Liu Hui

Liu Hui (chinesisch 劉徽; * um 220; † um 280) war ein chinesischer Mathematiker. Er lebte im Wei-Reich.

Liu Hui ist bekannt für seine Kommentare zu den Jiu Zhang Suanshu, den „Neun Kapiteln der Rechenkunst“. Dies ist eine Sammlung zur Lösung mathematischer Probleme aus dem Alltagsbereich. Liu Hui veröffentlichte das Jiu Zhang Suanshu im Jahre 263 mit eigenen Kommentaren, das ist gleichzeitig die älteste erhaltene Ausgabe.

Zu seinen herausragenden Arbeiten gehören:

Die annähernde Berechnung von Pi durch Einschreibung regelmäßiger Polygone in den Kreis. Er schlug 3,1416 als bis dahin beste Näherung vor.
Die Lösung linearer Gleichungssysteme mit Hilfe eines Verfahrens, das später als Gaußsches Eliminationsverfahren bekannt wurde.
Die Berechnung der Volumina von Prisma, Pyramide, Tetraeder, Zylinder, Kegel und Kegelstumpf.

Außerdem verfasste er das Haidao suanjing („Mathematisches Handbuch der Seeinsel“), eines der zehn Klassiker (Suanjing shi shu) der mittelalterlichen chinesischen Mathematik. Es wurde 263 geschrieben und enthält Methoden für die Landvermessung, die in den folgenden tausend Jahren in Ostasien nach diesem Buch verwendet wurden.

Abschätzung der Kreiszahl

Liu Hui bemerkte 263 in seinem Kommentar^[1] zum chinesischen Mathematikbuch Die neun Kapitel über die mathematische Kunst (entstanden im 10. Jahrhundert v. Chr. bis 2. Jahrhundert n. Chr.), dass das Verhältnis des Umfangs eines eingeschriebenen Sechsecks zum Durchmesser des Kreises drei betrage, weshalb π größer als drei sein müsse. Anschließend lieferte er eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Beschreibung eines iterativen Algorithmus zur Berechnung von π mit beliebiger Genauigkeit auf der Grundlage von Halbierenden von Polygonen; er berechnete π mit einem 192-Eck auf einen Wert zwischen 3,141024 und 3,142708; er schlug vor, dass 3,14 eine ausreichend gute Annäherung sei, und drückte π als 157/50 aus.

Später erfand er eine schnelle Methode, um sie zu verbessern, und erhielt π ≈ 3,1416 mit nur einem 96-Eck, einer Genauigkeit, die mit der eines 1536-Ecks vergleichbar ist. Sein wichtigster Beitrag auf diesem Gebiet war sein einfacher iterativer π-Algorithmus.

π-Ungleichheit

Im Gegensatz zu Archimedes, der die Länge der Kanten eines regelmäßigen Polygon berechnete, stützte sich Liu Hui auf die Abschätzung der Fläche des Kreises und im nachfolgenden Schritt durch Ermittlung der Kreiszahl mit Hilfe der Wurzelfunktion. Am Beispiel eines 6-eckigen Polygons lässt sich zeigen, dass daraus die Fläche des 12-eckigen Polygons zu einem einfachen Rechteck zusammengesetzt werden kann. Ebenso kann die fehlende Fläche durch weitere rechtwinklige Dreiecke abgeschätzt werden. Damit kann die untere Schranke (einbeschriebenes Polygon) und die obere Schranke (umschreibendes Polygon) ermittelt werden.

In der Abbildung stellt die gelbe Fläche die Fläche eines $N$ -Ecks dar, bezeichnet mit $A_{N}$ und die gelbe Fläche plus die grüne Fläche ergibt die Fläche eines $2 N$ -Ecks, bezeichnet mit $A_{2 N}$ . Daher stellt die grüne Fläche die Differenz zwischen den Flächen des $2 N$ -Ecks und des $N$ -Ecks dar:

D_{2 N} = A_{2 N} - A_{N} .

Die rote Fläche ist gleich der grünen Fläche, ebenso wie $D_{2 N}$ . Somit gilt

Gelbe Fläche + grüne Fläche + rote Fläche =

A_{2 N} + D_{2 N} .

Sei $A_{C}$ die Fläche des Kreises. Dann gilt

A_{2 N} < A_{C} < A_{2 N} + D_{2 N} .

Setzt man den Radius des Kreises gleich 1, so erhalten wir die π-Ungleichung von Liu Hui:

A_{2 N} < π < A_{2 N} + D_{2 N} .

Iterativer Algorithmus

Liu Hui ging von einem eingeschriebenen Sechseck aus. Sei $M$ die Länge einer Seite $A B$ des Sechsecks und $r$ der Radius des Kreises.

Halbiere $A B$ mit der Geraden $O P C$ , dann wird $A C$ wird zu einer Seite des Zwölfecks (12-Eck), seine Länge sei $m$ . Die Länge von $P C$ sei $j$ und die Länge von $O P$ sei $G$ .

$A P O$ und $A P C$ sind zwei rechtwinklige Dreiecke. Liu Hui wandte den Satz des Pythagoras wiederholt an:

G^{2} = r^{2} - (\frac{M}{2}) 2

G = \sqrt{r^{2} - \frac{M^{2}}{4}}

j = r - G = r - \sqrt{r^{2} - \frac{M^{2}}{4}}

m^{2} = (\frac{M}{2}) 2 + j^{2}

m = \sqrt{(\frac{M}{2}) 2 + j^{2}}

m = \sqrt{(\frac{M}{2}) 2 + {(r - G)}^{2}}

m = \sqrt{(\frac{M}{2}) 2 + {(r - \sqrt{r^{2} - \frac{M^{2}}{4}})}^{2}}

Von hier aus gibt es nun eine Methode, um $m$ aus $M$ zu bestimmen, wodurch sich die Seitenlänge eines Polygons mit doppelt so vielen Seiten ergibt. Ausgehend von einem Sechseck konnte Liu Hui mit dieser Formel die Seitenlänge eines Zwölfecks bestimmen. Anschließend fuhr er wiederholt fort, um die Seitenlänge eines Zwanzigecks zu bestimmen, wenn die Seitenlänge eines Zwölfecks bekannt war. Dies konnte er so oft wie nötig rekursiv durchführen. Da er wusste, wie man die Fläche dieser Polygone bestimmt, konnte Liu Hui π approximieren.^[2]

Mit $r = 10$ Einheiten erhielt er

Fläche des

96

-Ecks

A_{96} = 313 \frac{584}{625}

Fläche des

192

-Ecks

A_{192} = 314 \frac{64}{625}

Differenz des 96-Ecks und des 192-Ecks:

D_{192} = 314 \frac{64}{625} - 313 \frac{584}{625} = \frac{105}{625}

Aus Huis π-Ungleichheit folgt:

A_{2 N} < A_{C} < A_{2 N} + D_{2 N} .

Mit $r = 10$ , $A_{C} = 100 \times π$ ergibt sich:

314 \frac{64}{625} < 100 \times π < 314 \frac{64}{625} + \frac{105}{625}

, also

314 \frac{64}{625} < 100 \times π < 314 \frac{169}{625}

3,141024 < π < 3,142704.

Hui nahm zunächst $3,14$ als ausreichende Näherung für $π$ und drückte es als Quotient $\frac{157}{50}$ aus. Er wies darauf hin, dass dieser Wert ein wenig kleiner als $π$ war.

Liu Hui führte seine Berechnungen durch Ermittlung der Quadratwurzel aus und drückte seine Ergebnisse als Quotienten aus. Die iterative Vorgehensweise seines π-Algorithmus ist offensichtlich:

2 - m^{2} = \sqrt{2 + (2 - M^{2})},

wobei $m$ die Länge einer Seite des aus $M$ halbierten Polygons der nächsten Ordnung ist. Diese Berechnung wird wiederholt durchgeführt, wobei jeder Schritt nur eine Addition und eine Quadratwurzelberechnung erfordert.

Schnelle Methode

Die Berechnung von Quadratwurzeln mit chinesischen Rechenstäbchen^[3] war im 3. Jahrhundert keine leichte Aufgabe. Liu Hui entdeckte jedoch eine Abkürzung, indem er die Flächenunterschiede von aufeinanderfolgenden Polygonen verglich, und stellte fest, dass das Verhältnis der Flächenunterschiede ungefähr 1/4 betrug.^[4]^[5]

Sei $D_{N}$ die Differenz der Flächen eines $N$ -Ecks und eines $N / 2$ -Ecks:

D_{N} = A_{N} - A_{N / 2}

Er fand:

D_{96} \approx \frac{1}{4} D_{48}

sowie

D_{192} \approx \frac{1}{4} D_{96}

^[6]

Daraus folgerte er:

\begin{matrix} D_{384} & \approx \frac{1}{4} D_{192} D_{768} & \approx {(\frac{1}{4})}^{2} D_{192} D_{1536} & \approx {(\frac{1}{4})}^{3} D_{192} D_{3072} & \approx {(\frac{1}{4})}^{4} D_{192} ⋮ \end{matrix}

Fläche des Einheitskreises =

A_{\infty} = A_{192} + D_{384} + D_{768} + D_{1536} + D_{3072} + \dots \approx A_{192} + F \cdot D_{192} .

wobei

F = \frac{1}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{1}{4})}^{3} + {(\frac{1}{4})}^{4} + \dots = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3} .

Das bedeutet, dass die Summe aller nachfolgenden überschüssigen Flächen ein Drittel von $D_{192}$ ist.

Fläche des Einheitskreises:

A_{\infty} = π \times r^{2} \approx A_{192} + (\frac{1}{3}) D_{192}

bzw.

π = \frac{A_{\infty}}{r^{2}} \approx \frac{3927}{1250} = 3,1416

.^[7]

Liu Hui war mit diesem Ergebnis sehr zufrieden, da er durch die Berechnung eines 1536-Ecks dasselbe Ergebnis erhalten hatte und so die Fläche eines 3072-Ecks ermittelt hatte. Dies erklärt drei Fragen:

Warum er bei der Darstellung seines Algorithmus bei $A_{192}$ Halt machte: Weil er eine schnelle Methode entdeckt hatte, die Genauigkeit von π zu verbessern, wodurch er mit nur einem 96-Eck das gleiche Ergebnis wie mit einem 1536-Eck erzielte. Schließlich war die Berechnung von Quadratwurzeln mit dem Rechenstäbchen keine einfache Aufgabe. Mit der schnellen Methode musste er nur noch eine weitere Subtraktion, eine weitere Division (durch 3) und eine weitere Addition durchführen, anstatt vier weitere Quadratwurzelberechnungen.
Warum er es vorzog, π durch die Berechnung von Flächen statt von Umfangsmassen aufeinanderfolgender Polygone zu berechnen: Dies lag daran, dass die schnelle Methode Informationen über die Differenz der Flächen aufeinanderfolgender Polygone erforderte.
Wer war der wahre Verfasser des Absatzes war, der die Berechnung von $π = \frac{3927}{1250}$ enthält? Dieser berühmte Absatz begann mit „Ein Han-Dynastie-Bronzegefäß im Militärlager der Jin-Dynastie...“. Viele Gelehrte, darunter Yoshio Mikami und Joseph Needham, glaubten, dass der Absatz über den „Bronzegefäß aus der Han-Dynastie“ das Werk von Liu Hui und nicht, wie andere glaubten, von Zu Chongzhi sei, da eine starke Korrelation zwischen den beiden Methoden der Flächenberechnung bestehe und da kein einziges Wort zu Zus Ergebnis von 3,1415926 < π < 3,1415927 erwähnt werde, das er mittels eines 12288-Eckes erhalten hatte.

Literatur

Frank Swetz Sea island mathematical manual: Surveying and Mathematics in ancient China, Pennsylvania State University Press 1992 (Übersetzung mit Anmerkungen)
Philip D. Straffin: Liu Hui and the First Golden Age of Chinese Mathematics. Mathematics Magazine, Band 71, Nr. 3, 1998, S. 163–181 (JSTOR)
Wu Wenjun (Hrsg.): 《中国数学史大系》第三卷 (Die große Reihe der chinesischen Mathematik). Band 3, ISBN 7-303-04557-0 (chinesisch).

Einzelnachweise

↑ Kangshen Shen: The Nine Chapters on the Mathematical Art. Oxford University Press, 1999, ISBN 0-19-853936-3 (englisch).
↑ Jörg Arndt, Christoph Haenel: π: Algorithmen, Computer, Arithmetik. Springer, 2020, ISBN 978-3-540-48246-8, S. 170–171.
↑ Zou Dahai: Wie wurde im alten China gerechnet? Goethe-Institut, August 2015, abgerufen am 6. Juni 2026.
↑ Yoshio Mikami: Doktorarbeit 1932
↑ Jean-Paul Delahaye: Π – Die Story. Birkhäuser, 1999, ISBN 3-7643-6056-9, S. 77 (französisch: Le fascinant nombre Pi. 1997. Übersetzt von Manfred Stern).
↑ Korrekter Wert: 0,2502009052
↑ Korrekte Werte: $A_{192} = 3.1410319509$ ; $D_{192} = 0.0016817478$ ; $π \approx 3,1415925335.$

Weblinks

John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Liu Hui. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch).
Spektrum.de: Der Unbekannte 1. August 2006

Personendaten
NAME	Liu, Hui
ALTERNATIVNAMEN	劉徽 (chinesisch)
KURZBESCHREIBUNG	chinesischer Mathematiker
GEBURTSDATUM	um 220
STERBEDATUM	um 280

[1] Kangshen Shen: The Nine Chapters on the Mathematical Art. Oxford University Press, 1999, ISBN 0-19-853936-3 (englisch).

[2] Jörg Arndt, Christoph Haenel: π: Algorithmen, Computer, Arithmetik. Springer, 2020, ISBN 978-3-540-48246-8, S. 170–171.

[3] Zou Dahai: Wie wurde im alten China gerechnet? Goethe-Institut, August 2015, abgerufen am 6. Juni 2026.

[4] Yoshio Mikami: Doktorarbeit 1932

[5] Jean-Paul Delahaye: Π – Die Story. Birkhäuser, 1999, ISBN 3-7643-6056-9, S. 77 (französisch: Le fascinant nombre Pi. 1997. Übersetzt von Manfred Stern).

[6] Korrekter Wert: 0,2502009052

[7] Korrekte Werte: $A_{192} = 3.1410319509$ ; $D_{192} = 0.0016817478$ ; $π \approx 3,1415925335.$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]