SO(10)

SO(10) ist in der theoretischen Physik eine Große vereinheitlichte Theorie. SO(10) fasst das Georgi-Glashow-Modell mit der $24$-dimensionalen speziellen unitäre Gruppe $\operatorname {SU} (5)$ als Eichgruppe und das Pati-Salam-Modell mit der $21$-dimensionale Lie-Gruppe $\operatorname {SU} (4)\times \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)$ als Eichgruppe in einer größeren Theorie mit der $45$-dimensionalen speziellen orthogonalen Gruppe $\operatorname {SO} (10)$ als Eichgruppe zusammen.

Eichgruppe

Es gibt eine kanonische Einbettung $\operatorname {SU} (5)\hookrightarrow \operatorname {SO} (10)$ aus der Eichgruppe des Georgi-Glashow-Modells und eine kanonische Abbildung $\operatorname {SU} (4)\times \operatorname {SU} (2)_{\mathrm {L} }\times \operatorname {SU} (2)_{\mathrm {R} }\cong \operatorname {Spin} (6)\times \operatorname {Spin} (4)\rightarrow \operatorname {Spin} (10)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (10)$ aus der Eichgruppe des Pati-Salam-Modells. Tatsächlich faktorisiert auch die vordere Einbettung über die Spin-Gruppe $\operatorname {Spin} (10)$. Es gibt sogar ganz allgemein eine Einbettung $\operatorname {SU} (n)\hookrightarrow \operatorname {SO} (2n)$ und diese faktorisiert über die doppelte Überlagerung $\operatorname {Spin} (2n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (2n)$, also hebt sich zu einer Abbildung $\operatorname {SU} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {Spin} (2n)$. Solche Hebungen existieren, wenn die erste und zweite Stiefel-Whitney-Klasse verschwinden, also die Kompositionen $\operatorname {SU} (n)\hookrightarrow \operatorname {SO} (2n)\xrightarrow {w_{1}} K(\mathbb {Z} _{2},1)$ und $\operatorname {SU} (n)\hookrightarrow \operatorname {SO} (2n)\xrightarrow {w_{2}} K(\mathbb {Z} _{2},2)$ in die entsprechenden Eilenberg-MacLane-Räume nullhomotop sind. Im hinteren Fall ergibt sich die zweite Stiefel-Whitney-Klasse als Reduktion der ersten Chern-Klasse, also durch die homotope Komposition $\operatorname {SU} (n)\xrightarrow {c_{1}} K(\mathbb {Z} ,2)\xrightarrow {\operatorname {mod} 2} K(\mathbb {Z} _{2},2)$. Beides ist tatsächlich garantiert, da die speziellen Gruppen verwendet werden, denn beide Abbildungen faktorisieren über die Determinanten $\det \colon \operatorname {SO} (2n)\rightarrow \{1\}$ und $\det \colon \operatorname {SU} (n)\rightarrow \{1\}$. Anders ausgedrückt erhält das reelle Determinantenbündel die erste Stiefel-Whitney-Klasse und das komplexe Determinantenbündel die erste Chern-Klasse. Als Folge sind tauchen statt der speziell orthogonalen Gruppen auch die Spin-Gruppen in großen vereinheitlichen Theorien auf, insbesondere neben $\operatorname {Spin} (10)$ auch $\operatorname {Spin} (11)$ und $\operatorname {Spin} (12)$. Als Untergruppen von $\operatorname {Spin} (10)$ oder $\operatorname {SO} (10)$ gilt zudem:

$(\operatorname {SU} (3)_{\mathrm {C} }\times \operatorname {SU} (2)_{\mathrm {L} }\times \operatorname {U} (1)_{\mathrm {Y} })/\mathbb {Z} _{6}\cong \operatorname {SU} (5)\cap (\operatorname {Spin} (4)\times \operatorname {Spin} (6))/\mathbb {Z} _{2};$

$(\operatorname {SU} (3)_{\mathrm {C} }\times \operatorname {SU} (2)_{\mathrm {L} }\times \operatorname {U} (1)_{\mathrm {Y} })/\mathbb {Z} _{6}\cong \operatorname {SU} (5)\cap (\operatorname {SO} (4)\times \operatorname {SO} (6)).$

Dabei steht C für die Farbladung (englisch color), L für „links“ und Y für die Hyperladung. (Für die Erklärung von $\mathbb {Z} _{6}$ siehe Georgi-Glashow-Modell.)

Literatur

• John Baez und John Huerta: The Algebra of Grand Unified Theories. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 47. Jahrgang, Nr. 3, 2010, S. 483–552, doi:10.1090/S0273-0979-10-01294-2, arxiv:0904.1556 (englisch).