Im Alter von neun Jahren bekam Davison sein erstes Pony. Nach der Schule arbeitete er kurzzeitig in der PR-Agentur seines Vaters, bevor er sich für den Reitsport entschied. Damals noch am Jagd-Reiten interessiert, schickte ihn die Vielseitigkeitsreiterin Sandra Pearson-Adams in einen Dressurkurs von Barbara Slane-Fleming, in dem er seine Begeisterung für das Dressurreiten entdeckte. Lady Bamford kaufte ihm daraufhin das Pferd Master JCB, mit dem er unter anderem Teamsilber bei den Europameisterschaften 1993 gewann. Ein Jahrzehnt später gewann er Mannschaftsbronze bei der Europameisterschaft in Hickstead. Davison ritt bisher bei vier Olympischen Spielen, zuletzt bei den Spielen 2012 in London.
Davison ist Partner der British Horse Society, sowie ein regelmäßiger Horse & Hound-Kolumnist. Zudem ist er Mitglied des FEI Dressur-Komitee, sowie Vize-Präsident des internationalen Dressurreiter-Clubs. Er trainiert bei Conrad Schumacher.