60559 са аритметичким наставком са децималним бројевима - Прилог F" препоручују 80-bitni проширени формат који се даје као "дужи двоструки" када је доступан). На осталим процесорима, "дупло двоструко" може бити синоним за "двоструко" ако било који облик проширене прецизности није доступан, или може бити виши формат, као што је четверострука прецизност.

Повећање прецизности представљања са децималним бројевима генерално смањује количину акумулиране заокружене грешке проузроковане средњим израчунима [9]. Мање уобичајени IEEE формати укључују:

Четворострука прецизност (бинарна128). Ово је бинарни формат који заузима 128 bita (16 bajtova) и његов сигнификант има прецизност од 113 bita (око 34 децималне цифре).

Двоструке прецизне (decimal64) и четвероструке прецизне децималне бројеве. Ови формати, заједно са форматом јединствене прецизности (decimal32), намењени су за правилно извршавање децималног округа.

Половина прецизности децималног броаја, такође звана binary16, 16-bitnaе вредности децималног броја. Користи се у графичком језику NVIDIA Cg и у стандарду openEXR. [10]

Било који integer са апсолутном вредношћу мањи од 224 може бити тачно приказан у јединственом прецизном формату, а било који цели број са апсолутном вредношћу мањи од 253 може бити тачно приказан у двоструком прецизном формату. Штавише, широк спектар овласти од 2 пута такав број може бити представљен. Ове особине се понекад користе за чисто целокупне податке, да би добили 53-bitni интегерс на платформама које имају двоструку прецизност пловидбе, али само 32-битни интегерс.

Стандард одређује неке посебне вредности и њихову репрезентацију: позитивну бесконачност (+ ∞), негативну бесконачност (-∞), негативну нулу (-0) разликују се од обичних ("позитивних") нула и вредности "не број" NaNs).

Поређење бројева са децималама, дефинисано је у ИЕЕЕ стандарду, мало се разликује од уобичајеног упоређивања целог броја. Негативна и позитивна нула се упореди једнако, и сваки NaN се пореди са неједнаким вредностима, укључујући и саму себе. Све вредности осим NaN-a су строго мање од + ∞ и стриктно веће од -∞. Коначни бројеви са децималама се наручују на исти начин као и њихове вредности (у скупу реалних бројева).

Интерно заступање

Бројеви са децималама су обично упаковани у датум рачунара као битни знак, поље експонента и сигнифицанд или мантиса, с лева на десно. За IEEE 754 бинарне формате (основне и проширене) који имају протекле хардверске имплементације, они се деле на следећи начин:

типка	знак	експонент	поље за означавање	укупни битови	склоност експонента	прецизност битова	број децималних цифара
пола	1	5	10	16		15	11	~3.3
сам	1	8	23	32		127	24	~7.2
дупли	1	11	52	64		1023	53	~15.9
х86 продужена прецизност	1	15	64	80		16383	64	~19.2
чентвороструки	1	15	112	128		16383	113	~34.0

Иако експонат може бити позитиван или негативан, у бинарним форматима он се чува као непотписани број који има додану фиксну "пристрасност". Вредности свих 0с у овом пољу резервисане су за низе и поднормалне бројеве; вредности свих 1с резервисане су за infinite и NaN. Опсег експонента за нормализоване бројеве је [-126, 127] за једну прецизност, [-1022, 1023] за двоструку [-16382, 16383] и за четвороструку. Нормализовани бројеви искључују поднормалне вредности, нуле, infinite и NaN.

У форматима IEEE бинарних размена водећи 1 bajt нормализованог сигнифица није заправо ускладиштен у подацима рачунара. Зове се "скривени" или "имплицитан" бит. Због тога, јединствени формат прецизности заправо има значење и са 24 bitа прецизности, формат двоструке прецизности има 53, а четвороструки има 113.

На пример, горе показано да π, заокружено на 24 бита прецизности, има:

знак = 0; е = 1; с = 110010010000111111011011 (укључујући скривени бит)

Сума експонента пристрасности (127) и експонента (1) је 128, тако да је ово приказано у једној прецизној форми као

0 10000000 10010010000111111011011 (искључујући скривени бит) = 40490ФДБ [11] као хексадецимални број.

Линеарна апроксимација до експонента у лагоритму

Такође погледајте: Брзи инверзни квадратни корен § Пребацивање на цео број као приближни логаритам

Ако један крива вредности децималног броја bit обрасца (х-оса је битни образац, који се сматра integerima, y-оса вредност броја са децималним записом, претпоставимо позитивно), добијамо линеарну структуру, апроксимацију померене и скалиране експоненцијалне функције са базом 2,$2^{y}$ (стога заправо $k2^{y-l}$ ). Насупрот томе, с обзиром на стварни број, ако се узме представљање са децималним бројевима и сматра га целим бројем, добија се линеарна апроксимација помереног и скалираног основног логаритма 2, $\log _{2}(x)$ (дакле заправо $c\log _{2}(x+d)$ ).

Ово тумачење је корисно за визуализацију како се вредности бројева са децималним бројевима разликују у односу на репрезентацију и омогућавају одређене ефикасне апроксимације операција са децималним бројевима, операцијама цијелим бројем и битним смјенама. На пример, реинтерпретација float-а као целог броја, узимајући негативну (односно, одузимање од фиксног броја, због пристрасности и имплицитног 1), онда реинтерпретација као флоат даје реципрочну вредност. Експлицитно, игнорисање сигнификантности, узимајући реципрочну вредност, само узима адитив који је инверзан (непристрасан) експонент, с обзиром да је експонат реципрочног негативног оригиналног експонента. (Стога стварно одузимањем експонента из двоструке пристрасности, што одговара непристрасности, узимајући негативне, а затим нагибање.) За сигнификанту, близу 1, реципрочна вредност је приближно линеарна:$1/x\approx 1-x$ (будући да је дериват$-1$ , ово је први израз серије Таилор), а тиме и за сигнификантно, узимајући негативно (или преузимајући од фиксног броја да се носи са имплицинтом 1) приближно узима реципрочну вредност.

Што је значајније, померање bitova омогућава израчунавање квадрата (померање је остављено за 1) или узимање квадратног корена (померање десно за 1). Ово доводи до приближних израчунавања квадратног корена; у комбинацији са претходном техником за узимање инверзног броја, то омогућава брзу обрнуто израчунавање квадратног корена, што је било важно у графичкој обради крајем осамдесетих и деведесетих. Ово се може експлоатисати у неким другим апликацијама, као што је повећање јачине звука у дигиталној обради звука.

Конкретно, сваки пут када се експонат повећава, вредност се удвостручује (стога експоненцијално расте), а сваки пут када значајно повећање (за дату експонента) вредност повећава се за $2^{(e-b)}$ (стога расте линеарно, са нагибом једнаком стварне (непристрасне) вредности експонента). То важи чак и за последњи корак из датог експонента, где се сигнификант прелази у експонент: са имплицитним 1, број после 1.11 ... 1 је 2.0 (без обзира на експонента), тј. Прираст експонента:

(0 ... 001) 0 ... 0 до (0 ... 001) 1 ... 1, (0 ... 010) 0 ... 0 су једнаки кораци (линеарни)

Дакле, као графикон, то је линеарни комад (како се значајно повећава за дату експонента) који повезују равномерно растојане моћи од два (када је сигнификантан 0), при чему сваки линеарни део има двоструки нагиб претходног: приближно је скалиран и промењени експоненцијални {\ дисплаистиле 2 ^ {к}} 2 ^ {к}. Свака комада има исти хоризонтални простор, али и двоструко вертикални простор последњег. Пошто је експонент конвексан горе, вредност је увек већа или једнака актуелној (померену и скалирану) експоненцијалну криву кроз тачке са значењем и 0; уз незнатно другачије смењивање, он може блиско приближити експоненцијалну, понекад прецењену, понекад потцењивати. Насупрот томе, тумачење децималног броја као целог броја даје приближни померени и скалирани логаритам, при чему сваки дио има пола нагиба задњег, узимајући исти вертикални простор, али двапут хоризонталном простору. Пошто је логаритам конвексан, апроксимација је увек мања од одговарајуће логаритамске криве; опет, другачији избор скале и помака доноси ближе апроксимацију.

Посебне вредности

Писање нуле

Главни чланак:Писање нуле

У IEEE 754 стандарду, нула је потписана, што значи да постоје и "позитивна нула" (+0) и "негативна нула" (-0). У већини радних временских окружења, позитивна нула се обично штампа као "0", а негативна нула као "-0". Ове вредности се понашају једнако у нумеричким упоређењима, али неке операције враћају различите резултате за +0 и -0. На пример, 1 / (- 0) враћа негативну бесконачност, док 1 / + 0 враћа позитивну бесконачност (тако да се одржава идентитет 1 / (1 / ± ∞) = ± ∞). Друге уобичајене функције са дисконтинуитетом у x = 0 које могу третирати +0 и -0 различито укључују log (x), signum (x) и главни квадратни корен од и + xи за било који негативни број и. Као и са било којом шемом апроксимације, операције које укључују "негативну нулу" могу повремено узроковати конфузију. На пример, у IEEE 754, x = и не значи увек 1 / x = 1 / и, као 0 = -0 али 1/0 = 1 / -0.

Субнормални бројеви

Главни чланак: Субнормални бројеви

Субнормалне вредности попуњавају празнину у празном ходу са вредностима где је апсолутна растојање између њих једнако као и за суседне вредности које се налазе изван млазне границе. Ово је побољшање у односу на старију праксу да само има нулу у празном јазу, а гдје су резултати подношења замењени нулом (флусх то зеро).

Савремени хардвер са децималним бројевима обично рукује поднормалним вредностима (као и нормалним вредностима) и не захтева софтверску емулацију за поднормале.