Euklidischer Abstand

Der euklidische Abstand (auch euklidische Distanz) ist der Abstandsbegriff der euklidischen Geometrie. Der euklidische Abstand zweier Punkte in der Ebene oder im Raum ist die zum Beispiel mit einem Lineal gemessene Länge einer Strecke, die diese zwei Punkte verbindet.

In kartesischen Koordinaten kann der euklidische Abstand mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden. Mit Hilfe der so gewonnenen Formel wird der Begriff des euklidischen Abstands auf $n$ -dimensionale euklidische und unitäre Vektorräume, euklidische Punkträume und Koordinatenräume verallgemeinert.

„Euklidisch“ heißt dieser Abstand in Abgrenzung zu allgemeineren Abstandsbegriffen, wie zum Beispiel:

dem der hyperbolischen Geometrie,
dem der riemannschen Geometrie,
Abständen in normierten Vektorräumen,
Abständen in beliebigen metrischen Räumen.

Abstandsformeln

In der Koordinatengeometrie wird der Abstand zweier Punkte mithilfe ihrer Koordinaten berechnet, die in eine Abstandsformel eingesetzt werden. Die Abstandsformel hängt dabei vom zugrundeliegenden Koordinatensystem ab. Von besonderem Interesse sind Abstandsformeln für rechtwinkligen Koordinatensysteme, die im Folgenden betrachtet werden.

Punkte auf einer Geraden

Im einfachsten Fall liegen die beiden Punkte $A$ und $B$ auf einer Geraden, die zugleich die (einzige) Koordinatenachse bildet. Sie werden dann mit ihren Koordinaten $a$ und $b$ identifiziert, die ihren jeweiligen vorzeichenbehafteten Abstand zum Ursprung angeben. Der Abstand der Punkte zueinander ist dann der Absolutbetrag $|b-a|$ . Er lässt sich auch schreiben als

d(A,B)={\sqrt {(b-a)^{2}}}

.

Beispiel

Der euklidische Abstand der Punkte $A=-3$ und $B=2$ beträgt

d(A,B)=|-3-2|=|-5|=5.

Punkte in einer Ebene

Zwei Punkte $A=(a_{1},a_{2})$ und $B=(b_{1},b_{2})$ lassen sich durch einen Hilfspunkt $C$ zu einem rechtwinkligen Dreieck $\Delta ABC$ ergänzen, dessen Katheten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen (siehe Skizze). Nach dem Satz des Pythagoras gilt $|AB|^{2}=|AC|^{2}+|CB|^{2}$ . Hieraus erhält man mit $|AC|^{2}=(b_{1}-a_{1})^{2}$ und $|CB|^{2}=(b_{2}-a_{2})^{2}$ nach dem Ziehen der Wurzel die Abstandsformel^[1]

d(A,B)={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}}

.

Beispiel

Der euklidische Abstand der Punkte $A=(1,1)$ und $B=(5,4)$ beträgt

d(A,B)={\sqrt {(5-1)^{2}+(4-1)^{2}}}={\sqrt {4^{2}+3^{2}}}={\sqrt {25}}=5.

Punkte im Raum

Zur Herleitung einer Abstandsformel für zwei Punkte $A=(a_{1},a_{2},a_{3})$ und $B=(b_{1},b_{2},b_{3})$ des (dreidimensionalen) Raumes betrachtet man den Fußpunkt $C$ des Lotes von $B$ auf die Ebene, die parallel zur $xy$ -Ebene verläuft und $A$ enthält (siehe Skizze).^[2] Der Abstand von $A$ und $C$ lässt sich nach der obigen Formel berechnen als $|AC|={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}}$ .

Die Strecke $|BC|$ steht senkrecht zur $xy$ -Ebene, weshalb das Dreieck $\Delta ABC$ rechtwinklig ist mit der Hypotenuse $|AB|$ sowie den Katheten $|AC|$ und $|BC|$ . Nach dem Satz des Pythagoras gilt $|AB|^{2}=|AC|^{2}+|CB|^{2}$ . Setzt man hier die Formel für $|AC|$ ein und zieht die Wurzel, so erhält man für die Punkte $A=(a_{1},a_{2},a_{3})$ und $B=(b_{1},b_{2},b_{3})$ die Abstandsformel^[1]

d(A,B)={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+(b_{3}-a_{3})^{2}}}.

Beispiel

Der euklidische Abstand der beiden Punkte $A=(1{,}5;\,2{,}5;\,4)$ und $B=(4{,}5;\,1;\,1)$ ist

d(A,B)={\sqrt {(1{,}5-4{,}5)^{2}+(2{,}5-1)^{2}+(4-1)^{2}}}={\sqrt {3^{2}+1{,}5^{2}+3^{2}}}=4{,}5.

.

Punkte in n-dimensionalen Räumen

Dieser Abstandsbegriff wird verallgemeinert, indem man den Abstand für zwei Punkte $A=(a_{1},\dotsc ,a_{n})$ und $B=(b_{1},\dotsc ,b_{n})$ des $\mathbb {R} ^{n}$ definiert als^[3]

d(A,B)={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+\cdots +(b_{n}-a_{n})^{2}}}

.

Dies ist die allgemeine Definition des euklidischen Abstands, wie er unter anderem in der linearen Algebra gebräuchlich ist.^[4] Sie enthält die oben angegebenen Formeln für Geraden, Ebenen und den Anschauungsraum als Spezialfälle ( $n=1,2,3$ ), ermöglicht aber auch die Messung von Abständen in höherdimensionalen Räumen, die sich der unmittelbaren Anschauung entziehen. Der euklidische Abstand ist eine Metrik und erfüllt insbesondere die Dreiecksungleichung.

Beispiel

Der Abstand der Punkte $A=(5,3,-2,4)$ und $B=(1,2,0,3)$ des $\mathbb {R} ^{4}$ beträgt

d(A,B)={\sqrt {(5-1)^{2}+(3-2)^{2}+(-2-0)^{2}+(4-3)^{2}}}={\sqrt {22}}.

Literatur

Hermann Schichl, Roland Steinbauer: Einführung in das mathematische Arbeiten. 2. überarbeitete Auflage. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-28646-9, S. 382 ff.
Winfried Schröter: Neuere statistische Verfahren und Modellbildung in der Geoökologie. Springer, 2013, ISBN 978-3-322-83735-6, S. 120 ff.
Elena Deza, Michel Marie Deza: Encyclopedia of Distances. Springer, 2009, ISBN 978-3-642-00233-5, S. 94.

Weblinks

Eric W. Weisstein: Distance. In: MathWorld (englisch).
Eric W. Weisstein: Euclidean Metric. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1 2 Andreas Filler: Elementare Lineare Algebra (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-8274-2412-9, S. 55.
↑ Jens Kunath: Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2023, ISBN 978-3-662-67811-4, S. 69.
↑ Otto Forster, Florian Lindemann: Analysis 2. 12. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2025, ISBN 978-3-658-45811-9, S. 7.
↑ Gerd Fischer, Boris Springborn: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 20. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2025, ISBN 978-3-662-71260-3, S. 310.

[:0-1] 1 2 Andreas Filler: Elementare Lineare Algebra (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-8274-2412-9, S. 55.

[2] Jens Kunath: Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2023, ISBN 978-3-662-67811-4, S. 69.

[3] Otto Forster, Florian Lindemann: Analysis 2. 12. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2025, ISBN 978-3-658-45811-9, S. 7.

[4] Gerd Fischer, Boris Springborn: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 20. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2025, ISBN 978-3-662-71260-3, S. 310.

[1]

[2]

[3]

[4]