Lappin, dessen Vater Peter Lappin während seiner Profikarriere zweimal den Turner Cup gewann und in der National Hockey League (NHL) für die Minnesota North Stars sowie San Jose Sharks aktiv war, verbracht seine Juniorenzeit in der United States Hockey League. Dort war er in der Saison 2009/10 zunächst für die Cedar Rapids RoughRiders aktiv, ehe er kurz nach dem Beginn der folgenden Spielzeit innerhalb der Liga zu den Tri-City Storm wechselte. Bei den Storm spielte der rechte Flügelstürmer bis zum Sommer 2012. Anschließend entschied sich Lappin für ein Studium an der Brown University. Neben seinem Studium spielte er dabei vier Jahre lang parallel für das Eishockeyteam der Universität in der ECAC Hockey, einer Division im Spielbetrieb der National Collegiate Athletic Association (NCAA).
Nach drei Jahren in der Organisation der Devils schloss sich Lappin im Juli 2019 als Free Agent den St. Louis Blues an, wo er einen Einjahresvertrag erfüllte. Anschließend erhielt er im Januar 2021 einen auf die AHL beschränkten Vertrag bei den Cleveland Monsters. Für die Spielzeit 2021/22 erhielt der Stürmer im November 2021 zunächst einen Probevertrag bei den Lehigh Valley Phantoms in der AHL, der ab dem Januar 2022 auf einen vollwertigen Vertrag bis zum Saisonende ausgeweitet wurde. Wie bereits in Cleveland erfolgte jedoch keine Vertragsverlängerung über den Sommer hinaus, sodass sich Lappin im November 2022 den Florida Everblades aus der ECHL anschloss. Die Everblades transferierten ihn nach nur drei Monaten im Februar 2023 zum Ligakonkurrenten Kalamazoo Wings, für die er allerdings nicht spielte.
(Legende zur Spielerstatistik: Sp oder GP= absolvierte Spiele; T oder G= erzielte Tore; V oder A= erzielte Assists; Pkt oder Pts= erzielte Scorerpunkte; SM oder PIM= erhaltene Strafminuten; +/−= Plus/Minus-Bilanz; PP= erzielte Überzahltore; SH= erzielte Unterzahltore; GW= erzielte Siegtore; 1Play-downs/Relegation; Kursiv: Statistik nicht vollständig)