Monoidring

Ein Monoidring kann als Verallgemeinerung eines Polynomrings aufgefasst werden. Dabei werden die Potenzen der Variablen durch Elemente aus einem Monoid ersetzt, was im Folgenden exakt definiert wird.

Definition

Seien $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und $G$ ein Monoid, dann ist

R [G] := {α : G \to R | α (x) = 0 für alle bis auf endlich viele x}

mit der Addition

(α + β) (x) := α (x) + β (x)

und der Faltung

(α β) (z) := \sum_{x y = z} α (x) β (y)

als Multiplikation ein Ring. Die Konstruktion ist der des Polynomrings nachempfunden. Man schreibt $a \cdot x$ oder einfach $a x$ für die Abbildung $α \in R [G]$ , die an der Stelle $x$ den Wert $a$ und ansonsten $0$ annimmt. Beispielsweise gilt dann

(a \cdot x) (b \cdot y) = (a b) \cdot (x y) für a, b \in R und x, y \in G .

$R [G]$ besitzt ein Einselement, nämlich $1 \cdot e$ , wobei $1$ das Einselement von $R$ und $e$ das Neutralelement von $G$ ist.

Ist $G$ eine Gruppe, so heißt $R [G]$ Gruppenring oder Gruppenalgebra; auch die Schreibweise $R G$ ist üblich.

$R [G]$ wird zur $R$ -Algebra via $r \sum_{i} r_{i} g_{i} := \sum_{i} r r_{i} g_{i}$

Eigenschaften

$R [G]$ ist genau dann ein kommutativer Ring, wenn $G$ als Monoid kommutativ ist oder $R$ der Nullring ist.
Jedes Element $α \in R [G]$ lässt sich eindeutig schreiben als $α = \sum_{x \in G} a_{x} \cdot x$ mit $a_{x} := α (x)$
Falls $R$ nicht der Nullring ist, sind $R$ und $G$ auf natürliche Weise in $R [G]$ eingebettet, nämlich durch die injektiven Ring- bzw. Monoidhomomorphismen $f_{0} : R \to R [G], f_{0} (r) = r \cdot e$ und $f_{1} : G \to R [G], f_{1} (x) = 1 \cdot x$ , wobei $1 \cdot x$ wie oben definiert ist.
Falls $R$ der Nullring ist, dann ist $R [G]$ isomorph zum Nullring
Falls $G$ ein Monoid ist, $A, B$ kommutative Ringe und $f : A \to B$ ein Ringhomomorphismus, dann gibt es einen eindeutigen Homomorphismus $h : A [G] \to B [G]$ . sodass $h (\sum_{x \in G} a_{x} x) = \sum_{x \in G} f (a_{x}) x$

Universelle Eigenschaft

Der Monoidring bzw. die Monoidalgebra kann auch – bis auf Isomorphie – über eine universelle Eigenschaft definiert werden. Seien $G$ und $R$ wie oben definiert. Es bezeichne $𝐌 𝐨 𝐧$ die Kategorie der Monoide und $𝐀 𝐥 𝐠_{𝐑}$ die Kategorie der (assoziativen) $R$ -Algebren. Sei $U : 𝐀 𝐥 𝐠_{𝐑} \to 𝐌 𝐨 𝐧$ der Vergissfunktor, d. h. der Funktor, der jeder $R$ -Algebra ihr multiplikatives Monoid zuordnet.

Dann ist die kanonische Einbettung $ϕ : G \to U (R [G]), g \mapsto 1 g$ universell, d. h.: Falls wir noch einen anderen Monoid-Homomorphismus $f : G \to U (A)$ in das multiplikative Monoid einer $R$ -Algebra $A$ haben, dann existiert genau ein $R$ -Algebra-Homomorphismus $\bar{f} : R [G] \to A$ , so dass $U (\bar{f}) \circ ϕ = f$ .

In der obigen Konstruktion der Monoidalgebra sieht $\bar{f}$ wie folgt aus: $\bar{f} (\sum_{i} r_{i} g_{i}) = \sum_{i} r_{i} f (g_{i})$ .

Wenn wir den Funktor, der jedem Monoid seine Monoidalgebra über $R$ zuordnet, mit $F$ bezeichnen, ist also $F$ linksadjungiert zu $U$ . So erhalten wir eine sehr kurze Definition der Monoidalgebra, jedoch muss man immer noch die Existenz beweisen.

Beispiele

$R [ℕ_{0}]$ ist isomorph zum Polynomring in einer Unbestimmten über $R$ .
Ist allgemeiner $G$ ein freies kommutatives Monoid in $n$ Erzeugern, so ist $R [G]$ isomorph zum Polynomring in $n$ Unbestimmten über $R$ .

Spezialfälle

Es sei $G$ eine lokalkompakte topologische Gruppe. Ist $G$ nicht diskret, so enthält der Gruppenring $ℂ [G]$ keine Information über die topologische Struktur von $G$ . Deshalb nimmt seine Rolle die Faltungsalgebra der integrierbaren Funktionen ein: Sei $μ$ ein linksinvariantes Haarmaß auf $G$ , dann bildet der Raum $L^{1} (G, μ)$ mit der Faltung

(f * g) (σ) = \int_{G} f (τ) g (τ^{- 1} σ) d μ (τ)

als Produkt eine Banachalgebra.

Ist $A$ ein Ring und $G$ eine totalgeordnete Gruppe, deren Ordnung kompatibel mit der Gruppenoperation ist, d. h.

aus

α < β

und

γ < δ

folgt

α γ < β δ

,

so sei

S (G, A) = {f : G \to A ∣ supp f wohlgeordnet}

mit

supp f := {g \in G ∣ f (g) \neq 0}

. Mit der Faltung als Multiplikation und der komponentenweisen Addition wird

S (G, A)

zu einem Ring. Ist

A

ein Körper, so ist

S (G, A)

ein Schiefkörper. Ist beispielsweise

G = ℤ

mit der natürlichen Ordnung, so ist

S (G, A)

der Ring der formalen Laurentreihen mit Koeffizienten in

A

.

Literatur

Serge Lang: Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Revised Third Edition (Springer, 2002, ISBN 0-387-95385-X)