User:Agalst/sandbox

This is the user sandbox of Agalst. A user sandbox is a subpage of the user's user page. It serves as a testing spot and page development space for the user and is not an encyclopedia article. Create or edit your own sandbox here.

Other sandboxes: Main sandbox | Template sandbox

Finished writing a draft article? Are you ready to request review of it by an experienced editor for possible inclusion in Wikipedia? Submit your draft for review!

Функция Фаддеевой, или Функция Крампа - это масштабированная комплексная дополнительная функция ошибок.

w(z):=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=\operatorname {erfcx} (-iz)=e^{-z^{2}}\left(1+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{t^{2}}{\text{d}}t\right).

Связана с интегралом Френеля, интегралом Доусона и функцией Войта. It is related to the Fresnel integral, to Dawson's integral, and to the Voigt function. Функция часто возникает при решении задач с малыми волнами, распространяющимися через максвелловскую плазму, а именно она появляется при исследовании проводимости плазмы. Отсуда получаются выражения для дисперсии, откуда идет второе название как функция плазменной дисперсии ^[1]^[2] (однако это название иногда используется для функции $Z(z)=i{\sqrt {\pi }}w(z)$ , введенной Fried и Conte ^[1]^[3]).

Функция также используется для анализа электромагнитных волн типа используемых в АМ радиовещании. Groundwaves are verticaly polarised waves propagating over a lossy ground with finite resistivity and permittivity.

Свойства

Действительная и мнимая части

Обычно раскладывается на действительную и мнимые части как

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle w(x+iy)=V(x,y)+iL(x,y)} ,

где V и L - так называемые действительная и мнимая функции Войта, так как с точностью до множителя V(x,y) - Voigt profile.

История

Функция была затабулирована Фаддеевой и Терентьевым в 1954. ^[4]. В Abramowitz and Stegun (1964), формула 7.1.3 появляется как безымянная функция w(z). Судя по всему, название функция Фаддеевой было введено Poppe и Wijers в 1990; ^[5] Ранее она была известна как функция Крампа (скорее всего в честь Christian Kramp).^[6]

Самые первые расчеты использовали методы Gautschi (1969/70; ACM Algorithm 363)^[7] или Humlicek (1982). ^[8] Более эффективный алгоритм был предложен Poppe и Wijers (1990; ACM Algorithm 680).^[9] Weideman (1994) в свою очередь предложил особенно короткий алгоритм, занимающий не более 8 строк кода в Matlab.^[10] Zaghloul и Ali указали на недостатки предыдущих алгоритмов и предложили новый (2011; ACM Algorithm 916).^[2] Еще один алгоритм был предложен Abarov и Quine (2011/2012).^[11]

Алгоритмы для расчета

Два программных кода, бесплатных для некоммерческого использования, ^[12] (и, следовательно, не Free and open-source software), были опубликованы в ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS) как Algorithm 680 (на языке Fortran,^[13] позднее портированного на C^[14]) и Algorithm 916 Zaghloul и Ali (на MATLAB).^[15]

Gnuplot вклюает в себя C-реализацию алгоритма Humlicek: быстрого, но с достаточно низкой точностью. Бесплатная/открытая C++ реализация, полученная комбинацией Algorithm 680 и Algorithm 916 (используюцая разные алгоритмы для разных z) также доступна под лицензией MIT License.^[16] Эта реализация так же доступна как plug-in для Matlab,^[16] GNU Octave,^[16] и в Python через пакет Scipy как scipy.special.wofz (который изначально был кодом TOMS 680, однако позднее заменен во избежание нарушений авторских прав ^[17]), и помещен в библиотеку на языке C libcerf.^[18]

Используемая литература

^ ^a ^b http://nlpc.stanford.edu/nleht/Science/reference/errorfun.pdf
^ ^a ^b M. R. Zaghloul and A. N. Ali, ACM Transactions on Mathematical Software 38(2)15 (2011)
^ Richard Fitzpatrick, Plasma Dispersion Function, Plasma Physics записи лекций, University of Texas at Austin (2011/3/31).
^ V. N. Faddeeva and N. N. Terent'ev: Tables of values of the function Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle w(z)=\exp(-z^2)(1+2i/\sqrt{\pi}\int_0^z\exp(t^2)\text{d}t)} for complex argument. Gosud. Izdat. Teh.-Teor. Lit., Moscow, 1954; English transl., Pergamon Press, New York, 1961. Непроверенная ссылка, скопирована из Poppe и Wijers (1990).
^ Самый первый результат в выдаче Google Scholar от октября 2012.
^ Например, в Al'pert, Space Science Reviews 6, 781 (1967), формула (3.13), со ссылкой на Фаддееву и Терентьева.
^ См ссылки 3 и 4 в Poppe и Wijers (1990).
^ J. Humlicek, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 27, 437-444 (1982).
^ G. P. M. Poppe and C. M. J. Wijers, ACM Transactions on Mathematical Software 16, 38-46 (1990).
^ J. A. C. Weideman, SIAM J. Numer. Anal. 31, 1497-1518 (1994).
^ S. M. Abrarov and B. M. Quine, Appl. Math. Comp. 218, 1894-1902 (2011) and arXiv:1205.1768v1 (2012).
^ http://www.acm.org/publications/policies/softwarecrnotice
^ http://www.cs.kent.ac.uk/people/staff/trh/CALGO/680.gz
^ http://spec.jpl.nasa.gov/ftp/pub/calpgm/collisions/ZWOFZ.C
^ Mofreh R. Zaghloul and Ahmed N. Ali, "Algorithm 916: Computing the Faddeyeva and Voigt Functions," ACM Trans. Math. Soft. 38 (2), 15 (2011). Препринт доступен по адресу arXiv:1106.0151.
^ ^a ^b ^c Faddeeva Package, Бесплатная/открытая C++реализация, просмотрено 13 октября 2012.
^ https://github.com/scipy/scipy/issues/2260
^ http://apps.jcns.fz-juelich.de/libcerf

Category:Gaussian function Category:Analytic functions

[errorfun-1] ttp://nlpc.stanford.edu/nleht/Science/reference/errorfun.pdf

[Zaghloul11-2] M. R. Zaghloul and A. N. Ali, ACM Transactions on Mathematical Software 38(2)15 (2011)

[3] Richard Fitzpatrick, Plasma Dispersion Function, Plasma Physics записи лекций, University of Texas at Austin (2011/3/31).

[4] V. N. Faddeeva and N. N. Terent'ev: Tables of values of the function Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle w(z)=\exp(-z^2)(1+2i/\sqrt{\pi}\int_0^z\exp(t^2)\text{d}t)} for complex argument. Gosud. Izdat. Teh.-Teor. Lit., Moscow, 1954; English transl., Pergamon Press, New York, 1961. Непроверенная ссылка, скопирована из Poppe и Wijers (1990).

[5] Самый первый результат в выдаче Google Scholar от октября 2012.

[6] Например, в Al'pert, Space Science Reviews 6, 781 (1967), формула (3.13), со ссылкой на Фаддееву и Терентьева.

[7] См ссылки 3 и 4 в Poppe и Wijers (1990).

[8] J. Humlicek, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 27, 437-444 (1982).

[9] G. P. M. Poppe and C. M. J. Wijers, ACM Transactions on Mathematical Software 16, 38-46 (1990).

[10] J. A. C. Weideman, SIAM J. Numer. Anal. 31, 1497-1518 (1994).

[11] S. M. Abrarov and B. M. Quine, Appl. Math. Comp. 218, 1894-1902 (2011) and arXiv:1205.1768v1 (2012).

[12] ttp://www.acm.org/publications/policies/softwarecrnotice

[13] ttp://www.cs.kent.ac.uk/people/staff/trh/CALGO/680.gz

[14] ttp://spec.jpl.nasa.gov/ftp/pub/calpgm/collisions/ZWOFZ.C

[15] Mofreh R. Zaghloul and Ahmed N. Ali, "Algorithm 916: Computing the Faddeyeva and Voigt Functions," ACM Trans. Math. Soft. 38 (2), 15 (2011). Препринт доступен по адресу arXiv:1106.0151.

[Faddeeva_w-16] Faddeeva Package, Бесплатная/открытая C++реализация, просмотрено 13 октября 2012.

[17] ttps://github.com/scipy/scipy/issues/2260

[18] ttp://apps.jcns.fz-juelich.de/libcerf

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]