Normalenvektor

I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt am Main 2001, ISBN 978-3-8171-2005-5, S. 253.  In der Geometrie ist ein Normalenvektor, auch Normalvektor, ein Vektor, der orthogonal (d. h. rechtwinklig, senkrecht) auf einer Geraden, Kurve, Ebene, (gekrümmten) Fläche oder einer höherdimensionalen Verallgemeinerung eines solchen Objekts steht. Eine Gerade mit diesem Vektor als Richtungsvektor heißt Normale. Ein Normaleneinheitsvektor oder eine Einheitsnormale ist ein Normalenvektor der Länge 1.

In diesem Artikel wird zunächst der Fall von Geraden in der Ebene und von Ebenen im dreidimensionalen Raum behandelt (Lineare Algebra und analytische Geometrie), dann der Fall von Kurven in der Ebene und von Flächen im Raum (Differentialgeometrie).

Normalenvektoren von Geraden und Ebenen

Normale und Normalenvektor einer Geraden in der Ebene

Gerade mit Normalenvektoren und Einheitsnormalenvektoren

Ein Normalenvektor einer Geraden $g$ in der Ebene ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der senkrecht auf dieser Geraden steht. Es handelt sich also um den Richtungsvektor einer Geraden, die senkrecht auf $g$ steht, sprich einer Orthogonalen oder Normalen zu $g$.

Zu jeder Geraden in der Ebene gibt es unendlich viele Normalenvektoren, die alle Vielfache voneinander sind. Sind also ${\vec {n}}_{1}$ und ${\vec {n}}_{2}$ Normalenvektoren ein und derselben Geraden in der Ebene, so gilt ${\vec {n}}_{2}=c\cdot {\vec {n}}_{1}$ für ein $c\neq 0$. Somit existieren zu jeder Gerade in der Ebene auch unendlich viele Normalengleichungen. Von den unendlich vielen Normalenvektoren gibt es jedoch nur zwei mit Länge eins, das heißt es gibt genau zwei Normaleneinheitsvektoren zu einer Geraden; diese sind jeweils Gegenvektoren voneinander.

Berechnung

Hat $g$ die Parameterform ${\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}$ mit dem Richtungsvektor ${\vec {v}}=(a,b)$, so sind die beiden Vektoren $(-b,a)$ und $(b,-a)$ Normalenvektoren. Durchläuft man die Gerade in der Richtung von ${\vec {v}}$, so weist $(-b,a)$ nach links und $(b,-a)$ nach rechts.

Ist die Gerade in der Normalform $y=mx+c$ gegeben, so ist der Vektor $(1,m)$ ein Richtungsvektor der Geraden und $(-m,1)$ und $(m,-1)$ sind Normalenvektoren. Für $m\neq 0$ hat also jede Normale die Steigung $-1/m$. Ist $m=0$, also $g$ horizontal, so ist jede Normale vertikal, hat also eine Gleichung der Form $x=a$.

Ist die Gerade in der allgemeinen Form $ax+by=d$ gegeben, so ist $(a,b)$ ein Normalenvektor.

Aus einem Normalenvektor ${\vec {n}}$ erhält man einen Normaleneinheitsvektor ${\vec {n}}_{0}$, indem man ${\vec {n}}$ durch seine Länge (Norm, Betrag) dividiert:

${\vec {n}}_{0}={\frac {1}{\|{\vec {n}}\|}}{\vec {n}}$.

Der zweite Normaleneinheitsvektor $-{\vec {n}}_{0}$ ergibt sich durch Multiplikation des obigen Normaleneinheitsvektors mit $-1$. Umgekehrt erhält man alle Normalenvektoren aus einem Normaleneinheitsvektor durch skalare Multiplikation.

Alle Normalenvektoren einer Raumgeraden liegen in einer Ebene.

Normalenvektor einer Geraden im Raum

Eine Gerade $g$ im Raum ist typischerweise durch eine Parametergleichung ${\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}$ gegeben. Jeder Normalenvektor ${\vec {n}}\neq 0$ von $g$ erfüllt die Gleichung ${\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=0$ bzw. in ausgeschriebener Form $n_{1}v_{1}+n_{2}v_{2}+n_{3}v_{3}=0$. Bei dieser Gleichung sind zwei der $n_{i}$ frei wählbar und die dritte Zahl wird so angepasst, dass die Gleichung erfüllt ist. Die Menge der Normalenvektoren ist also zweidimensional, und das bedeutet geometrisch, dass die Normalenvektoren in einer Ebene liegen, die orthogonal zu $g$ ist. Damit ist der Richtungsvektor der Geraden ${\vec {v}}$ ein Normalenvektor dieser Ebene (siehe nächster Abschnitt).

Normale und Normalenvektor einer Ebene

Zwei Normalenvektoren auf einer Ebene

Ein Normalenvektor einer Ebene $E$ im dreidimensionalen Raum ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht. Es handelt sich also um den Richtungsvektor einer Geraden, die senkrecht auf $E$ steht, sprich einer Orthogonalen oder Normalen zu $E$.

Zu jeder Ebene gibt es unendlich viele Normalenvektoren, die alle als Vielfache auseinander hervorgehen. Sind also ${\vec {n}}_{1}$ und ${\vec {n}}_{2}$ Normalenvektoren ein und derselben Ebene, so gilt ${\vec {n}}_{2}=c\cdot {\vec {n}}_{1}$ für ein $c\neq 0$. Somit existieren zu jeder Ebene auch unendlich viele Normalengleichungen. Von den unendlich vielen Normalenvektoren gibt es jedoch nur zwei mit Länge eins, das heißt es gibt genau zwei Normaleneinheitsvektoren zu einer Ebene; diese sind jeweils Gegenvektoren voneinander.

Berechnung

Ist die Ebene durch die Koordinatengleichung

$ax+by+cz=d$

gegeben, so ist $(a,b,c)$ ein Normalenvektor. Ist die Koordinatengleichung nach $z$ aufgelöst,

$z=ax+by+c$,

so ist $(-a,-b,1)$ ein nach oben weisender und $(a,b,-1)$ ein nach unten weisender Normalenvektor.

Ist $E$ durch zwei aufspannende Vektoren ${\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ und ${\vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ gegeben (Punkt-Richtungs-Form oder Parameterform), führt die Bedingung, dass der Normalenvektor ${\vec {n}}=(n_{1},n_{2},n_{3})$ senkrecht auf ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ steht, auf ein lineares Gleichungssystem für die Komponenten $n_{1},n_{2},n_{3}$ von ${\vec {n}}$:

${\begin{aligned}u_{1}\,n_{1}+u_{2}\,n_{2}+u_{3}\,n_{3}&=0\\v_{1}\,n_{1}+v_{2}\,n_{2}+v_{3}\,n_{3}&=0\end{aligned}}$

Jede von $(0,0,0)$ verschiedene Lösung liefert einen Normalenvektor.

Eine andere Möglichkeit, Normalenvektoren zu bestimmen, bietet das Kreuzprodukt. Der Vektor

${\vec {u}}\times {\vec {v}}={\begin{pmatrix}u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}\\u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\end{pmatrix}}$

steht senkrecht auf ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ und damit auf der von ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ aufgespannten Ebene.

Wie im Fall der Gerade in der Ebene erhält man aus einem Normalenvektor einen Normaleneinheitsvektor, indem man ihn durch seine Länge dividiert, einen zweiten durch Multiplikation mit $-1$ und alle andern Normalenvektoren durch Multiplikation mit reellen Zahlen ungleich null.

Eine Ebene wird durch einen Normalenvektor sowie einen auf der Ebene liegenden Punkt eindeutig bestimmt (siehe Normalenform und hessesche Normalform).

Normalenvektoren von Kurven und Flächen

Ebene Kurven

Ebene Kurve mit Normale, Tangente und Normalenvektoren

In der Analysis und in der Differentialgeometrie ist der Normalenvektor zu einer ebenen Kurve (in einem bestimmten Punkt) ein Vektor, der auf dem Tangentialvektor in diesem Punkt orthogonal steht. Vorausgesetzt ist dabei, dass die Kurve glatt ist, also im betrachteten Bereich Tangenten besitzt. Die Gerade in Richtung des Normalenvektors durch diesen Punkt heißt Normale, sie ist orthogonal zur Tangente.

Berechnung

Ist die Kurve als Graph einer differenzierbaren Funktion $f$ gegeben, so hat die Tangente im Punkt $P=(x_{0},f(x_{0}))$ die Steigung $m_{t}=f'(x_{0})\,$, die Steigung der Normalen beträgt also

$m_{n}=-{\frac {1}{m_{t}}}=-{\frac {1}{f'(x_{0})}}\,.$

Die Normale im Punkt $P=(x_{0},f(x_{0}))$ ist dann durch die Gleichung

$y=f(x_{0})+m_{n}(x-x_{0}),$

also durch

$y=f(x_{0})-{\frac {1}{f'(x_{0})}}(x-x_{0})$

gegeben.

Ist die ebene Kurve in Parameterform gegeben, $c(t)=(x(t),y(t))$, so ist ${\dot {c}}(t)=({\dot {x}}(t),{\dot {y}}(t))$ ein Tangentialvektor im Punkt $c(t)$ und $({\dot {y}}(t),-{\dot {x}}(t))$ ein nach rechts weisender Normalenvektor. Hier bezeichnet, wie in der Differentialgeometrie üblich, der Punkt die Ableitung nach dem Kurvenparameter.

Raumkurve mit zwei Normalenvektoren ${\vec {n}}_{1}$, ${\vec {n}}_{2}$ und senkrechter Ebene im Punkt $P$

Kurven im Raum

Bei Raumkurven bilden die Normalenvektoren in einem Punkt $P$ (wie im Fall der Geraden im Raum) einen zweidimensionalen Untervektorraum, den zugehörigen affinen Unterraum durch $P$. Es handelt sich dabei um die zur Kurve in $P$ senkrechte Ebene. In der elementaren Differentialgeometrie wählt man einen Einheitsvektor aus, der in die Richtung zeigt, in die die Kurve gekrümmt ist. Diesen nennt man Hauptnormalen(einheits)vektor, siehe Frenetsche Formeln.

Flächen im dreidimensionalen Raum

Zur Veranschaulichung des Normalenvektors

Tangentialebene: $T$
Normale: $n$
Normalenvektor: ${\vec {n}}={\vec {v_{x}}}\times {\vec {v_{y}}}$
${\vec {v_{x}}}=F_{x}(x,y)$
${\vec {v_{y}}}=F_{y}(x,y)$

Entsprechend ist der Normalenvektor einer gekrümmten Fläche in einem Punkt der Normalenvektor der Tangentialebene in diesem Punkt. Dieser Vektor wird auch als Flächennormale bezeichnet. Jedoch wird diese Bezeichnung in der Literatur für verschiedene eng miteinander verwandte Objekte verwendet: So kann sie auch für einen normierten Normalenvektor oder für die Gerade in Richtung des Normalenvektors stehen.

Ist die Fläche durch die Parameterdarstellung

$F\colon U\subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3},\quad (u,v)\mapsto F(u,v)$

gegeben, so sind die beiden Vektoren

$F_{u}(u,v):={\frac {\partial F}{\partial u}}(u,v)$ und $F_{v}(u,v):={\frac {\partial F}{\partial v}}(u,v)$

Spannvektoren der Tangentialebene im Punkt $F(u,v)$. (Hier wird vorausgesetzt, dass die Fläche bei $(u,v)$ regulär ist, also dass $F_{u}(u,v)$ und $F_{v}(u,v)$ linear unabhängig sind.) Ein Normalenvektor im Punkt $F(u,v)$ ist ein Vektor, der senkrecht auf $F_{u}(u,v)$ und $F_{v}(u,v)$ steht, z. B. der durch das Kreuzprodukt gegebene und dann normierte Hauptnormalenvektor

$N(u,v):={\frac {F_{u}(u,v)\times F_{v}(u,v)}{\left|F_{u}(u,v)\times F_{v}(u,v)\right|}}\,.$

Hier bezeichnen die senkrechten Striche die euklidische Norm des Vektors.

Ist die Fläche implizit durch eine Gleichung gegeben,

$g(x,y,z)=0$,

wobei $g\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion ist, so ist der Gradient

$\operatorname {grad} g(x,y,z)=\left({\frac {\partial g}{\partial x}}(x,y,z),{\frac {\partial g}{\partial y}}(x,y,z),{\frac {\partial g}{\partial z}}(x,y,z)\right)$

ein Normalenvektor der Fläche im Punkt $(x,y,z)$ (vorausgesetzt, dass er dort nicht verschwindet).

Ist die Fläche als Graph einer differenzierbaren Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ gegeben, so ist

$\left(-{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y),-{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y),1\right)$

ein nach oben weisender Normalenvektor im Punkt $p=(x,y,f(x,y))$. Dies erhält man, indem man verwendet, dass die Abbildung $F(x,y)=(x,y,f(x,y))$ eine Parametrisierung ist oder dass die Fläche durch die Gleichung

$g(x,y,z):=z-f(x,y)=0$

dargestellt wird.

Verallgemeinerungen

Der Begriff des Normalenvektors lässt sich verallgemeinern auf

1. affine Unterräume (verallgemeinerte Ebenen) in euklidischen Räumen höherer Dimension (insbesondere auf Hyperebenen),
2. Flächen, Hyperflächen und Untermannigfaltigkeiten in euklidischen Räumen höherer Dimension,
3. Flächen, Hyperflächen und Untermannigfaltigkeiten von Riemannschen Mannigfaltigkeiten,
4. Nichtglatte Objekte, wie konvexe Körper und rektifizierbare Mengen.

Anwendungen

In der Analysis und Differentialgeometrie spielen Normalenvektoren eine zentrale Rolle bei der Berechnung von Oberflächeninhalten und Oberflächenintegralen. Im Bereich der Computergrafik werden Normalenvektoren unter anderem genutzt, um festzustellen, ob eine Fläche dem Benutzer zugewandt ist oder nicht, um letztere von der Bildberechnung auszuschließen (Back-Face Culling). Des Weiteren werden sie zur Berechnung von Lichteinfall und Reflexionen benötigt.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: normal vector. In: MathWorld (englisch).

Literatur

• Schülerduden – Die Mathematik II. 3. Auflage. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus AG, Mannheim 1991. S. 290–293.