Abstand

Der Abstand (auch Entfernung oder Distanz) zweier Punkte ist die Länge der kürzesten Verbindung dieser Punkte. Im euklidischen Raum ist das die Länge der Strecke zwischen den beiden Punkten.

Der Abstandsbegriff lässt sich von Punkten auf geometrische Objekte (z. B. Geraden oder Ebenen) verallgemeinern, da sich diese als Punktmengen auffassen lassen. Unter dem Abstand zweier geometrischer Objekte versteht man im Allgemeinen die Länge der kürzesten Verbindungslinie der beiden Objekte, also der Abstand der beiden einander nächstliegenden Punkte. Werden nicht die einander nächstliegenden Punkte zweier Objekte betrachtet, so wird dies explizit angegeben oder ergibt sich aus dem Zusammenhang, wie beispielsweise der Abstand der geometrischen Mittelpunkte oder der geometrischen Schwerpunkte.

Die Metrik ist der Teil der Mathematik, der sich mit der Abstandsmessung beschäftigt.

Der Abstand, die Entfernung, die Distanz zwischen zwei Werten einer Größe oder zwischen zwei Zeitpunkten wird bestimmt, indem man den Absolutbetrag ihrer Differenz bildet, das heißt, indem sie voneinander abgezogen werden und vom Ergebnis der Absolutbetrag gebildet wird. Der gemessene Abstand ist unabhängig vom gewählten Referenzpunkt des Koordinatensystems, nicht aber von dessen Skalierung (siehe auch Maßstabsfaktor).

In der beobachtenden Astronomie wird der scheinbare Abstand am Himmel zwischen zwei Himmelsobjekten als Winkelabstand angegeben.

Der Abstand zweier Mengen im euklidischen Raum (oder allgemeiner in einem metrischen Raum) kann über die Hausdorff-Metrik definiert werden.

Euklidischer Abstand

→ Hauptartikel: Euklidischer Abstand

Der Abstand zweier Punkte $A$ und $B$ auf einer Geraden mit den Koordinaten $a$ bzw. $b$ ist der Absolutbetrag $|a-b|$. Dieser Betrag lässt sich auch schreiben als

$d(A,B)={\sqrt {(a-b)^{2}}}$.

Der Abstand zweier Punkte in der Ebene

Sind zwei Punkte der Ebene in kartesischen Koordinaten $A=(a_{1},a_{2})$ und $B=(b_{1},b_{2})$ gegeben, so beträgt der Abstand zwischen $A$ und $B$ nach dem Satz des Pythagoras

$d(A,B)={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}$.

Für zwei Punkte $A=(a_{1},a_{2},a_{3})$ und $B=(b_{1},b_{2},b_{3})$ des (dreidimensionalen) Raumes erhält man durch die doppelte Anwendung des Pythagoras

$d(A,B)={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}}}$.

Dieser Abstandsbegriff wird für höherdimensionale Räume in sinnfälliger Weise verallgemeinert, indem man für zwei Punkte $A=(a_{1},\dotsc ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ und $B=(b_{1},\dotsc ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ den (euklidischen) Abstand zweier Punkte definiert als

$d(A,B)={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}$.

Der Abstand eines Punkts von einer Geraden oder einer ebenen Fläche ist sein Abstand zum Fußpunkt des darauf gefällten Lots, der von einer gekrümmten Linie ist stets ein Abstand von einer ihrer Tangenten.

Berechnungsmöglichkeiten für die Abstände von Punkten zu Geraden oder Ebenen sind in der Formelsammlung analytische Geometrie aufgeführt.

Abstand in der Ebene

Abstand zwischen Punkt und Gerade

Von allem Geradenpunkten liegt der Lotfußpunkt $L$ am nächsten an $P$.

Beispiel: Abstand $d(P,g)$ zwischen Punkt $P$ und Geraden $g$ in der Ebene

Der Abstand $d(P,g)$ eines Punktes $P$ von einer Geraden $g$ ist die kleinste Entfernung, die ein Punkt der Geraden $g$ von $P$ haben kann. Von allen Geradenpunkten liegt der Fußpunkt $L$ des Lots von $P$ auf $g$ am nächsten zu $P$. Denn für jeden anderen Geradenpunkt $A$ gilt mit dem Satz des Pythagoras (siehe Skizze)

$|AP|^{2}=|AL|^{2}+|LP|^{2}>|LP|^{2}.$

Also entspricht $d(P,g)$ der Länge des Lots von $P$ auf $g$. In der synthetischen Geometrie ermittelt man den Abstand eines Punktes $P$ von einer Geraden $g$ folglich, indem man das Lot von $P$ auf $g$ fällt und anschließend die Länge der Lotstrecke misst.

In der analytischen Geometrie lässt sich der Abstand zwischen einem Punkt $P(x_{0},y_{0})$ und einer Geraden $g$ mit der Koordinatengleichung $ax+by+c=0$ berechnen als

$d(P,g)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$.

Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten

$(x,y)=\left({\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}},\;{\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}\right).$

Wenn die Gerade $g$ durch die Punkte $(x_{1},y_{1})$ und $(x_{2},y_{2})$ verläuft, gilt:

$a=y_{2}-y_{1}$

$b=x_{1}-x_{2}$

$c=x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}$

Diese Werte können in die Formeln eingesetzt werden.

Beispiel

Eingesetzte Werte für Gerade $g\colon a=-3,\;b=4,\;c=10$ und für Punkt $P\colon x_{0}=4,\;y_{0}=6$

$d(P,g)={\frac {|(-3)\cdot 4+4\cdot 6+10|}{\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}}={\frac {22}{5}}=4{,}4$

Abstand im dreidimensionalen Raum

Für die Konstruktion des Abstandes bedarf es als zusätzliches Hilfsmittel einer Dynamischen-Geometrie-Software (DGS).

Abstand zwischen Punkt und Gerade

Der Abstand zwischen dem Punkt $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ und der Geraden $g$, die durch die Punkte $P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ und $P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ verläuft, beträgt mit den Ortsvektoren ${\vec {p}}_{0},\;{\vec {p}}_{1},\;{\vec {p}}_{2}$:

$d(P_{0},g)={\frac {\left|({\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1})\times ({\vec {p}}_{1}-{\vec {p}}_{0})\right|}{\left|{\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1}\right|}}={\frac {\left|({\vec {p}}_{0}-{\vec {p}}_{1})\times ({\vec {p}}_{0}-{\vec {p}}_{2})\right|}{\left|{\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1}\right|}}$

Dabei steht $\times$ für das Kreuzprodukt der Vektoren und $\left|\quad \right|$ für den Betrag des Vektors.

Beispiel

Beispiel: Abstand $d(P_{0},g)$ zwischen Punkt $P_{0}$ und Gerade $g$ im Raum

Konstruktion des Abstandes $d(P_{0},g)$.

Gegeben sind die Koordinaten der Punkte $P_{1}=\left(3{,}5\mid 2{,}5\mid 0\right)$ und $P_{2}=\left(-1\mid 7\mid 0\right)$, durch die die Gerade $g$ verläuft, und der Punkt $P_{0}=\left(5\mid 6\mid 3{,}5\right)$.

Nach dem Einzeichnen der Geraden $g$ durch $P_{1}$ und $P_{2}$ sowie des Punktes $P_{0}$ werden die Verbindungsvektoren ${\vec {p}}_{1},\;{\vec {p}}_{2}$ und ${\vec {p}}_{0}$ eingezeichnet. Eine abschließend errichtete Senkrechte auf die Gerade $g$ durch den Punkt $P_{0}$ liefert den Abstand $d(P_{0},g)=4{,}974\ldots$

Berechnung

Diese Werte, in die Formel eingesetzt, ergeben

$d(P_{0},g)={\frac {\left|({\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1})\times ({\vec {p}}_{1}-{\vec {p}}_{0})\right|}{\left|{\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1}\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-1{,}5\\-3{,}5\\-3{,}5\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}-15{,}75\\-15{,}75\\22{,}5\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\right|}}$

$={\frac {\left|{\sqrt {(-15{,}75)^{2}+(-15{,}75)^{2}+22{,}5^{2}}}\right|}{\left|{\sqrt {(-4{,}5)^{2}+4{,}5^{2}+0^{2}}}\right|}}=4{,}974\ldots$

Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden

→ Hauptartikel: Windschiefe

Zwei windschiefe Geraden ($g_{1},\;g_{2}$), wobei die eine durch die Punkte $P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ und $P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ und die andere durch die Punkte $P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})$ und $P_{4}=(x_{4},y_{4},z_{4})$ verläuft, haben mit den Vektoren ${\vec {p}}_{1},\;{\vec {p}}_{2},\;{\vec {p}}_{3},\;{\vec {p}}_{4}$ folgenden Abstand:

$d(g_{1},g_{2})={\frac {\left|({\vec {p}}_{3}-{\vec {p}}_{1})\cdot (({\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1})\times ({\vec {p}}_{4}-{\vec {p}}_{3}))\right|}{\left|({\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1})\times ({\vec {p}}_{4}-{\vec {p}}_{3})\right|}}$

Dabei steht $\cdot$ für das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

Beispiel

Beispiel: Konstruktion des Abstandes $d(g_{1},g_{2})$ zwischen zwei windschiefen Geraden $g_{1}$ und $g_{2}$ im Raum

Konstruktion des Abstandes $d(g_{1},g_{2})$ mithilfe einer Hilfsebene.

Gegeben seien die Koordinaten der vier Punkte $P_{1}=\left(3{,}5\mid 2{,}5\mid 0\right),\;P_{2}=\left(-1\mid 7\mid 0\right),\;P_{3}=\left(5\mid 6\mid 3{,}5\right)$ und $P_{4}=\left(0{,}2\mid 2{,}5\mid 6\right).$

Nach dem Einzeichnen der Geraden $g_{1}$ durch $P_{1}$ und $P_{2}$ sowie $g_{2}$ durch $P_{3}$ und $P_{4}$ werden zunächst die Verbindungsvektoren ${\vec {p}}_{1},\;{\vec {p}}_{2},\;{\vec {p}}_{3}$ und ${\vec {p}}_{4}$ eingezeichnet. Für das Bestimmen der Hilfsebene wird eine Parallele zu $g_{2}$ durch $P_{1}$ gezogen und anschließend der Punkt $A$ beliebig auf der Parallelen markiert. Mithilfe der somit gegebenen drei Punkte $A,P_{1}$ und $P_{2}$ wird die Ebene $E$ generiert. Es folgt das Fällen des Lots vom Punkt $P_{3}$ auf die Ebene $E$ mit Fußpunkt $B$ und eine Parallele zu $g_{2},$ die $g_{1}$ in $C$ (rot) schneidet. Abschließend liefert die Parallele zu ${\overline {P_{3}B}}$ ab dem Punkt $C$ bis zur Geraden $g_{2}$ den Schnittpunkt $D$ und somit den Abstand: $d(g_{1},g_{2})=4{,}605\ldots$

Berechnung

Diese Werte eingesetzt in die Formel ergeben

$d(g_{1},g_{2})={\frac {\left|({\vec {p}}_{3}-{\vec {p}}_{1})\cdot (({\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1})\times ({\vec {p}}_{4}-{\vec {p}}_{3}))\right|}{\left|({\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1})\times ({\vec {p}}_{4}-{\vec {p}}_{3})\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}1{,}5\\3{,}5\\3{,}5\end{pmatrix}}\cdot \left({\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4{,}8\\-3{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}}\right)\right|}{\left|{\begin{pmatrix}-4{,}5\\4{,}5\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4{,}8\\-3{,}5\\2{,}5\end{pmatrix}}\right|}}={\frac {\left|{\begin{pmatrix}1{,}5\\3{,}5\\3{,}5\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}11{,}25\\11{,}25\\37{,}35\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}11{,}25\\11{,}25\\37{,}35\end{pmatrix}}\right|}}$

$={\frac {\left|186{,}975\right|}{\left|{\sqrt {11{,}25^{2}+11{,}25^{2}+37{,}35^{2}}}\right|}}=4{,}605\ldots$

Abstand zwischen Punkt und Ebene

Der Abstand zwischen dem Punkt $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ und der Ebene $E$ mit der Koordinatenform $ax+by+cz-f=0$ beträgt:

$\ (1)\;\;d(P_{0},E)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}-f|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

Für die einzusetzenden Werte gilt:

${\begin{aligned}&\left(2\right)\;\;a=y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}+y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}+y_{3}z_{1}-y_{1}z_{3}\\&\left(3\right)\;\;b=z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1}+z_{2}x_{3}-z_{3}x_{2}+z_{3}x_{1}-z_{1}x_{3}\\&\left(4\right)\;\;c=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\\&\left(5\right)\;\;f=x_{1}y_{2}z_{3}-x_{1}y_{3}z_{2}+x_{2}y_{3}z_{1}-x_{2}y_{1}z_{3}+x_{3}y_{1}z_{2}-x_{3}y_{2}z_{1}\\\end{aligned}}$

Wenn drei Punkte $P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$, $P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$, $P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})$ gegeben sind, die eine Ebene $E$ bestimmen (siehe Dreipunkteform), dann lässt sich der Abstand mithilfe der Vektoren ${\vec {p}}_{1},\;{\vec {p}}_{2},\;{\vec {p}}_{3}$ mit folgender Formel berechnen:

$\ (6)\;\;d(P_{0},E)=\left|{\frac {({\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1})\times ({\vec {p}}_{3}-{\vec {p}}_{1})}{\left|({\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1})\times ({\vec {p}}_{3}-{\vec {p}}_{1})\right|}}\cdot ({\vec {p}}_{0}-{\vec {p}}_{1})\right|$

Beispiel

Beispiel: Konstruktion des Abstandes $d(P,E)$ zwischen dem Punkt $P$ und der Ebene $E$ im Raum

Konstruktion des Abstandes $d(P,E)$.

Gegeben seien die Koordinaten der drei Punkte der Ebene $E$ mit $A=\left(1\mid 0\mid 0\right),\;B=\left(2\mid 1\mid 1\right),\;C=\left(3\mid 0\mid 2\right)$ sowie des außerhalb liegenden Punktes $P=\left(4\mid 5\mid -3\right).$

Nach dem Eintragen der Punkte $A,B$ und $C$ sowie des außerhalb liegenden Punktes $P$ kann die Ebene $E\colon 2x-2z-2=0$ generiert werden. Anschließend fällt man das Lot vom Punkt $O$ des Koordinatenursprungs auf die Ebene $E$ mit dem Fußpunkt $D.$ Durch die Punkte $O$ und $D$ verläuft auch der, aus der Parameterdarstellung von $E$ ermittelbare, Normalenvektor mit ${\vec {n}}=\left(2\mid 0\mid -2\right).$ Abschließend liefert die Parallele zu ${\overline {OD}}$ ab dem Punkt $P$ bis zur Ebene $E$ den Abstand:

$d(P,E)=3\cdot {\sqrt {2}}=4{,}2426\ldots$

Berechnung

Ermittlung der einzusetzenden Werte für Formel $(1)$:

${\begin{aligned}&\left(2\right)\;\;a=0\cdot 1-1\cdot 0+1\cdot 2-0\cdot 1+0\cdot 0-0\cdot 2=2\\&\left(3\right)\;\;b=0\cdot 2-1\cdot 1+1\cdot 3-2\cdot 2+2\cdot 1-0\cdot 3=0\\&\left(4\right)\;\;c=1\cdot 1-2\cdot 0+2\cdot 0-3\cdot 1+3\cdot 0-1\cdot 0=-2\\&\left(5\right)\;\;f=1\cdot 1\cdot 2-1\cdot 0\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0-2\cdot 0\cdot 2+3\cdot 0\cdot 1-3\cdot 1\cdot 0=2\\\end{aligned}}$

Diese Werte, eingesetzt in $(1)$, ergeben schließlich

$\ (1)\;\;d(P_{0},E)={\frac {|2\cdot 4+0\cdot 5+(-2)\cdot (-3)-2|}{\sqrt {2^{2}+0^{2}+(-2)^{2}}}}=3\cdot {\sqrt {2}}=4{,}2426\ldots$

Das Ergebnis gleicht dem des Beispiels.

Andere Definitionen

Die Definition des euklidischen Abstands kann mithilfe von Metriken verallgemeinert werden. Der euklidische Abstand ist der euklidischen Norm (2-Norm) eines Vektorraums, z. B. des dreidimensionalen euklidischen Raums, zugeordnet, siehe Metrischer Raum – Beispiele.

Manhattan-Metrik

→ Hauptartikel: Manhattan-Metrik

Die Linien in rot, blau und gelb sind drei Beispiele für die Manhattan-Metrik zwischen den zwei schwarzen Punkten (je 12 Einheiten lang). Die grüne Linie stellt zum Vergleich den euklidischen Abstand dar, der eine Länge von $6{\sqrt {2}}\approx 8{,}5$ Einheiten hat.

Die sogenannte Manhattan-Metrik ist eine Metrik, in der der Abstand $d$ zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ als die Summe der absoluten Differenzen ihrer Einzelkoordinaten definiert wird:

$d(A,B)=\sum _{i}\left|A_{i}-B_{i}\right|$

Die Manhattan-Metrik ist die von der Summennorm (1-Norm) eines Vektorraums erzeugte Metrik.

Weil die Wege zwischen zwei Punkten immer rechtwinklig entlang den horizontalen und vertikalen Linien (Straßen) verlaufen, aber nicht durch die quadratischen „Gebäudeblöcke“, ist der Abstand zwischen zwei Punkten nicht kleiner und im Allgemeinen größer als der euklidische Abstand. Der Abstand zwischen zwei Punkten mit ganzzahligen Koordinaten (Kreuzungen) ist immer eine ganze Zahl.

So ist beispielsweise in der nebenstehenden Grafik die Manhattan-Metrik in einem zweidimensionalen Raum, sodass sich

$d(A,B)=\left|A_{1}-B_{1}\right|+\left|A_{2}-B_{2}\right|=\left|0-6\right|+\left|0-6\right|=\left|-6\right|+\left|-6\right|=12$

ergibt, wobei $A=(A_{1},A_{2})=(0,0)$ und $B=(B_{1},B_{2})=(6,6)$ die schwarz markierten Punkte sind.

Abstandsmessung auf gekrümmten Flächen

Auf der Kugeloberfläche wird der Abstand entlang von Großkreisen bestimmt und im Gradmaß oder Bogenmaß angegeben. Zur Berechnung des Abstandes siehe Orthodrome.

Auf dem Erdellipsoid oder anderen konvexen Flächen benutzt man die geodätische Linie oder den Normalschnitt.

In der Geodäsie und den Geowissenschaften spricht man eher von Distanz oder Entfernung, die metrisch angegeben wird.

Siehe auch

• Entfernungsmaß
• Entfernungsmessung
• Geodätische Distanz

Weblinks

Commons: Abstand – Sammlung von Bildern

Wiktionary: Abstand – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikiquote: Abstand – Zitate