Die Muja entspringt in etwa 1700m Höhe an der Südflanke des hier knapp 2500m hohen Nördlichen Mujagebirges (Seweromuisker Gebirge), das wie das gesamte vom Fluss durchquerte Gebiet zum System des Stanowoihochlandes gehört. Sie fließt in vorwiegend nordöstlicher Richtung durch ein zunächst weites, bewaldetes Tal, welches das Südliche Mujagebirges (Juschnomuisker Gebirge) vom Nördlichen Mujagebirge bzw. im Mittellauf vom Mujakangebirge trennt. Letzteres bildet die Wasserscheide zwischen der Muja und ihrem bedeutendsten, linken Nebenfluss Mujakan. Oberhalb dessen Einmündung ist das Tal der Muja enger als im Oberlauf.
Die Muja erreicht dann die relativ ebene Muja-Kuanda-Senke, eine sich in West-Ost-Richtung über etwa 100Kilometer, in Nord-Süd-Richtung gut 50Kilometer erstreckende Senke und durchfließt diese bis zur Mündung in den Lena-Nebenfluss Witim beim Dorf Ust-Muja (auch Tolmatschewski) in 467m Höhe. Größter und neben Ust-Muja einziger Ort am Fluss ist Taksimo.
Die Muja war namensgebend für eine Reihe geographischer Objekte, so die erwähnten Gebirge, aber auch die von ihr im gesamten Verlauf durchflossene Verwaltungseinheit, den RajonMuiski (Muja-Rajon) der autonomen Republik Burjatien.
Das Einzugsgebiet der Muja umfasst 11.900km². In Mündungsnähe erreicht der Fluss eine Breite von über 200Meter bei einer Tiefe von 2Metern; die Fließgeschwindigkeit beträgt 0,8m/s.
Die Wasserführung bei Taksimo, 72Kilometer oberhalb der Mündung, beträgt im Jahresdurchschnitt 113m³/s bei einem Minimum von 19,9m³/s im März und einem Maximum von 344m³/s im Juni.[3]
Das von der Muja im Ober- und Mittellauf durchflossene Gebiet ist praktisch unbesiedelt. Unterhalb der Einmündung des Mujakan kreuzen die Baikal-Amur-Magistrale (BAM) und die der Bahnstrecke folgende Straße den Fluss verlaufen etwa 20Kilometer bis Taksimo auf der rechten Seite in seiner Nähe.
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