Panjer-Algorithmus

Die Panjer-Rekursion (oder auch Panjer-Algorithmus) ist ein Algorithmus um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable

S := \sum_{i = 1}^{N} X_{i} := \sum_{n = 0}^{\infty} χ_{{ω \in Ω | N (ω) = n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

zu berechnen. Dabei sind $N$ und $X_{i}$ Zufallsvariablen, welche ein kollektives Modell bilden, und $χ$ bezeichnet die Indikatorfunktion.

Der Algorithmus wurde in einer Publikation von Harry Panjer erstmals veröffentlicht.^[1] Er wird im Versicherungswesen häufig benutzt.

Vorbedingungen

Wir sind an der speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable $S = \sum_{i = 1}^{N} X_{i}$ interessiert, wobei $N$ und $X_{i}$ die folgenden Vorbedingungen erfüllen müssen:

Schadenanzahlverteilung

$N$ ist eine „Schadenanzahlverteilung“, d. h. $N \in ℕ_{0}$ . $N$ ist unabhängig von $X_{i}$ .

Weiterhin muss $N$ ein Element der Panjer-Klasse sein. Die Panjer-Klasse besteht aus allen Zufallsvariablen mit Werten in $ℕ_{0}$ , welche die folgende Relation erfüllen:

p_{k} = (a + \frac{b}{k}) \cdot p_{k - 1}

mit

k \geq 1

und für

a

und

b

mit

a + b \geq 0

.

Der Wert $p_{0}$ wird so bestimmt, dass $\sum_{k = 0}^{\infty} p_{k} = 1$ erfüllt ist.

Sundt bewies im Paper^[2], dass nur die Binomialverteilung, die Poisson-Verteilung und die Negative Binomialverteilung in der Panjer-Klasse liegen. Sie haben die Parameter und Werte wie in der folgenden Tabelle beschrieben, wobei $W_{N} (x)$ die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bezeichnet.

Verteilung	$P [N = k]$	$a$	$b$	$p_{0}$	$W_{N} (x)$	$E [N]$	$V a r (N)$
Binomial	$(\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$	$\frac{p}{p - 1}$	$\frac{p (n + 1)}{1 - p}$	$(1 - p)^{n}$	$(p x + (1 - p))^{n}$	$n p$	$n p (1 - p)$
Poisson	$e^{- λ} \frac{λ^{k}}{k!}$	$0$	$λ$	$e^{- λ}$	$e^{λ (x - 1)}$	$λ$	$λ$
Negative Binomial	$\frac{Γ (r + k)}{k! Γ (r)} p^{r} (1 - p)^{k}$	$1 - p$	$(1 - p) (r - 1)$	$p^{r}$	${(\frac{p}{1 - x (1 - p)})}^{r}$	$\frac{r (1 - p)}{p}$	$\frac{r (1 - p)}{p^{2}}$

Einzelschadenverteilung

Wir nehmen an, dass $X_{i}$ identisch verteilte unabhängige Zufallsvariablen sind, welche unabhängig von $N$ sind. Weiterhin muss $X_{i}$ auf einem Gitter $h ℕ_{0}$ mit Gitterlänge $h > 0$ verteilt sein.

f_{k} = P [X_{i} = h k] .

Rekursion

Der Algorithmus verwendet eine Rekursion, um die Wahrscheinlichkeiten $g_{k} = P [S = h k]$ zu berechnen.

Der Startwert ist: $g_{0} = W_{N} (f_{0})$

mit den Spezialfällen

g_{0} = p_{0} \cdot \exp (f_{0} b) für a = 0,

und

g_{0} = \frac{p_{0}}{(1 - f_{0} a)^{1 + b / a}} für a \neq 0.

Die nachfolgenden Werte können folgendermaßen berechnet werden:

g_{k} = P [S = h k] = \frac{1}{1 - f_{0} a} \sum_{j = 1}^{k} (a + \frac{b \cdot j}{k}) \cdot f_{j} \cdot g_{k - j} .

Beispiel

Abbildung 1 zeigt die approximierte Dichtefunktion von $S = \sum_{i = 1}^{N} X_{i}$ wobei $N \sim NegBin (3,5; 0,3)$ und $X \sim Frechet (1,7; 1)$ . Die Einzelschadenverteilung wurde mit einer Gitterbreite $h = 0,04$ diskretisiert (siehe auch Fréchet-Verteilung).

Siehe auch

Literatur

Schmidt, Klaus D.: Versicherungsmathematik, Springer Dordrecht Heidelberg London New York 2009, ISBN 978-3-642-01175-7.

Einzelnachweise

↑ Harry H. Panjer: Recursive evaluation of a family of compound distributions. In: ASTIN Bulletin. 12. Jahrgang, Nr. 1, 1981, S. 22–26, doi:10.1017/S0515036100006796 (englisch, casact.org [PDF]).
↑ B. Sundt and W. S. Jewell: Further results on recursive evaluation of compound distributions. In: ASTIN Bulletin. 12. Jahrgang, Nr. 1, 1981, S. 27–39, doi:10.1017/S0515036100006802 (englisch, casact.org [PDF]).

[1] Harry H. Panjer: Recursive evaluation of a family of compound distributions. In: ASTIN Bulletin. 12. Jahrgang, Nr. 1, 1981, S. 22–26, doi:10.1017/S0515036100006796 (englisch, casact.org [PDF]).

[2] B. Sundt and W. S. Jewell: Further results on recursive evaluation of compound distributions. In: ASTIN Bulletin. 12. Jahrgang, Nr. 1, 1981, S. 27–39, doi:10.1017/S0515036100006802 (englisch, casact.org [PDF]).

[1]

[2]