Inverse Normalverteilung

Die inverse Normalverteilung (auch inverse Gauß-Verteilung oder Wald-Verteilung genannt) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung der Brownschen Molekularbewegung mit Drift $v>0$ und Streuungskoeffizient $\lambda >0$ ist die zufällige Zeit des ersten Erreichens des Niveaus $a>0$ invers normalverteilt mit den Parametern $\left({\frac {a}{v}},{\frac {a^{2}}{\lambda ^{2}}}\right)$ . Die inverse Normalverteilung gehört zur Exponentialfamilie.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable $X$ genügt der inversen Normalverteilung mit den Parametern $\lambda >0$ (Ereignisrate) und $\mu >0$ (Erwartungswert), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte $f(x)={\begin{cases}\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}$ besitzt.

Eigenschaften

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist gegeben als

F(x)=IG(x;{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}};{\sqrt {\lambda }}):=1-\Phi ({\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {x}}}-{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}{\sqrt {x}})+e^{2\mu }\Phi (-{\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {x}}}-{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}{\sqrt {x}}).

Erwartungswert

Die inverse Normalverteilung besitzt den Erwartungswert

\operatorname {E} (X)=\mu

.

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog zu

\operatorname {Var} (X)={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}

.

Standardabweichung

Daraus erhält man für die Standardabweichung

\sigma ={\sqrt {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}

.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

\operatorname {v} (X)=3{\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}

.

Wölbung (Kurtosis)

Die Wölbung ergibt sich zu

\beta _{2}={\frac {15\mu }{\lambda }}+3

.

Die Exzess-Kurtosis ist

\gamma _{2}=\beta _{2}-3={\frac {15\mu }{\lambda }}

.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

\phi _{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}is}{\lambda }}}}\right)}

.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der inversen Normalverteilung ist

m_{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}s}{\lambda }}}}\right)}

.

Reproduzierbarkeit

Sind $X_{1},\dots ,X_{n}$ Zufallsvariable mit inverser Normalverteilung mit den Parametern $\lambda$ und $\mu$ , dann ist die Größe ${\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$ wieder eine Zufallsvariable mit einer inversen Normalverteilung, aber mit den Parametern $n\lambda$ und $\mu$ .

Laplacetransformation

Die Laplacetransformation der inversen Normalverteilung ist

\mathbb {E} [e^{-\lambda T}]=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda t}{\text{IG}}({\text{d}}t;\zeta ;u)=\exp\{-u({\sqrt {2\lambda +\zeta ^{2}}}-\zeta )\}.

Anwendungen

Diffusionsapproximationen

In der Versicherungsmathematik kann zur Berechnung der Ruinwahrscheinlichkeit die zeitliche Verteilung der Schäden mithilfe des Satzes von Donsker durch eine Brownsche Bewegung approximiert werden. Die dadurch approximierten Ruinwahrscheinlichkeiten basieren auf speziellen Parametrisierungen der inversen Normalverteilung.

Literatur

Hansjörg Asmussen, Søren Albrecher. Ruin Probabilities (Second Edition). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2010, ISBN 978-981-320-361-7, Kapitel 5, S. 136–145.
William Feller. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics, Volume II (Second Edition). New York, NY: Dover Publications, 1971, ISBN 978-0-471-25709-7, Kapitel VIII, S. 436–437, 463.

Weblinks

Eric W. Weisstein: Inverse Gaussian Distribution. In: MathWorld (englisch).