Papyrus Rhind

Abbildung 1: Linkes Ende der Vorderseite des größten Fragments des Papyrus Rhind (heute im British Museum, pBM 10057)

Abb. 2:Wiedergabe des in der oberen Abbildung rechts sichtbaren Textabschnitts

Abb. 3: Verwendung verschiedenfarbiger Tinte in dem (von rechts nach links) in hieratischer Schrift verfassten Manuskript – hier beim 41. Problem (Vergrößerung der Abbildung per Klick)

Abb. 4: mit Achteck und einige Zeilen Rechnung zum 48. Problem

Abb. 5: Transkription dieser Zeilen unter der Skizze zum 48. Problem

Der Papyrus Rhind ist eine altägyptische, auf Papyrus verfasste Abhandlung zu verschiedenen mathematischen Themen, die wir heute als Arithmetik, Algebra, Geometrie, Trigonometrie und Bruchrechnung bezeichnen. Er wird auf etwa 1550 v. Chr. datiert und gilt neben dem etwas älteren, aber weniger umfangreichen Papyrus Moskau 4676 als eine der wichtigsten Quellen für das heutige Wissen über die Mathematik im Alten Ägypten.

Entdeckung

Der Papyrus Rhind ist benannt nach dem schottischen Anwalt und Antiquar Alexander Henry Rhind, der ihn 1858 in Luxor, Oberägypten erwarb. Die Schriftstücke wurden wohl wenig zuvor bei illegalen Grabungen auf dem gegenüber von Luxor westlich des Nils liegenden Gebiet Thebens in oder nahe dem Ramesseum gefunden, genauere Umstände sind nicht bekannt.

Details

Der Papyrus wurde vermutlich im 16. Jahrhundert v. Chr. noch während der Zweiten Zwischenzeit angefertigt – einleitend wird das 33. Regierungsjahr des Apopi, eines Königs der 15. Dynastie der Hyksos, als Datum angegeben – und wird in wesentlichen Teilen als die Kopie eines über zwei Jahrhunderte älteren Papyrus angesehen, welcher wahrscheinlich aus der Regierungszeit des Amenemhet III. der 12. Dynastie im Mittleren Reich stammte. Der Kopist – ein Schreiber namens Ahmose, nach einer früheren Transkription auch Ahmes – gebrauchte die hieratische Schrift und hob einige Werte und aufgeführte Verfahren mit roter anstelle von schwarzer Tinte hervor, so beispielsweise Sätze von Teilern.

Heute liegt der Papyrus nurmehr in Form von Fragmenten einer über 5 Meter langen und etwa 32 cm breiten Schriftrolle vor, die beidseitig beschrieben ist. Im British Museum werden zwei Stücke von 295,5 cm und 199,5 cm Länge verwahrt (1865 inventarisiert mit Nr. 10057 bzw. 10058); die Lücke zwischen beiden wird auf annähernd 18 cm geschätzt. Der Papyrus gibt neben einigen Tabellen eine Reihe verschiedener mathematischer Probleme mit Lösungsbeispielen wieder; insgesamt sind es je nach Zählweise 84, 87 oder 91 Aufgaben. Der Text konnte erst am Ende des 19. Jahrhunderts n. Chr. entziffert und übersetzt werden, seine mathematischen Aussagen werden seit Anfang des 20. Jahrhunderts entschlüsselt und erschlossen.

Inhaltlich lässt sich das Manuskript in drei Abteilungen gliedern. Nach dem Titel findet sich im ersten Teil zu Beginn eine längere Tabelle, die für alle ungeraden Zahlen n von 3 bis 101 den Bruch ²/_n als eine Summe von Stammbrüchen darstellt, gefolgt von einer kurzen Tabelle mit Werten des Bruchs ⁿ/₁₀ für n von 2 bis 9. Anschließend werden 40 arithmetische und algebraische Probleme behandelt. Der zweite Teil stellt 20 geometrische Probleme vor und behandelt Rauminhalte und Flächeninhalte unterschiedlicher Figuren sowie das Verhältnis von Höhe zu Seite des Körpers einer Pyramide als deren Neigung. Zwei Dutzend weitere Probleme bilden den dritten Teil, neben Berechnungen bezogen auf die Herstellung von Brot und Bier wie auch auf die Fütterung von Geflügel und Rindern wird hier unter anderem eine Rätselaufgabe zu Katzen und Mäusen wiedergegeben.

Flächeninhalt eines Kreises

Abb. 5: Möglicher Weg zum Wert 64/81 im Papyrus Rhind (nach Vogel):
Ein Kreis wird in ein Quadrat eingepasst. Dieses wird in 3 × 3 quadratische Felder eingeteilt, und jedes Feld noch einmal genauso. Es entsteht ein Gitter von insgesamt 9 × 9 = 81 quadratischen Zellen. 4 Dreiecke an den Ecken werden abgeschnitten. Übrig bleibt ein Achteck (blaue Linie). Es hat die Fläche von 63 Zellen und ist fast so groß wie der Kreis.

Für die Fläche eines Kreises im Verhältnis zum umschriebenen Quadrat gibt Ahmes in der 48. und der 50. Aufgabenstellung den Wert ${\textstyle {\frac {64}{81}}}$. Der genaue Wert ist ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}=0,785\ldots ={\frac {63,61\ldots }{81}}}$. Ahmes überschätzt den Kreis daher nur zu 0,6 %. Zu dem Weg, auf dem dieses recht genaue Ergebnis gewonnen wurde, gibt es keine sicheren Kenntnisse, sondern im Wesentlichen nur zwei Vermutungen, die aber beide nicht genau zu dem Verhältnis ${\textstyle {\frac {64}{81}}}$ im Papyrus führen.

Achteck

Die erste Vermutung stammt von Kurt Vogel, der eine grobe Skizze, die im Papyrus Rhind neben der 48. Aufgabe zu sehen ist, als ein Quadrat mit eingepasstem Achteck deutet (siehe Abbildungen 4 und 5). Da ${\textstyle {\frac {64}{81}}=({\frac {8}{9}})^{2}}$ gilt, liegt es nahe, das umschriebene Quadrat mit einem Gitter aus 9 × 9 = 81 quadratischen Zellen zu bedecken. Wenn man statt eines Kreises ein Achteck einpasst, dessen Ecken (wie in der nebenstehenden schematischen Abbildung 5 verdeutlicht) an diesem Gitter ausgerichtet sind, ist seine Fläche leicht zu berechnen: von den mit blauem Umriss hervorgehobenen quadratischen Feldern zu je 3 × 3 Zellen liegen 5 ganz und 4 halb im Achteck, zusammen also 63 Zellen. Das Achteck deckt sich in guter Annäherung mit dem Kreis, scheint aber in der Fläche ein wenig zu klein. Möglicherweise erhöht Ahmes deshalb für die Kreisfläche von 63 auf 64. Einen stützenden Hinweis auf die Schlüssigkeit dieser Interpretation sieht Vogel auch darin, dass neben der Figur in altägyptischer Schreibweise die Rechnungen ${\textstyle 9\cdot 9=81}$ und ${\textstyle 8\cdot 8=64}$ wiedergegeben sind, wobei die 9 für die Seitenlänge des umschriebenen Quadrats und damit für den Durchmesser des Kreises steht, und 8 für die Seitenlänge des zum Kreis flächengleichen Quadrats.

Quadratur des Kreises

Abb. 6: Möglicher Weg zum Wert 64/81 im Papyrus Rhind (nach Engels): Ein Kreis wird in ein orthogonales Gitter so eingezeichnet, dass er die acht Gitterpunkte schneidet, die die Viertelungspunkte der Seiten eines Quadrats sind, das der Kreisfläche nahezu flächengleich scheint.
Im Falle eines 8×8-Quadrats, mit 64 Flächeneinheiten, misst der Kreisdurchmesser knapp 9 Längeneinheiten.

Dagegen stellte Hermann Engels 1977 die Vermutung auf, Ahmes könnte von einem gegebenen Quadrat ausgegangen sein und einen Kreis gleicher Fläche gesucht haben. Das entspricht der Aufgabe einer Quadratur des Kreises.

Da den ägyptischen Baumeistern die maßstabsgerechte Planung mittels Gittern von Planquadraten geläufig war, könnte es für diese 48. Aufgabenstellung des Papyrus nahegelegen haben, dass sie das gegebene Quadrat zunächst mit 8 × 8 Planquadraten bedecken, so dass es die Fläche von 64 Planquadraten hat. Der gesuchte flächengleiche Kreis wäre so zu ziehen, dass er die Seiten des Quadrats jeweils bei 1/4 und 3/4 ihrer Länge genau an den Ecken von Planquadraten schneidet (siehe Abb. 6). Nach Augenmaß hat er recht genau dieselbe Fläche wie das 8×8-Quadrat.

Nach der 48. Aufgabe des Papyrus ist der Kreis nun in ein Quadrat einzubetten, das nach der Angabe ${\textstyle {\frac {64}{81}}}$ die Fläche 81 Planquadrate haben soll, also die Seitenlänge 9. Die Seitenlänge dieses Quadrats kann hier aus dem Durchmesser des Kreises bestimmt werden. Dieser ist aber nicht genau ${\textstyle {\sqrt {81}}=9}$, denn aus dem rechtwinkligen Dreieck in Abb. 6 ergibt er sich zu ${\textstyle 2{\sqrt {4^{2}+2^{2}}}={\sqrt {80}}=8,944\ldots }$. Das ist um 0,6 % kleiner. Die Fläche des dem Kreis umschriebenen Quadrats ist damit nicht 81, wie im Papyrus, sondern nur 80 Planquadrate. Nach dieser Deutung wäre im Papyrus statt ${\textstyle {\frac {64}{81}}}$ die Antwort ${\textstyle {\frac {64}{80}}}$ zu erwarten.

Weitere Verwendungen

Das angegebene Verhältnis von 9 : 8 für den Kreisdurchmesser und die Seitenlänge des flächengleichen Quadrats wird auch im Problem 41 (siehe Abbildung 3 oben, vergrößert) des Papyrus Rhind angewandt, wo es um die Berechnung des Volumens eines zylindrischen Kornspeichers geht. Ebenfalls wird es in der Berechnungsvorschrift für den Flächeninhalt einer gekrümmten Oberfläche angenommen, die im Problem 10 des älteren Papyrus Moskau 4676 wiedergegeben ist; hier gehen allerdings die Interpretationen schon darüber auseinander, welche Fläche genau gemeint ist.

Aufbewahrungsort

Die beiden Hauptstücke des Papyrus Rhind (Rhind Mathematical Papyrus (RMP)), ein knapp 3 m und ein knapp 2 m langes Fragment, befinden sich seit 1865 im Besitz des Britischen Museums in London, verzeichnet unter den Inventarnummern pBM 10057 bzw. pBM 10058. Von dem fehlenden Zwischenstück (knapp 0,2 m) sind einige kleinere Fragmente erhalten, die damals nicht von Rhind erworben wurden und heute im Brooklyn Museum in New York aufbewahrt werden.

Siehe auch

• Papyri Lahun / Kahun
• Geschichte der Mathematik
• Mathematik im Alten Ägypten
• Liste der Papyri des Alten Ägypten

Ausgaben

• August Eisenlohr: Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter (Papyrus Rhind des British Museum). 2 Bände, Hinrichs, Leipzig 1877 (online).
• Thomas Eric Peet: The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 and 10058. Hodder & Stoughton für The University Press of Liverpool, London 1923.
• Arnold Buffum Chace, Henry Parker Manning, Raymond C. Chace, Ludlow Bull: The Rhind Mathematical Papyrus: British Museum 10057 and 10058. 2 Bände, Mathematical Association of America, Oberlin (OH) 1927/1929. (Verkürzte Neuauflage: National Council of Teachers of Mathematics, Reston (OH) 1979, ISBN 0-87353-133-7).
• Gay Robins, Charles Shute: The Rhind Mathematical Papyrus. An Ancient Egyptian Text. British Museum, London 1987, ISBN 0-7141-0944-4 (mit Fotos des Papyrus).

Literatur

• Marshall Clagett: Ancient Egyptian Science. A Source Book. Band 3: Ancient Egyptian Mathematics (= Memoirs of the American Philosophical Society. Band 232). American Philosophical Society, Philadelphia (PA) 1999, ISBN 0-87169-232-5.
• Milo Gardner: An Ancient Egyptian Problem and its Innovative Arithmetic Solution. In: Gaṇita-Bhāratī. Bulletin of the Indian Society for the History of Mathematics. Band 28, 2006, ISSN 0970-0307, S. 157–173.
• Richard J. Gillings: Mathematics in the time of the pharaohs. Unabridged, slightly corrected republication. Dover Publications, New York (NY) 1982, ISBN 0-486-24315-X.
• Annette Imhausen: Ägyptische Algorithmen. Eine Untersuchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten (= Ägyptologische Abhandlungen. Band 65). Harrassowitz, Wiesbaden 2003, ISBN 3-447-04644-9.
• Franz von Krbek: Eingefangenes Unendlich. Bekenntnis zur Geschichte der Mathematik. 2. Auflage. Geest & Portig, Leipzig 1954, S. 79 ff.
• Neil MacGregor: Eine Geschichte der Welt in 100 Objekten. (Aus dem Englischen von Waltraut Götting, Andreas Wirthensohn, Annabell Zettel). Beck u. a., München 2011, ISBN 978-3-406-62147-5, S. 141–149.

Weblinks

Commons: Rhind Mathematical Papyrus – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Rhind Mathematical Papyrus – Artikel mit Abbildungen der Papyrus-Fragmente auf Site des British Museum.
• Eric W. Weisstein: Rhind Papyrus. MathWorld–A Wolfram Web Resource, abgerufen am 29. Januar 2011. 
• O’Connor and Robertson: Mathematics in Egyptian Papyri.
• Scott W. Williams: Egyptian Mathematics Papyri.
• RMP 2/n Table der englischen Wikipedia