Formelsammlung Tensoranalysis

Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Analysis mit Vektor- und Tensorfeldern zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen.

Allgemeines

Siehe auch

Formelsammlung Tensoralgebra

Nomenklatur

• Es wird der dreidimensionale euklidische Vektorraum 𝕍={ℝ³,+,·} mit Skalarprodukt „·“ zu Grunde gelegt.
• Operatoren wie „$\mathrm {grad}$“ werden nicht kursiv geschrieben.
• Buchstaben in der Mitte des Alphabets werden als Indizes benutzt: $i,j,k,l\in \{1,2,3\}$
• Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
  • Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in $c=a_{i}b^{i}$ wird über diesen Index von eins bis drei summiert:
    $c=a_{i}b^{i}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}b^{i}$.
  • Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in $c=A_{ij}B_{j}^{i}$ wird über diese summiert:
    $c=A_{ij}B_{j}^{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}B_{j}^{i}$.
  • Ein Index, der nur einfach vorkommt wie $i$ in $v_{i}=A_{ij}b_{j}$, ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
    $v_{i}=A_{ij}b_{j}\quad \leftrightarrow \quad v_{i}=\sum _{j=1}^{3}A_{ij}b_{j}\quad \forall \;i\in \{1,2,3\}$.
• Vektoren:
  • Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren in 𝕍.
  • Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
  • Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ĉ mit einem Hut versehen.
  • Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in ${\vec {a}}$ mit einem Pfeil versehen.
  • Standardbasis ê_1,2,3
  • Beliebige Basis ${\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2},{\vec {b}}_{3}$ mit dualer Basis ${\vec {b}}^{1},{\vec {b}}^{2},{\vec {b}}^{3}$
  • Der Vektor ${\vec {x}}=x_{i}{\hat {e}}_{i}$ wird durchgängig Ortsvektor genannt.
• Tensoren zweiter Stufe werden wie in T mit fetten Großbuchstaben notiert. Insbesondere Einheitstensor 1.
• Koordinaten:
  • #Kartesische Koordinaten $x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {R}$
  • #Zylinderkoordinaten: $\rho ,\varphi ,z$
  • #Kugelkoordinaten: $r,\vartheta ,\varphi$
  • Krummlinige Koordinaten $y_{1},y_{2},y_{3}\in \mathbb {R}$
• Konstanten: $c,{\vec {c}},\mathbf {C}$
• Zeit t ∈ ℝ
• Variablen: skalar r,s ∈ ℝ oder vektorwertig ${\vec {r}},{\vec {s}}\in \mathbb {V} ^{3}$
• Feldfunktionen abhängig von ${\vec {x}},t$ oder ${\vec {y}},t$:
  • Skalar $f,g\in \mathbb {R}$ oder vektorwertig ${\vec {f}},{\vec {g}}\in \mathbb {V} ^{3}$
  • Tensorwertig: S, T
  • Skalar-, vektor- oder tensorwertig: φ
• Operatoren:
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Spur: Sp
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Transposition: T^⊤
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Inverse: T ^-1
  • Transponierte Inverse: T ^⊤-1
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Skalarprodukt von Tensoren :, von Vektoren ·
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor × oder von Vektoren untereinander
  • Formelsammlung Tensoralgebra#Dyadisches Produkt ⊗
  • Äußeres Tensorprodukt $({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\#({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}):=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\otimes ({\vec {g}}\times {\vec {h}})$
  • Vektorinvariante ${\vec {\mathrm {i} }}({\vec {a}}\otimes {\vec {b}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}$
• Differentialoperatoren:
  • #Nabla-Operator: 𝜵
  • #Gradient: grad
  • #Divergenz: div
  • #Rotation: rot
  • #Laplace-Operator: Δ
  • Ein Index hinter einem Komma bezeichnet die Ableitung nach einer Koordinate:
    $f_{,i}:={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,,\quad f_{i,jk}={\frac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}\,,\quad f_{r,\vartheta }={\frac {\partial f_{r}}{\partial \vartheta }}$
  • Zeitableitung mit Überpunkt: ${\dot {f}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}},{\dot {\vec {f}}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {f}}}{\mathrm {d} t}},{\dot {\mathbf {T} }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {T}$
• Landau-Symbole: f = 𝓞(x): f wächst langsamer als x.
• Kontinuumsmechanik:
  • Verschiebung ${\vec {u}}=u_{i}{\hat {e}}_{i}$
  • Geschwindigkeit ${\vec {v}}=v_{i}{\hat {e}}_{i}$
  • Deformationsgradient $\mathbf {F}$
  • Räumlicher Geschwindigkeitsgradient $\mathbf {l}$
  • der Differentialoperator D/Dt und der Überpunkt steht für die substantielle Zeitableitung

Kronecker-Delta

Siehe auch: Kronecker-Delta

$\delta _{ij}=\delta ^{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta _{j}^{i}=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\text{falls}}\ i=j\\0&{\text{sonst}}\end{array}}\right.$

Permutationssymbol

Siehe auch: Permutationssymbol

$\epsilon _{ijk}={\hat {e}}_{i}\cdot ({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})={\begin{cases}1&{\text{falls}}\;(i,j,k)\in \{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\}\\-1&{\text{falls}}\;(i,j,k)\in \{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)\}\\0&{\text{sonst, d. h. bei doppeltem Index}}\end{cases}}$

Kreuzprodukt:

$a_{i}{\hat {e}}_{i}\times b_{j}{\hat {e}}_{j}=\epsilon _{ijk}a_{i}b_{j}{\hat {e}}_{k}$

$\epsilon _{ijk}{\hat {e}}_{k}={\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}$

Formelsammlung Tensoralgebra#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor:

$({\vec {a}}\times \mathbf {A} )\cdot {\vec {g}}:={\vec {a}}\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {g}})$

${\vec {b}}\cdot ({\vec {a}}\times \mathbf {A} )=({\vec {b}}\times {\vec {a}})\cdot \mathbf {A}$

${\vec {g}}\cdot (\mathbf {A} \times {\vec {a}}):=({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} )\times {\vec {a}}$

$(\mathbf {A} \times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}=\mathbf {A} \cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})$

Basisvektoren

Kartesische Koordinaten

Siehe auch: Kartesische Koordinaten

$x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {R}$

mit Basisvektoren

${\hat {e}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

die Standardbasis oder allgemeiner eine beliebige Orthonormalbasis ist.

Zylinderkoordinaten

Siehe auch: Zylinderkoordinaten

${\hat {e}}_{\rho }={\begin{pmatrix}\cos(\varphi )\\\sin(\varphi )\\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin(\varphi )\\\cos(\varphi )\\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{z}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

${\hat {e}}_{\rho ,\varphi }={\hat {e}}_{\varphi },\quad {\hat {e}}_{\varphi ,\varphi }=-{\hat {e}}_{\rho }\quad {\hat {e}}_{z,\varphi }={\vec {0}}$

Winkelgeschwindigkeit#Zylinderkoordinaten:

${\vec {\omega }}={\dot {\varphi }}{\hat {e}}_{z}\;\rightarrow \;{\dot {\hat {e}}}_{\rho /\varphi /z}={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{\rho /\varphi /z}$

Kugelkoordinaten

Siehe auch: Kugelkoordinaten

${\hat {e}}_{r}={\begin{pmatrix}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )\\\sin(\vartheta )\sin(\varphi )\\\cos(\vartheta )\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\vartheta }={\begin{pmatrix}\cos(\vartheta )\cos(\varphi )\\\cos(\vartheta )\sin(\varphi )\\-\sin(\vartheta )\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin(\varphi )\\\cos(\varphi )\\0\end{pmatrix}}$

Winkelgeschwindigkeit#Kugelkoordinaten:

${\begin{aligned}&{\vec {\omega }}={\begin{pmatrix}-{\dot {\vartheta }}\sin(\varphi )\\{\dot {\vartheta }}\cos(\varphi )\\{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}={\dot {\varphi }}\cos(\vartheta ){\hat {e}}_{r}-{\dot {\varphi }}\sin(\vartheta ){\hat {e}}_{\vartheta }+{\dot {\vartheta }}{\hat {e}}_{\varphi }\\&\rightarrow \;{\dot {\hat {e}}}_{r/\vartheta /\varphi }={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{r/\vartheta /\varphi }\end{aligned}}$

Krummlinige Koordinaten

Siehe auch: Krummlinige Koordinaten

$y_{1},y_{2},y_{3}\in \mathbb {R}$

${\vec {b}}_{i}={\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial y_{i}}},\quad {\vec {b}}^{i}=\operatorname {grad} (y_{i})={\frac {\partial y_{i}}{\partial {\vec {x}}}}\quad \rightarrow \quad {\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {b}}^{j}=\delta _{i}^{j}$

Ableitung von Skalar-, Vektor- oder Tensorfunktionen

Gâteaux-Differential

Siehe auch: Gâteaux-Differential

$\,\mathrm {D} f(x)[h]:=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}f(x+sh)\right|_{s=0}=\lim _{s\rightarrow 0}{\frac {f(x+sh)-f(x)}{s}}$

mit $s\in \mathbb {R}$, $f,x,h$ skalar-, vektor- oder tensorwertig aber $x$ und $h$ gleichartig.

Produktregel:

$\mathrm {D} (f(x)\cdot g(x))[h]=\mathrm {D} f(x)[h]\cdot g(x)+f(x)\cdot \mathrm {D} g(x)[h]$

Kettenregel:

$\mathrm {D} f{\big (}g(x){\big )}[h]=\mathrm {D} f(g)[Dg(x)[h]]$

Fréchet-Ableitung

Siehe auch: Fréchet-Ableitung

Existiert ein beschränkter linearer Operator ${\mathcal {A}}$, sodass

${\mathcal {A}}[h]={Df}(x)[h]{\quad \forall \;}h$

gilt, so wird ${\mathcal {A}}$ Fréchet-Ableitung von $f$ nach $x$ genannt. Man schreibt dann auch

${\frac {\partial f}{\partial x}}={\mathcal {A}}$.

Ableitung der Inversen eines Tensors

${\begin{aligned}{\big (}\mathbf {T} ^{-1}{\dot {{\big )}\;}}=&-\mathbf {T} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {T} }}\cdot {\mathbf {T} }^{-1}=-\left(\mathbf {T} ^{-1}\otimes \mathbf {T} ^{\top -1}\right)^{\stackrel {23}{\top }}:{\dot {\mathbf {T} }}\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} ^{-1}}{\mathrm {d} \mathbf {T} }}=&-\left(\mathbf {T} ^{-1}\otimes \mathbf {T} ^{\top -1}\right)^{\stackrel {23}{\top }}\\{\big (}\mathbf {T} ^{\top -1}{\dot {{\big )}\;}}=&-\mathbf {T} ^{\top -1}\cdot {\dot {\mathbf {T} }}\cdot {\mathbf {T} }^{\top -1}=-\left(\mathbf {T} ^{\top -1}\otimes \mathbf {T} ^{-1}\right)^{\stackrel {23}{\top }}:{\dot {\mathbf {T} }}\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} ^{\top -1}}{\mathrm {d} \mathbf {T} }}=&-\left(\mathbf {T} ^{\top -1}\otimes \mathbf {T} ^{\top -1}\right)^{\stackrel {24}{\top }}\end{aligned}}$

siehe Formelsammlung Tensoralgebra#Tensoren vierter Stufe.

Denn das #Gâteaux-Differential der Inversen lautet:

${\begin{aligned}\mathbf {T\cdot T} ^{-1}=&\mathbf {1} \;\rightarrow \quad \overbrace {\mathrm {D} \mathbf {T} (\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]} ^{\mathbf {H} }\cdot \mathbf {T} ^{-1}+\mathbf {T} \cdot \mathrm {D} \mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]=\mathbf {0} \\\rightarrow \quad \mathrm {D} \mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]=&-\mathbf {T} ^{-1}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {T} ^{-1}=-\left(\mathbf {T} ^{-1}\otimes \mathbf {T} ^{\top -1}\right)^{\stackrel {23}{\top }}:\mathbf {H} \\\mathbf {T^{\top }\cdot T} ^{\top -1}=&\mathbf {1} \;\rightarrow \quad \overbrace {\mathrm {D} \mathbf {T} ^{\top }(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]} ^{\mathbf {H} ^{\top }}\cdot \mathbf {T} ^{\top -1}+\mathbf {T} ^{\top }\cdot \mathrm {D} \mathbf {T} ^{\top -1}(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]=\mathbf {0} \\\rightarrow \quad \mathrm {D} \mathbf {T} ^{\top -1}(\mathbf {T} )[\mathbf {H} ]=&-\mathbf {T} ^{\top -1}\cdot \mathbf {H} ^{\top }\cdot \mathbf {T} ^{\top -1}=-\left(\mathbf {T} ^{\top -1}\otimes \mathbf {T} ^{\top -1}\right)^{\stackrel {24}{\top }}:\mathbf {H} \end{aligned}}$

Ableitungen nach dem Ort

Nabla-Operator

Siehe auch: Nabla-Operator

#Kartesische Koordinaten ${\vec {x}}$ :$\nabla ={\hat {e}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$

#Zylinderkoordinaten: $\nabla ={\vec {e}}_{\rho }{\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\vec {e}}_{\varphi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}$

#Kugelkoordinaten: $\nabla ={\vec {e}}_{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\vec {e}}_{\vartheta }{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{r\sin(\vartheta )}}{\vec {e}}_{\varphi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}$

#Krummlinige Koordinaten ${\vec {y}}$ :$\nabla ={\vec {b}}^{j}{\frac {\partial }{\partial y_{j}}}$    mit    ${\vec {b}}^{j}={\frac {\partial y_{j}}{\partial x_{i}}}{\hat {e}}_{i}$.

Gradient

Siehe auch: Gradient (Mathematik)

Definition des Gradienten/Allgemeines

Definierende Eigenschaft bei skalar-, vektor- oder tensorwertiger Funktion φ ist die lineare Approximation 𝓛 in einem Punkt:

$\varphi ({\vec {y}})-\varphi ({\vec {x}})={\mathcal {L}}({\vec {y}}-{\vec {x}})+{\mathcal {O}}(|{\vec {y}}-{\vec {x}}|)$ wenn ${\vec {y}}\to {\vec {x}}$

Wenn 𝓛 existiert, ist es eindeutig. Bei einer skalaren Funktion f ist grad(f) ein Vektor:

${\mathcal {L}}({\vec {y}}-{\vec {x}})=\operatorname {grad} (f)\cdot ({\vec {y}}-{\vec {x}})$

$\operatorname {grad} (f)=\nabla f=:{\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}$

Bei Vektoren oder Tensoren φ gibt es Rechtsgradienten

${\mathcal {L}}({\vec {y}}-{\vec {x}})=\operatorname {grad} (\varphi )\cdot ({\vec {y}}-{\vec {x}})$

$\mathrm {grad} ({\vec {f}})=(\nabla \otimes {\vec {f}})^{\top }=:{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial {\vec {x}}}}$

und Linksgradienten

${\mathcal {L}}({\vec {y}}-{\vec {x}})=({\vec {y}}-{\vec {x}})\cdot {\widetilde {\operatorname {grad} }}(\varphi )$

${\widetilde {\mathrm {grad} }}({\vec {f}})=\nabla \otimes {\vec {f}}$

siehe Krummlinige Koordinaten#Allgemeine krummlinige Koordinatensysteme. Hier wird die Rechtsversion verwendet.

Berechnung für skalar-, vektor- oder allgemein tensorwertige Funktion φ:

$\operatorname {grad} (\varphi )\cdot {\vec {h}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\varphi ({\vec {x}}+s{\vec {h}})\right|_{s=0}=\lim _{s\to 0}{\frac {\varphi ({\vec {x}}+s{\vec {h}})-\varphi ({\vec {x}})}{s}}\quad \forall \;{\vec {h}}\in \mathbb {V}$

Integrabilitätsbedingung: Jedes rotationsfreie Vektorfeld ist das Gradientenfeld eines Skalarpotentials:

$\operatorname {rot} ({\vec {f}})={\vec {0}}\quad \rightarrow \quad \exists g\colon {\vec {f}}=\operatorname {grad} (g)$.

Koordinatenfreie Darstellung als Volumenableitung:

• Volumen $v$ mit
• Oberfläche $a$ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement $\mathrm {d} {\vec {a}}$

$\operatorname {grad} (f)=\lim _{v\to 0}\left({\frac {1}{v}}\int _{a}f\,\mathrm {d} {\vec {a}}\right)$

$\mathrm {grad} ({\vec {x}})=\mathbf {1}$

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

$\mathrm {grad} (f)=\mathrm {div} (f\mathbf {1} )=\nabla \cdot (f\mathbf {1} )$

$\mathrm {grad} (f)\times {\vec {c}}=\mathrm {rot} (f{\vec {c}})$

$\mathrm {rot} ({\vec {f}})\times {\vec {c}}={\big (}\mathrm {grad} ({\vec {f}})-\mathrm {grad} ({\vec {f}})^{\top }{\big )}\cdot {\vec {c}}$

Nützliche Formeln für Gradienten

${\begin{aligned}\mathrm {grad} (r)=&{\frac {\vec {x}}{r}}\\\mathrm {grad} {\big (}f(r){\big )}=&{\frac {\mathrm {d} f(r)}{\mathrm {d} r}}{\frac {\vec {x}}{r}}\\\mathrm {grad} (r^{-1})=&-{\frac {\vec {x}}{r^{3}}}\end{aligned}}$

mit $r=|{\vec {x}}|$

Gradient in verschiedenen Koordinatensystemen

#Kartesische Koordinaten:

$\mathrm {grad} (f)=f_{,i}{\hat {e}}_{i}$

$\mathrm {grad} ({\vec {f}})={\vec {f}}_{,i}\otimes {\hat {e}}_{i}={\hat {e}}_{i}\otimes \mathrm {grad} (f_{i})=f_{i,j}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}$

#Zylinderkoordinaten:

$\mathrm {grad} (f)=f_{,\rho }{\hat {e}}_{\rho }+{\frac {f_{,\varphi }}{\rho }}{\hat {e}}_{\varphi }+f_{,z}{\hat {e}}_{z}$

${\begin{aligned}\mathrm {grad} ({\vec {f}})=&{\hat {e}}_{\rho }\otimes \mathrm {grad} (f_{\rho })+{\hat {e}}_{\varphi }\otimes \mathrm {grad} (f_{\varphi })+{\hat {e}}_{z}\otimes \mathrm {grad} (f_{z})\\&+{\frac {1}{\rho }}(f_{\rho }{\hat {e}}_{\varphi }-f_{\varphi }{\hat {e}}_{\rho })\otimes {\hat {e}}_{\varphi }\end{aligned}}$

#Kugelkoordinaten:

$\mathrm {grad} (f)=f_{,r}{\hat {e}}_{r}+{\frac {f_{,\vartheta }}{r}}{\hat {e}}_{\vartheta }+{\frac {f_{,\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}{\hat {e}}_{\varphi }$

${\begin{aligned}\mathrm {grad} ({\vec {f}})=&{\hat {e}}_{r}\otimes \mathrm {grad} (f_{r})+{\hat {e}}_{\vartheta }\otimes \mathrm {grad} (f_{\vartheta })+{\hat {e}}_{\varphi }\otimes \mathrm {grad} (f_{\varphi })\\&+{\frac {f_{r}}{r}}(\mathbf {1} -{\hat {e}}_{r}\otimes {\hat {e}}_{r})-{\hat {e}}_{r}\otimes {\frac {f_{\vartheta }{\hat {e}}_{\vartheta }+f_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }}{r}}+{\frac {f_{\vartheta }{\hat {e}}_{\varphi }-f_{\varphi }{\hat {e}}_{\vartheta }}{r\tan(\vartheta )}}\otimes {\hat {e}}_{\varphi }\end{aligned}}$

#Krummlinige Koordinaten:

Siehe auch: Gradient eines Vektorfeldes

Christoffelsymbole: $\Gamma _{ij}^{k}={\vec {g}}_{i,j}\cdot {\vec {g}}^{k}$

Vektorfelder:

$\mathrm {grad} ({\vec {g}}_{i})=\Gamma _{ij}^{k}{\vec {g}}_{k}\otimes {\vec {g}}^{j}$

$\mathrm {grad} ({\vec {g}}^{k})=-\Gamma _{ij}^{k}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}$

$\mathrm {grad} (f^{i}{\vec {g}}_{i})=\left.f^{i}\right|_{j}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{j}$

$\mathrm {grad} (f_{i}{\vec {g}}^{i})=\left.f_{i}\right|_{j}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}$

Mit den kovarianten Ableitungen

$\left.f^{i}\right|_{j}=f_{,j}^{i}+\Gamma _{kj}^{i}f^{k}$

$\left.f_{i}\right|_{j}=f_{i,j}-\Gamma _{ij}^{k}f_{k}$

Tensorfelder:

$\mathrm {grad} (\mathbf {T} )=\mathbf {T} _{,k}\otimes {\vec {g}}^{k}$

Für ein Tensorfeld zweiter Stufe:

${\begin{aligned}\mathrm {grad} (T^{ij}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})=&\left.T_{ij}\right|_{k}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}\otimes {\vec {g}}^{k},\quad \left.T_{ij}\right|_{k}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=T_{ij,k}-\Gamma _{ik}^{l}T_{lj}-\Gamma _{jk}^{l}T_{il}\\\mathrm {grad} (T^{ij}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})=&\left.T^{ij}\right|_{k}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\otimes {\vec {g}}^{k},\quad \left.T^{ij}\right|_{k}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=T_{,k}^{ij}+\Gamma _{lk}^{i}T^{lj}+\Gamma _{lk}^{j}T^{il}\\\mathrm {grad} (T_{i}^{.j}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}_{j})=&\left.T_{i}^{.j}\right|_{k}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\otimes {\vec {g}}^{k},\quad \left.T_{i}^{.j}\right|_{k}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=T_{i,k}^{.j}-\Gamma _{ik}^{l}T_{l}^{.j}+\Gamma _{lk}^{j}T_{i}^{.l}\\\mathrm {grad} (T_{.j}^{i}){\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{j}=&\left.T_{.j}^{i}\right|_{k}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{j}\otimes {\vec {g}}^{k},\quad \left.T_{.j}^{i}\right|_{k}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=T_{.j,k}^{i}+\Gamma _{lk}^{i}T_{.j}^{l}-\Gamma _{jk}^{l}T_{.l}^{i}\end{aligned}}$

Produktregel für Gradienten

${\begin{array}{rclcl}\mathrm {grad} (fg)&=&(f_{,i}g+fg_{,i}){\hat {e}}_{i}&=&\mathrm {grad} (f)g+f\mathrm {grad} (g)\\\mathrm {grad} (f{\vec {g}})&=&(f_{,i}{\vec {g}}+f{\vec {g}}_{,i})\otimes {\hat {e}}_{i}&=&{\vec {g}}\otimes \mathrm {grad} (f)+f\mathrm {grad} ({\vec {g}})\\\mathrm {grad} ({\vec {f}}\cdot {\vec {g}})&=&\left({\vec {f}}_{,i}\cdot {\vec {g}}+{\vec {f}}\cdot {\vec {g}}_{,i}\right){\hat {e}}_{i}&=&{\vec {g}}\cdot \mathrm {grad} ({\vec {f}})+{\vec {f}}\cdot \mathrm {grad} ({\vec {g}})\\&&&=&\mathrm {grad} ({\vec {f}})^{\top }\cdot {\vec {g}}+\mathrm {grad} ({\vec {g}})^{\top }\cdot {\vec {f}}\\\mathrm {grad} ({\vec {f}}\times {\vec {g}})&=&\left({\vec {f}}_{,i}\times {\vec {g}}+{\vec {f}}\times {\vec {g}}_{,i}\right)\otimes {\hat {e}}_{i}&=&{\vec {f}}\times \mathrm {grad} ({\vec {g}})-{\vec {g}}\times \mathrm {grad} ({\vec {f}})\end{array}}$

In drei Dimensionen ist speziell

$\mathrm {grad} ({\vec {f}}\cdot {\vec {g}})=\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {g}}+\mathrm {grad} ({\vec {g}})\cdot {\vec {f}}+{\vec {f}}\times \mathrm {rot} ({\vec {g}})+{\vec {g}}\times \mathrm {rot} ({\vec {f}})$

Beliebige Basis:

$\mathrm {grad} (f_{i}{\vec {b}}_{i})={\vec {b}}_{i}\otimes \mathrm {grad} (f_{i})+f_{i}\,\mathrm {grad} ({\vec {b}}_{i})$

Divergenz

Siehe auch: Divergenz eines Vektorfeldes

Definition der Divergenz/Allgemeines

Vektorfeld ${\vec {f}}$ :

$\mathrm {div} ({\vec {f}})=\nabla \cdot {\vec {f}}=\mathrm {Sp} {\big (}\mathrm {grad} ({\vec {f}}){\big )}$

$\mathrm {div} ({\vec {x}})=\mathrm {Sp} {\big (}\mathrm {grad} ({\vec {x}}){\big )}=\mathrm {Sp} (\mathbf {1} )=3$

Klassische Definition für ein Tensorfeld T:

$\mathrm {div} (\mathbf {T} )\cdot {\vec {c}}=\mathrm {div} \left(\mathbf {T} ^{\top }\cdot {\vec {c}}\right)\quad \forall {\vec {c}}\in \mathbb {V}$

→ $\mathrm {div} (\mathbf {T} )=\nabla \cdot \left(\mathbf {T} ^{\top }\right)$

Koordinatenfreie Darstellung:

• Volumen $v$ mit
• Oberfläche $a$ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement $\mathrm {d} {\vec {a}}$

$\mathrm {div} ({\vec {f}})=\lim _{v\to 0}\left({\frac {1}{v}}\int _{a}{\vec {f}}\;\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}\right)$

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

${\begin{array}{lcccl}\mathrm {div} ({\vec {f}})&=&\nabla \cdot {\vec {f}}&=&\mathrm {Sp(grad} ({\vec {f}}))\\\mathrm {div} (f\mathbf {1} )&=&\nabla \cdot (f\mathbf {1} )&=&\mathrm {grad} (f)\end{array}}$

Nützliche Formeln für Divergenzen

${\begin{aligned}\mathrm {div} {\big (}f(r){\vec {x}}{\big )}=&3f(r)+r{\frac {\mathrm {d} f(r)}{\mathrm {d} r}}\end{aligned}}$

mit $r=|{\vec {x}}|$

Divergenz in verschiedenen Koordinatensystemen

#Kartesische Koordinaten:

$\mathrm {div} ({\vec {f}})={\vec {f}}_{,i}\cdot {\hat {e}}_{i}=f_{i,i}$

$\mathrm {div} (\mathbf {T} )=\mathbf {T} _{,i}\cdot {\hat {e}}_{i}=T_{ij,j}{\hat {e}}_{i}$

$\nabla \cdot \mathbf {T} ={\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} _{,i}=T_{ij,i}{\hat {e}}_{j}=T_{ji,j}{\hat {e}}_{i}$

#Zylinderkoordinaten:

$\mathrm {div} ({\vec {f}})={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho f_{\rho })+{\frac {1}{\rho }}f_{\varphi ,\varphi }+f_{z,z}$

${\begin{aligned}\mathrm {div} (\mathbf {T} )=&\left(T_{\rho \rho ,\rho }+{\frac {1}{\rho }}(T_{\rho \varphi ,\varphi }+T_{\rho \rho }-T_{\varphi \varphi })+T_{\rho z,z}\right){\hat {e}}_{\rho }\\&+\left(T_{\varphi \rho ,\rho }+{\frac {1}{\rho }}(T_{\varphi \varphi ,\varphi }+T_{\rho \varphi }+T_{\varphi \rho })+T_{\varphi z,z}\right){\hat {e}}_{\varphi }\\&+\left(T_{z\rho ,\rho }+{\frac {1}{\rho }}(T_{z\varphi ,\varphi }+T_{z\rho })+T_{zz,z}\right){\hat {e}}_{z}\end{aligned}}$

$\nabla \cdot \mathbf {T} =\mathrm {div} \left(\mathbf {T} ^{\top }\right)$ ergibt sich hieraus durch Vertauschen von T_ab durch T_ba.

#Kugelkoordinaten:

${\begin{aligned}\mathrm {div} ({\vec {f}})=&f_{r,r}+{\frac {2f_{r}+f_{\vartheta ,\vartheta }}{r}}+{\frac {f_{\vartheta }\cos(\vartheta )+f_{\varphi ,\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}\\\mathrm {div} (\mathbf {T} )=&\left(T_{rr,r}+{\frac {2T_{rr}-T_{\vartheta \vartheta }-T_{\varphi \varphi }+T_{r\vartheta ,\vartheta }}{r}}+{\frac {T_{r\varphi ,\varphi }+T_{r\vartheta }\cos(\vartheta )}{r\sin(\vartheta )}}\right){\hat {e}}_{r}\\&\left(T_{\vartheta r,r}+{\frac {2T_{\vartheta r}+T_{r\vartheta }+T_{\vartheta \vartheta ,\vartheta }}{r}}+{\frac {(T_{\vartheta \vartheta }-T_{\varphi \varphi })\cos(\vartheta )+T_{\vartheta \varphi ,\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}\right){\hat {e}}_{\vartheta }\\&\left(T_{\varphi r,r}+{\frac {2T_{\varphi r}+T_{r\varphi }+T_{\varphi \vartheta ,\vartheta }}{r}}+{\frac {(T_{\vartheta \varphi }+T_{\varphi \vartheta })\cos(\vartheta )+T_{\varphi \varphi ,\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}\right){\hat {e}}_{\varphi }\end{aligned}}$

$\nabla \cdot \mathbf {T} =\mathrm {div} \left(\mathbf {T} ^{\top }\right)$ ergibt sich hieraus durch Vertauschen von T_ab durch T_ba.

Produktregel für Divergenzen

$\mathrm {div} (f{\vec {g}})=\nabla \cdot (f{\vec {g}})=\left(f_{,i}{\vec {g}}+f{\vec {g}}_{,i}\right)\cdot {\hat {e}}_{i}=\mathrm {grad} (f)\cdot {\vec {g}}+f\mathrm {div} ({\vec {g}})$

$\mathrm {div} ({\vec {f}}\times {\vec {g}})=\nabla \cdot ({\vec {f}}\times {\vec {g}})=\left({\vec {f}}_{,i}\times {\vec {g}}+{\vec {f}}\times {\vec {g}}_{,i}\right)\cdot {\hat {e}}_{i}={\vec {g}}\cdot \mathrm {rot} ({\vec {f}})-{\vec {f}}\cdot \mathrm {rot} ({\vec {g}})$

${\begin{aligned}\mathrm {div} ({\vec {f}}\otimes {\vec {g}})=&\left({\vec {f}}_{,i}\otimes {\vec {g}}+{\vec {f}}\otimes {\vec {g}}_{,i}\right)\cdot {\hat {e}}_{i}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {g}}+\mathrm {div} ({\vec {g}}){\vec {f}}\\\mathrm {div} (f\mathbf {T} )=&(f_{,i}\mathbf {T} +f\mathbf {T} _{,i})\cdot {\hat {e}}_{i}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&\mathbf {T} \cdot \mathrm {grad} (f)+f\mathrm {div} (\mathbf {T} )\\\mathrm {div} (\mathbf {T} \cdot {\vec {f}})=&\left(\mathbf {T} _{,i}\cdot {\vec {f}}+\mathbf {T} \cdot {\vec {f}}_{,i}\right)\cdot {\hat {e}}_{i}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&\mathrm {div} (\mathbf {T} ^{\top })\cdot {\vec {f}}+\mathbf {T} ^{\top }:\mathrm {grad} ({\vec {f}})\\\mathrm {div} ({\vec {f}}\times \mathbf {T} )=&({\vec {f}}_{,i}\times \mathbf {T} +{\vec {f}}\times \mathbf {T} _{,i})\cdot {\hat {e}}_{i}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&{\vec {\mathrm {i} }}\left(\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot \mathbf {T} ^{\top }\right)+{\vec {f}}\times \mathrm {div} (\mathbf {T} )\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\nabla \cdot ({\vec {f}}\otimes {\vec {g}})=&{\hat {e}}_{i}\cdot \left({\vec {f}}_{,i}\otimes {\vec {g}}+{\vec {f}}\otimes {\vec {g}}_{,i}\right)\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla \cdot {\vec {f}}){\vec {g}}+(\nabla \otimes {\vec {g}})^{\top }\cdot {\vec {f}}\\\nabla \cdot (f\mathbf {T} )=&{\hat {e}}_{i}\cdot (f_{,i}\mathbf {T} +f\mathbf {T} _{,i})\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla f)\cdot \mathbf {T} +f\nabla \cdot \mathbf {T} \\\nabla \cdot (\mathbf {T} \cdot {\vec {f}})=&{\hat {e}}_{i}\cdot \left(\mathbf {T} _{,i}\cdot {\vec {f}}+\mathbf {T} \cdot {\vec {f}}_{,i}\right)\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla \cdot \mathbf {T} )\cdot {\vec {f}}+\mathbf {T$ :(\nabla \otimes {\vec {f}})\\\nabla \cdot (\mathbf {T} \times {\vec {f}})=&{\hat {e}}_{i}\cdot (\mathbf {T} _{,i}\times {\vec {f}}+\mathbf {T} \times {\vec {f}}_{,i})\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla \cdot \mathbf {T} )\times {\vec {f}}-{\vec {\mathrm {i} }}\left((\nabla \otimes {\vec {f}})^{\top }\cdot \mathbf {T} \right)\end{aligned}}}

Beliebige Basis:

$\mathrm {div} (f_{i}{\vec {b}}_{i})=\nabla \cdot (f_{i}{\vec {b}}_{i})=\mathrm {grad} (f_{i})\cdot {\vec {b}}_{i}+f_{i}\,\mathrm {div} ({\vec {b}}_{i})$

$\mathrm {div} (T^{ij}{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j})=(\mathrm {grad} (T^{ij})\cdot {\vec {b}}_{j}){\vec {b}}_{i}+T^{ij}\,{\big (}\mathrm {grad} ({\vec {b}}_{i})\cdot {\vec {b}}_{j}+\mathrm {div} ({\vec {b}}_{j}){\vec {b}}_{i}{\big )}$

$\nabla \cdot (T^{ij}{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j})={\big (}(\nabla T^{ij})\cdot {\vec {b}}_{i}{\big )}{\vec {b}}_{j}+T^{ij}\,{\big (}(\nabla \cdot {\vec {b}}_{i}){\vec {b}}_{j}+(\nabla {\vec {b}}_{j})\cdot {\vec {b}}_{i}{\big )}$

Produkt mit Konstanten:

$\mathrm {div} (f\mathbf {C} )=\mathbf {C} \cdot \mathrm {grad} (f)\quad \rightarrow \quad \mathrm {div} (f\mathbf {1} )=\mathrm {grad} (f)$

$\nabla \cdot (f\mathbf {C} )=\mathrm {grad} (f)\cdot \mathbf {C} \quad \rightarrow \quad \nabla \cdot (f\mathbf {1} )=\nabla f$

${\begin{aligned}\mathrm {div} (\mathbf {C} \cdot {\vec {f}})=\mathbf {C} ^{\top }:\mathrm {grad} ({\vec {f}})\quad \rightarrow \quad \mathrm {div} ({\vec {f}})=&\mathrm {div} (\mathbf {1} \cdot {\vec {f}})=\mathbf {1$ :\mathrm {grad} ({\vec {f}})\\=&\mathrm {Sp} (\mathrm {grad} ({\vec {f}}))\end{aligned}}}

Rotation

Siehe auch: Rotation eines Vektorfeldes

Definition der Rotation/Allgemeines

Vektorfeld ${\vec {f}}$ :

$\mathrm {rot} ({\vec {f}})=\nabla \times {\vec {f}}$

Klassische Definition für ein Tensorfeld T:

$\mathrm {rot} (\mathbf {T} )\cdot {\vec {c}}=\mathrm {rot} \left(\mathbf {T} ^{\top }\cdot {\vec {c}}\right)\quad \forall {\vec {c}}\in \mathbb {V}$

→ $\mathrm {rot} (\mathbf {T} )=\nabla \times \left(\mathbf {T} ^{\top }\right)$

Allgemeine Identitäten:

$\mathbf {T=T} ^{\top }\quad \rightarrow \quad \mathrm {Sp{\big (}rot} (\mathbf {T} ){\big )}=\mathrm {Sp} (\nabla \times \mathbf {T} )=0$

$\mathrm {rot} ({\vec {x}})=\mathrm {rot} {\big (}f(|{\vec {x}}|){\vec {x}}{\big )}={\vec {0}}$

Integrabilitätsbedingung: Jedes divergenzfreie Vektorfeld ist die Rotation eines Vektorfeldes:

$\mathrm {div} ({\vec {f}})=0\quad \rightarrow \quad \exists {\vec {g}}\colon {\vec {f}}=\mathrm {rot} ({\vec {g}})$.

Siehe auch #Satz über rotationsfreie Felder.

Koordinatenfreie Darstellung:

• Volumen $v$ mit
• Oberfläche $a$ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement $\mathrm {d} {\vec {a}}$

$\mathrm {rot} ({\vec {f}})=-\lim _{v\rightarrow 0}\left({\frac {1}{v}}\int _{a}{\vec {f}}\times \mathrm {d} {\vec {a}}\right)$

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

${\begin{aligned}\mathrm {rot} (f{\vec {c}})=&\mathrm {grad} (f)\times {\vec {c}}\\\mathrm {rot} ({\vec {f}})=&-{\vec {\mathrm {i} }}{\big (}\mathrm {grad} ({\vec {f}}){\big )}={\vec {\mathrm {i} }}(\nabla \otimes {\vec {f}})=\nabla \times {\vec {f}}\end{aligned}}$

Rotation in verschiedenen Koordinatensystemen

#Kartesische Koordinaten:

${\begin{aligned}\mathrm {rot} ({\vec {f}})=&{\hat {e}}_{i}\times {\vec {f}}_{,i}=f_{j,i}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}=\epsilon _{ijk}f_{j,i}{\hat {e}}_{k}\\=&(f_{3,2}-f_{2,3}){\hat {e}}_{1}+(f_{1,3}-f_{3,1}){\hat {e}}_{2}+(f_{2,1}-f_{1,2}){\hat {e}}_{3}\end{aligned}}$

$\mathrm {rot} (\mathbf {T} )={\hat {e}}_{i}\times \mathbf {T} _{,i}^{\top }={\hat {e}}_{i}\times T_{lj,i}{\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{l}=\epsilon _{ijk}T_{lj,i}{\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{l}$

#Zylinderkoordinaten:

$\mathrm {rot} ({\vec {f}})={\frac {f_{z,\varphi }-\rho f_{\varphi ,z}}{\rho }}{\hat {e}}_{\rho }+(f_{\rho ,z}-f_{z,\rho }){\hat {e}}_{\varphi }+{\frac {f_{\varphi }+\rho f_{\varphi ,\rho }-f_{\rho ,\varphi }}{\rho }}{\hat {e}}_{z}$

$\mathrm {rot} (\mathbf {T} )={\hat {e}}_{\rho }\times (\mathbf {T} _{,\rho }^{\top })+{\frac {1}{\rho }}{\hat {e}}_{\varphi }\times (\mathbf {T} _{,\varphi }^{\top })+{\hat {e}}_{z}\times (\mathbf {T} _{,z}^{\top })$

$\nabla \times \mathbf {T} ={\hat {e}}_{\rho }\times \mathbf {T} _{,\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\hat {e}}_{\varphi }\times \mathbf {T} _{,\varphi }+{\hat {e}}_{z}\times \mathbf {T} _{,z}$

#Kugelkoordinaten:

${\begin{aligned}\mathrm {rot} ({\vec {f}})=&{\frac {f_{\varphi ,\vartheta }\sin(\vartheta )+f_{\varphi }\cos(\vartheta )-f_{\vartheta ,\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}{\hat {e}}_{r}+\left({\frac {f_{r,\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}-{\frac {f_{\varphi }+rf_{\varphi ,r}}{r}}\right){\hat {e}}_{\vartheta }\\&+{\frac {f_{\vartheta }+rf_{\vartheta ,r}-f_{r,\vartheta }}{r}}{\hat {e}}_{\varphi }\end{aligned}}$

$\mathrm {rot} (\mathbf {T} )={\hat {e}}_{r}\times (\mathbf {T} _{,r}^{\top })+{\frac {1}{r}}{\hat {e}}_{\vartheta }\times (\mathbf {T} _{,\vartheta }^{\top })+{\frac {1}{r\sin(\vartheta )}}{\hat {e}}_{\varphi }\times (\mathbf {T} _{,\varphi }^{\top })$

$\nabla \times \mathbf {T} ={\hat {e}}_{r}\times \mathbf {T} _{,r}+{\frac {1}{r}}{\hat {e}}_{\vartheta }\times \mathbf {T} _{,\vartheta }+{\frac {1}{r\sin(\vartheta )}}{\hat {e}}_{\varphi }\times \mathbf {T} _{,\varphi }$

Produktregel für Rotationen

${\begin{aligned}\mathrm {rot} (f{\vec {g}})=&{\hat {e}}_{i}\times (f_{,i}{\vec {g}}+f{\vec {g}}_{,i})=\mathrm {grad} (f)\times {\vec {g}}+f\mathrm {rot} ({\vec {g}})\\\mathrm {rot} ({\vec {f}}\times {\vec {g}})=&{\hat {e}}_{i}\times \left({\vec {f}}_{,i}\times {\vec {g}}+{\vec {f}}\times {\vec {g}}_{,i}\right)\\=&({\hat {e}}_{i}\cdot {\vec {g}}){\vec {f}}_{,i}-\left({\hat {e}}_{i}\cdot {\vec {f}}_{,i}\right){\vec {g}}+\left({\hat {e}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{,i}\right){\vec {f}}-({\hat {e}}_{i}\cdot {\vec {f}}){\vec {g}}_{,i}\\=&\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {g}}-\mathrm {div} ({\vec {f}}){\vec {g}}+\mathrm {div} ({\vec {g}}){\vec {f}}-\mathrm {grad} ({\vec {g}})\cdot {\vec {f}}\\=&\mathrm {div} ({\vec {f}}\otimes {\vec {g}})-\mathrm {div} ({\vec {g}}\otimes {\vec {f}})=\nabla \cdot ({\vec {g}}\otimes {\vec {f}})-\nabla \cdot ({\vec {f}}\otimes {\vec {g}})\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {rot} ({\vec {f}}\otimes {\vec {g}})=&{\hat {e}}_{i}\times \left({\vec {g}}_{,i}\otimes {\vec {f}}+{\vec {g}}\otimes {\vec {f}}_{,i}\right)\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&\mathrm {rot} ({\vec {g}})\otimes {\vec {f}}-{\vec {g}}\times \mathrm {grad} ({\vec {f}})^{\top }\\\mathrm {rot} (f\mathbf {T} )=&{\hat {e}}_{k}\times (f_{,k}\mathbf {T} ^{\top }+f\mathbf {T} _{,k}^{\top })\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&\mathrm {grad} (f)\times (\mathbf {T} ^{\top })+f\mathrm {rot} (\mathbf {T} )\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {rot} (\mathbf {T} \cdot {\vec {f}})=&{\hat {e}}_{k}\times {\big (}\mathbf {T} _{,k}\cdot {\vec {f}}+\mathbf {T} \cdot {\vec {f}}_{,k}{\big )}\\=&\mathrm {rot} (\mathbf {T} ^{\top })\cdot {\vec {f}}+{\vec {\mathrm {i} }}\left({\hat {e}}_{k}\otimes \mathbf {T} \cdot {\vec {f}}_{,k}\right)\\=&\mathrm {rot} (\mathbf {T} ^{\top })\cdot {\vec {f}}-{\vec {\mathrm {i} }}\left(\mathbf {T} \cdot \mathrm {grad} ({\vec {f}})\right)\\\mathrm {rot} ({\vec {f}}\times \mathbf {T} )=&-\mathrm {rot} \left((\mathbf {T} ^{\top }\times {\vec {f}})^{\top }\right)\\=&-\nabla \times \left(\mathbf {T} ^{\top }\times {\vec {f}}\right)\\=&-(\nabla \times \mathbf {T} ^{\top })\times {\vec {f}}+\mathbf {T} ^{\top }\#(\nabla \otimes {\vec {f}})\\=&-\mathrm {rot} (\mathbf {T} )\times {\vec {f}}+\left(\mathbf {T} \#\mathrm {grad} ({\vec {f}})\right)^{\top }\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\nabla \times ({\vec {f}}\otimes {\vec {g}})=&{\hat {e}}_{i}\times \left({\vec {f}}_{,i}\otimes {\vec {g}}+{\vec {f}}\otimes {\vec {g}}_{,i}\right)\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla \times {\vec {f}})\otimes {\vec {g}}-{\vec {f}}\times (\nabla \otimes ({\vec {g}})\\\nabla \times (f\mathbf {T} )=&{\hat {e}}_{k}\times (f_{,k}\mathbf {T} +f\mathbf {T} _{,k})\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\nabla f)\times \mathbf {T} +f\nabla \times \mathbf {T} \end{aligned}}$

${\begin{aligned}\nabla \times (\mathbf {T} \cdot {\vec {f}})=&{\hat {e}}_{k}\times (\mathbf {T} _{,k}\cdot {\vec {f}}+\mathbf {T} \cdot {\vec {f}}_{,k})\\=&(\nabla \times \mathbf {T} )\cdot {\vec {f}}+{\vec {\mathrm {i} }}\left({\hat {e}}_{k}\otimes \mathbf {T} \cdot {\vec {f}}_{,k}\right)\\=&(\nabla \times \mathbf {T} )\cdot {\vec {f}}-{\vec {\mathrm {i} }}{\big (}\mathbf {T} \cdot (\nabla \otimes {\vec {f}})^{\top }{\big )}\\\nabla \times (\mathbf {T} \times {\vec {f}})=&{\hat {e}}_{k}\times (\mathbf {T} _{,k}\times {\vec {f}}+(\mathbf {T} \cdot {\hat {e}}_{i})\otimes {\hat {e}}_{i}\times {\vec {f}}_{,k})\\=&(\nabla \times \mathbf {T} )\times {\vec {f}}-(\mathbf {T} \cdot {\hat {e}}_{i})\times {\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{i}\times {\vec {f}}_{,k}\\=&(\nabla \times \mathbf {T} )\times {\vec {f}}-\mathbf {T} \#(\nabla \otimes {\vec {f}})\end{aligned}}$

Beliebige Basis:

$\mathrm {rot} (f^{i}{\vec {b}}_{i})=\mathrm {grad} (f^{i})\times {\vec {b}}_{i}+f^{i}\,\mathrm {rot} ({\vec {b}}_{i})$

Produkt mit Konstanten:

${\begin{array}{rcl}\mathrm {rot} (\mathbf {C} \cdot {\vec {f}})&=&-{\vec {\mathrm {i} }}\left(\mathbf {C} \cdot \mathrm {grad} ({\vec {f}})\right)\\&&\rightarrow \quad \mathrm {rot} ({\vec {f}})=\mathrm {rot} (\mathbf {1} \cdot {\vec {f}})=-{\vec {\mathrm {i} }}\left(\mathrm {grad} ({\vec {f}})\right)\\\mathrm {rot} ({\vec {f}}\times \mathbf {1} )&=&\mathbf {1} \#\mathrm {grad} ({\vec {f}})^{\top }=\mathrm {div} ({\vec {f}})\mathbf {1} -\mathrm {grad} ({\vec {f}})\end{array}}$

In divergenzfreien Feldern ist also: $\mathrm {rot} ({\vec {f}}\times \mathbf {1} )=-\mathrm {grad} ({\vec {f}})$

Laplace-Operator

Siehe auch: Laplace-Operator

Definition des Laplace Operators/Allgemeines

Für Skalarfelder:

${\displaystyle \Delta$ :=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}

$\Delta =\sum _{i,j}g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}$

mit

$g^{ij}$ der metrische Tensor der Riemannschen Mannigfaltigkeit,

∇_i die kovariante Ableitung

Zusammenhang mit anderen Differentialoperatoren:

$\Delta f=\mathrm {div{\big (}grad} (f){\big )}=\nabla \cdot (\nabla f)$

„Vektorieller Laplace-Operator“ in 3D:

$\Delta {\vec {f}}=\mathrm {div{\big (}grad} ({\vec {f}}){\big )}=\mathrm {grad{\big (}div} ({\vec {f}}){\big )}-\mathrm {rot{\big (}rot} ({\vec {f}}){\big )}$

$\Delta ({\vec {x}})={\vec {0}}$

Für Tensorfelder

$\Delta (\mathbf {T} )\cdot {\vec {c}}=\Delta (\mathbf {T} \cdot {\vec {c}})\quad \forall {\vec {c}}\in \mathbb {V}$

$\Delta \mathbf {T} =\mathrm {grad{\big (}div} (\mathbf {T} ^{\top }){\big )}^{\top }-\mathrm {rot{\big (}rot} (\mathbf {T} ^{\top })^{\top }{\big )}$

Nützliche Formeln für den Laplace-Operator

${\begin{aligned}\Delta r=&{\frac {2}{r}}\\\Delta f(r)=&{\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}{\big (}r\,f(r){\big )}\\\Delta (r^{-1})=&0\qquad (r\neq 0)\\\Delta {\big (}f(r){\vec {x}}{\big )}=&{\vec {x}}\Delta f(r)+2\,\mathrm {grad} f(r)\end{aligned}}$

mit $r=|{\vec {x}}|$

Laplace-Operator in verschiedenen Koordinatensystemen

#Kartesische Koordinaten:

${\begin{aligned}\Delta f=&f_{,kk}\\\Delta {\vec {f}}=&\Delta f_{i}{\hat {e}}_{i}=f_{i,kk}{\hat {e}}_{i}\\\Delta \mathbf {T} =&\Delta T_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}=T_{ij,kk}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\end{aligned}}$

#Zylinderkoordinaten:

${\begin{aligned}\Delta f=&{\frac {f_{,\rho }}{\rho }}+f_{,\rho \rho }+{\frac {f_{,\varphi \varphi }}{\rho ^{2}}}+f_{,zz}\\\Delta {\vec {f}}=&\left(\Delta f_{\rho }-{\frac {2f_{\varphi ,\varphi }+f_{\rho }}{\rho ^{2}}}\right){\hat {e}}_{\rho }+\left(\Delta f_{\varphi }+{\frac {2f_{\rho ,\varphi }-f_{\varphi }}{\rho ^{2}}}\right){\hat {e}}_{\varphi }+\Delta f_{z}{\hat {e}}_{z}\end{aligned}}$

#Kugelkoordinaten:

${\begin{aligned}\Delta f=&{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin(\vartheta )}}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\left(\sin(\vartheta )\,{\frac {\partial f}{\partial \vartheta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}\\=&{\frac {2f_{,r}}{r}}+f_{,rr}+{\frac {f_{,\vartheta }\cos(\vartheta )+f_{,\vartheta \vartheta }\sin(\vartheta )}{r^{2}\sin(\vartheta )}}+{\frac {f_{,\varphi \varphi }}{r^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}}\\\Delta {\vec {f}}=&\left(\Delta f_{r}-{\frac {2}{r^{2}}}(f_{r}+f_{\vartheta ,\vartheta })-2{\frac {f_{\varphi ,\varphi }+f_{\vartheta }\cos(\vartheta )}{r^{2}\sin(\vartheta )}}\right){\hat {e}}_{r}\\&+\left(\Delta f_{\vartheta }+{\frac {2f_{r,\vartheta }}{r^{2}}}-{\frac {f_{\vartheta }+2f_{\varphi ,\varphi }\cos(\vartheta )}{r^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}}\right){\hat {e}}_{\vartheta }\\&+\left(\Delta f_{\varphi }-{\frac {f_{\varphi }-2f_{\vartheta ,\varphi }\cos(\vartheta )-2f_{r,\varphi }\sin(\vartheta )}{r^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}}\right){\hat {e}}_{\varphi }\end{aligned}}$

Produktregel für den Laplace-Operator

${\begin{aligned}\Delta (f\cdot g)=&g\Delta f+f\Delta g+2\,\mathrm {grad} (f)\cdot \mathrm {grad} (g)\\\Delta (f{\vec {g}})=&{\vec {g}}\Delta (f)+f\Delta {\vec {g}}+2\,\mathrm {grad} ({\vec {g}})\cdot \mathrm {grad} (f)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\Delta (f\,\mathbf {T} )=&\mathbf {T} \,\Delta f+f\,\Delta \mathbf {T} +\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} y_{i}}}\otimes {\vec {b}}^{i}\right)\cdot \mathrm {grad} (f)\end{aligned}}$

Verknüpfungen

Wegen der in der Literatur teilweise abweichenden Definitionen der Differentialoperatoren kann es in der Literatur zu abweichenden Formeln kommen. Wenn die Definitionen der Literatur hier eingesetzt werden, gehen die hiesigen Formeln in die der Literatur über.

${\begin{array}{rclcl}\mathrm {div(rot} ({\vec {f}}))&=&\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {f}})&=&0\\\mathrm {rot(grad} (f))&=&\nabla \times \nabla f&=&{\vec {0}}\\\mathrm {div(grad} (f)\times \mathrm {grad} (g))&=&\nabla \cdot (\nabla f\times \nabla g)=\nabla g\cdot (\nabla \times \nabla f)&=&0\\\mathrm {rot{\big (}grad} ({\vec {f}}){\big )}&=&\nabla \times (\nabla \otimes {\vec {f}})&=&\mathbf {0} \\\mathrm {div{\big (}rot} (\mathbf {T} )^{\top }{\big )}&=&\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {T} )&=&{\vec {0}}\end{array}}$

${\begin{array}{rclcl}\mathrm {div{\big (}grad} (f){\big )}&=&\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f&=&\Delta f\end{array}}$

${\begin{array}{rclcl}\mathrm {div{\big (}grad} ({\vec {f}})^{\top }{\big )}&=&\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {f}}^{\top })=f_{i,ij}{\hat {e}}_{j}&=&\mathrm {grad{\big (}div} ({\vec {f}}){\big )}\\\mathrm {rot{\big (}grad} ({\vec {f}})^{\top }{\big )}&=&\nabla \times {\big (}(\nabla \otimes {\vec {f}})^{\top }{\big )}=\nabla \times {\big (}{\vec {f}}_{,i}\otimes {\hat {e}}_{i}{\big )}&=&\mathrm {grad{\big (}rot} ({\vec {f}}){\big )}\end{array}}$

${\begin{array}{rclcl}\mathrm {rot{\big (}rot} ({\vec {f}}){\big )}&=&\nabla \times (\nabla \times {\vec {f}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {f}})-\Delta {\vec {f}}&=&\mathrm {grad(div} ({\vec {f}}))-\Delta {\vec {f}}\end{array}}$

Bei symmetrischem T = T^⊤ gilt:

${\begin{array}{rcl}\mathrm {rot{\big (}rot} (\mathbf {T} ){\big )}&=&-\Delta \mathbf {T} -\mathrm {grad{\big (}grad(Sp} (\mathbf {T} )){\big )}+\mathrm {grad{\big (}div} (\mathbf {T} ){\big )}+\mathrm {grad{\big (}div} (\mathbf {T} ){\big )}^{\top }\\&&+\left[\Delta \mathrm {Sp} (\mathbf {T} )-\mathrm {div{\big (}div} (\mathbf {T} ){\big )}\right]\mathbf {1} \end{array}}$

Wenn zusätzlich $\mathbf {T} =\mathbf {T} ^{\top }=\mathbf {G} -\mathrm {Sp} (\mathbf {G} )\mathbf {1}$ dann ist:

$\mathrm {rot{\big (}rot} (\mathbf {T} ){\big )}=-\Delta \mathbf {G} +\mathrm {grad{\big (}div} (\mathbf {G} ){\big )}+\mathrm {grad{\big (}div} (\mathbf {G} ){\big )}^{\top }-\mathrm {div{\big (}div} (\mathbf {G} ){\big )}\mathbf {1}$

Grassmann-Entwicklung

${\begin{aligned}{\vec {f}}\times \mathrm {rot} ({\vec {f}})=&{\frac {1}{2}}\mathrm {grad} ({\vec {f}}\cdot {\vec {f}})-\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {f}}\\=&{\big (}\mathrm {grad} ({\vec {f}})^{\top }-\mathrm {grad} ({\vec {f}}){\big )}\cdot {\vec {f}}={\vec {\mathrm {i} }}{\big (}\mathrm {grad} ({\vec {f}}){\big )}\times {\vec {f}}\end{aligned}}$

Sätze über Gradient, Divergenz und Rotation

Ein Vektorfeld, dessen Divergenz und Rotation verschwindet, ist harmonisch:

$\operatorname {div} ({\vec {f}})=0\;{\text{und}}\;\mathrm {rot} ({\vec {f}})={\vec {0}}\quad \rightarrow \quad \Delta {\vec {f}}={\vec {0}}$

siehe #Vektorieller Laplace-Operator.

Helmholtz-Theorem

Siehe auch: Helmholtz-Theorem

Jedes Vektorfeld lässt sich eindeutig in einen divergenzfreien und einen rotationsfreien Anteil zerlegen. Den Integrabilitätsbedingungen für Rotationen und Gradienten zufolge ist der erste Anteil ein Rotationsfeld und der zweite ein Gradientenfeld.
${\begin{array}{rclccl}{\vec {f}}={\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}:&&&\mathrm {div} ({\vec {f}}_{1})=0&{\text{und}}&\operatorname {rot} ({\vec {f}}_{2})={\vec {0}}\\\leftrightarrow \exists g,{\vec {g}}:&&{\vec {f}}=&\operatorname {rot} ({\vec {g}})&+&\mathrm {grad} (g)\end{array}}$

Satz über rotationsfreie Felder

Siehe auch: Poincaré-Lemma

${\begin{array}{rrcll}{\textsf {I}}:&\mathrm {rot} ({\vec {u}}):={\hat {e}}_{k}\times {\vec {u}}_{,k}={\vec {0}}&\rightarrow &\exists f\colon &{\vec {u}}=\mathrm {grad} (f)\\{\textsf {II}}:&\mathrm {rot} (\mathbf {T} )=\mathbf {0} &\rightarrow &\exists {\vec {u}}\colon &\mathbf {T} =\mathrm {grad} ({\vec {u}})\\{\textsf {III}}:&\mathrm {rot} (\mathbf {T} )=\mathbf {0} \;{\text{und}}\;\mathrm {Sp} (\mathbf {T} )=0&\rightarrow &\exists \mathbf {W} \colon &\mathbf {T} =\mathrm {rot} (\mathbf {W} )\;{\text{und}}\;\mathbf {W} =-\mathbf {W} ^{\top }\end{array}}$

oder

${\begin{array}{rrcll}{\textsf {II}}:&\nabla \times (\mathbf {T} ^{\top })=\mathbf {0} &\rightarrow &\exists {\vec {u}}\colon &\mathbf {T} =\mathrm {grad} ({\vec {u}})\\{\textsf {III}}:&\nabla \times (\mathbf {T} ^{\top })=\mathbf {0} \;{\text{und}}\;\mathrm {Sp} (\mathbf {T} )=0&\rightarrow &\exists \mathbf {W} \colon &\mathbf {T} =\mathrm {rot} (\mathbf {W} )\;{\text{und}}\;\mathbf {W} =-\mathbf {W} ^{\top }\end{array}}$

Gaußscher Integralsatz

Siehe auch: Gaußscher Integralsatz

• Volumen $v$ mit Volumenform $\mathrm {d} v$ und
• Oberfläche $a$ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement $\mathrm {d} {\vec {a}}$
• Ortsvektoren ${\vec {x}}\in v$
• Skalar-, vektor- oder tensorwertige Funktion $f,{\vec {f}},\mathbf {T}$ des Ortes ${\vec {x}}$ :

${\begin{array}{rcl}\int _{v}\mathrm {grad} (f)\,\mathrm {d} v&=&\int _{a}f\,\mathrm {d} {\vec {a}}\\\int _{v}\mathrm {grad} ({\vec {f}})\,\mathrm {d} v&=&\int _{a}{\vec {f}}\otimes \mathrm {d} {\vec {a}}\\\int _{v}\mathrm {div} ({\vec {f}})\,\mathrm {d} v&=&\int _{a}{\vec {f}}\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}\\\int _{v}\mathrm {rot} ({\vec {f}})\,\mathrm {d} v&=&-\int _{a}{\vec {f}}\times \mathrm {d} {\vec {a}}\\\int _{v}\mathrm {div} (\mathbf {T} )\,\mathrm {d} v&=&\int _{a}\mathbf {T} \cdot \mathrm {d} {\vec {a}}\\\int _{v}\nabla \cdot \mathbf {T} \,\mathrm {d} v&=&\int _{a}\mathbf {T} ^{\top }\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}\end{array}}$

Mit der #Produktregel für Gradienten, #Produktregel für Divergenzen und #Produktregel für Rotationen können Formeln für die partielle Integration im Mehrdimensionalen abgeleitet werden, beispielsweise:

${\begin{aligned}\mathrm {grad} (fg)=&\mathrm {grad} (f)g+f\mathrm {grad} (g)\\\rightarrow \int _{v}\mathrm {grad} (f)g\,\mathrm {d} v=&\int _{a}fg\,\mathrm {d} {\vec {a}}-\int _{v}f\mathrm {grad} (g)\,\mathrm {d} v\end{aligned}}$

Klassischer Integralsatz von Stokes

Siehe auch: Satz von Stokes

Gegeben:

• Fläche $a$ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement $\mathrm {d} {\vec {a}}$
• Berandungskurve $b$ der Fläche $a$ mit Linienelement $\mathrm {d} {\vec {b}}$
• Ortsvektoren ${\vec {x}}\in a$

Vektorwertige Funktion ${\vec {f}}({\vec {x}},t)$ :

$\int _{a}\mathrm {rot} ({\vec {f}})\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}=\oint _{b}{\vec {f}}\cdot \mathrm {d} {\vec {b}}$

Mit der #Produktregel für Rotationen können Formeln für die partielle Integration im Mehrdimensionalen abgeleitet werden, beispielsweise:

${\begin{aligned}\mathrm {rot} (f{\vec {g}})=&\mathrm {grad} (f)\times {\vec {g}}+f\mathrm {rot} ({\vec {g}})\\\rightarrow \int _{a}{\big (}\mathrm {grad} (f)\times {\vec {g}}{\big )}\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}=&\oint _{b}f{\vec {g}}\cdot \mathrm {d} {\vec {b}}-\int _{a}f\mathrm {rot} ({\vec {g}})\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}\end{aligned}}$

Reynoldscher Transportsatz

Siehe auch: Reynolds’scher Transportsatz

Gegeben:

• Zeit $t$
• Zeitabhängiges Volumen $v$ mit Volumenform $\mathrm {d} v$ mit
• Oberfläche des Volumes $a$ und äußerem vektoriellem Oberflächenelement $\mathrm {d} {\vec {a}}$
• Ortsvektoren ${\vec {x}}\in v$
• Geschwindigkeitsfeld:${\vec {v}}({\vec {x}},t)$
• Eine skalare oder vektorwertige Dichtefunktion pro Volumeneinheit $f({\vec {x}},t)$, die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.
• Die Integrale Größe für das Volumen:$\int _{v}{\vec {f}}({\vec {x}},t)\,\mathrm {d} v$

Skalare Funktion $f({\vec {x}},t)$ :

${\begin{array}{rcl}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{v}f\,\mathrm {d} v&=&\int _{v}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,\mathrm {d} v+\int _{a}f({\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {a}})=\int _{v}\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathrm {div} (f{\vec {v}})\right)\,\mathrm {d} v\\&=&\int _{v}\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathrm {grad} (f)\cdot {\vec {v}}+\mathrm {div} ({\vec {v}})\,f\right)\,\mathrm {d} v=\int _{v}\left({\dot {f}}+\mathrm {div} ({\vec {v}})\,f\right)\,\mathrm {d} v\end{array}}$

Vektorwertige Funktion ${\vec {f}}({\vec {x}},t)$ :

${\begin{array}{rcl}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{v}{\vec {f}}\,\mathrm {d} v&=&\int _{v}{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} v+\int _{a}{\vec {f}}({\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {a}})=\int _{v}\left({\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial t}}+\mathrm {div} ({\vec {v}}\otimes {\vec {f}})\right)\,\mathrm {d} v\\&=&\int _{v}\left({\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial t}}+\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {v}}+\mathrm {div} ({\vec {v}}){\vec {f}}\right)\,\mathrm {d} v=\int _{v}({\dot {\vec {f}}}+\mathrm {div} ({\vec {v}}){\vec {f}})\,\mathrm {d} v\end{array}}$

Transportsatz für Flächenintegrale

Gegeben:

• Zeit $t$
• Ortsvektoren ${\vec {x}}\in v$
• Geschwindigkeitsfeld:${\vec {v}}({\vec {x}},t)$
• Zeitabhängige Fläche $a\colon [0,1]^{2}\mapsto v$, die mit dem Geschwindigkeitsfeld transportiert wird und auf der mit räumlichem, vektoriellem Oberflächenelement $\mathrm {d} {\vec {a}}$ im Volumen v integriert wird
• Eine skalare oder vektorwertige Feldgröße $f({\vec {x}},t)$, die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.
• Die Integrale Größe auf der Fläche:$\int _{a}f({\vec {x}},t)\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}$

Skalare Funktion $f({\vec {x}},t)$ :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{a}f\,\mathrm {d} {\vec {a}}=\int _{a}[{\dot {f}}\mathbf {1} +f\operatorname {div} ({\vec {v}})\mathbf {1} -f\operatorname {grad} ({\vec {v}})^{\top }]\cdot \,\mathrm {d} {\vec {a}}$

Vektorwertige Funktion ${\vec {f}}({\vec {x}},t)$:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{a}{\vec {f}}\cdot \,\mathrm {d} {\vec {a}}=\int _{a}[{\dot {\vec {f}}}+{\vec {f}}\operatorname {div} ({\vec {v}})-\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {f}}]\cdot \,\mathrm {d} {\vec {a}}$

Transportsatz für Kurvenintegrale

Gegeben:

• Zeit $t$
• Ortsvektoren ${\vec {x}}\in v$
• Geschwindigkeitsfeld:${\vec {v}}({\vec {x}},t)$
• Zeitabhängige Kurve $b\colon [0,1)\mapsto v$, die mit dem Geschwindigkeitsfeld transportiert wird und entlang derer mit räumlichem, vektoriellem Linienelement $\mathrm {d} {\vec {b}}$ im Volumen v integriert wird
• Eine skalare oder vektorwertige Feldgröße $f({\vec {x}},t)$, die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.
• Die Integrale Größe entlang des Weges:$\int _{b}f({\vec {x}},t)\cdot \mathrm {d} {\vec {b}}$

Skalare Funktion $f({\vec {x}},t)$ :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\oint _{b}f\,\mathrm {d} {\vec {b}}=\oint _{b}({\dot {f}}\mathbf {1} +f\,\mathrm {grad} {\vec {v}})\cdot \mathrm {d} {\vec {b}}$

Vektorwertige Funktion ${\vec {f}}({\vec {x}},t)$:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\oint _{b}{\vec {f}}\cdot \mathrm {d} {\vec {b}}=\oint _{b}({\dot {\vec {f}}}+{\vec {f}}\cdot \mathrm {grad} {\vec {v}})\cdot \mathrm {d} {\vec {b}}$

Kontinuumsmechanik

Kleine Deformationen

Ingenieursdehnungen:

${\boldsymbol {\varepsilon }}=\varepsilon _{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}={\frac {1}{2}}(u_{i,j}+u_{j,i}){\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}$

Kompatibilitätsbedingungen:

${\begin{array}{rcl}\mathrm {rot{\big (}rot} ({\boldsymbol {\varepsilon }}){\big )}=\nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {\varepsilon }})^{\top }&=&\mathbf {0} \\&\downarrow &\\2\varepsilon _{12,12}-\varepsilon _{22,11}-\varepsilon _{11,22}&=&0\\2\varepsilon _{13,13}-\varepsilon _{33,11}-\varepsilon _{11,33}&=&0\\2\varepsilon _{23,23}-\varepsilon _{33,22}-\varepsilon _{22,33}&=&0\\\varepsilon _{11,23}+\varepsilon _{23,11}-\varepsilon _{12,13}-\varepsilon _{13,12}&=&0\\\varepsilon _{22,13}+\varepsilon _{13,22}-\varepsilon _{12,23}-\varepsilon _{23,12}&=&0\\\varepsilon _{12,33}+\varepsilon _{33,12}-\varepsilon _{13,23}-\varepsilon _{23,13}&=&0\end{array}}$

Starrkörperbewegung

Orthogonaler Tensor $\mathbf {Q}$ beschreibt die Drehung.

$\mathbf {\Omega$ :={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }={(\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}^{\top })}^{\top }=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}^{\top }}

Vektorinvariante oder dualer axialer Vektor ${\vec {\omega }}$ des schiefsymmetrischen Tensors $\mathbf {\Omega }$ ist die Winkelgeschwindigkeit:

$\mathbf {\Omega } \cdot {\vec {r}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}{\quad \forall \;}{\vec {r}}$

Starrkörperbewegung mit ${\vec {r}}=\mathrm {const.}$ :

${\vec {x}}={\vec {f}}+\mathbf {Q} \cdot {\vec {r}}\quad \rightarrow \quad {\vec {r}}=\mathbf {Q} ^{\top }\cdot ({\vec {x}}-{\vec {f}})$

${\vec {v}}={\dot {\vec {f}}}+{\dot {\mathbf {Q} }}\cdot {\vec {r}}={\dot {\vec {f}}}+{\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }\cdot ({\vec {x}}-{\vec {f}})={\dot {\vec {f}}}+\mathbf {\Omega } \cdot ({\vec {x}}-{\vec {f}})={\dot {\vec {f}}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {x}}-{\vec {f}})$

Ableitungen der Invarianten

${\frac {\partial \mathrm {I} _{1}(\mathbf {T} )}{\partial \mathbf {T} }}={\frac {\partial \mathrm {Sp} (\mathbf {T} )}{\partial \mathbf {T} }}=\mathbf {1}$

${\frac {\partial \mathrm {I} _{2}(\mathbf {T} )}{\partial \mathbf {T} }}=\mathrm {I} _{1}(\mathbf {T} )\mathbf {1} -\mathbf {T} ^{\top }$

${\frac {\partial \mathrm {I} _{3}(\mathbf {T} )}{\partial \mathbf {T} }}={\frac {\partial \mathrm {det} (\mathbf {T} )}{\partial \mathbf {T} }}=\mathrm {det} (\mathbf {T} )\mathbf {T} ^{\top -1}=\mathrm {cof} (\mathbf {T} )=\mathbf {T^{\top }\cdot T^{\top }} -\mathrm {I} _{1}(\mathbf {T} )\mathbf {T} ^{\top }+\mathrm {I} _{2}(\mathbf {T} )\mathbf {1}$

mit der transponiert inversen T^⊤-1 und dem Kofaktor cof(T) des Tensors T.

Funktion $f$ der Invarianten:

${\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {T} }}(\mathrm {I} _{1}(\mathbf {T} ),\,\mathrm {I} _{2}(\mathbf {T} ),\,\mathrm {I} _{3}(\mathbf {T} ))=&\left({\frac {\partial f}{\partial \mathrm {I} _{1}}}+\mathrm {I} _{1}{\frac {\partial f}{\partial \mathrm {I} _{2}}}+\mathrm {I} _{2}{\frac {\partial f}{\partial \mathrm {I} _{3}}}\right)\mathbf {1} -\left({\frac {\partial f}{\partial \mathrm {I} _{2}}}+\mathrm {I} _{1}{\frac {\partial f}{\partial \mathrm {I} _{3}}}\right)\mathbf {T} ^{\top }\\&+{\frac {\partial f}{\partial \mathrm {I} _{3}}}\mathbf {T} ^{\top }\cdot \mathbf {T} ^{\top }\end{aligned}}$

Ableitung der Frobenius-Norm:

${\frac {\partial \parallel \mathbf {T} \parallel }{\partial \mathbf {T} }}={\frac {\mathbf {T} }{\parallel \mathbf {T} \parallel }}$

Eigenwerte (aus der impliziten Ableitung des charakteristischen Polynoms):

$\mathbf {T} \cdot {\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}\quad \rightarrow \quad \mathrm {det} (\mathbf {T} -\lambda \mathbf {1} )=-\lambda ^{3}+\mathrm {I} _{1}\lambda ^{2}-\mathrm {I} _{2}\lambda +\mathrm {I} _{3}=0$

→ ${\dfrac {\mathrm {d} \lambda }{\mathrm {d} \mathbf {T} }}={\dfrac {(\lambda ^{2}-\lambda \mathrm {I} _{1}+\mathrm {I} _{2})\mathbf {1} +(\lambda -\mathrm {I} _{1})\mathbf {T} ^{\top }+\mathbf {T^{\top }\cdot T^{\top }} }{3\lambda ^{2}-2\mathrm {I} _{1}\lambda +\mathrm {I} _{2}}}$

Eigenwerte symmetrischer Tensoren:

$\mathbf {T} \cdot {\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}\quad \rightarrow \quad {\frac {\partial \lambda }{\partial \mathbf {T} }}={\vec {v}}\otimes {\vec {v}}$

Eigenwerte von $\mathbf {T} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\,{\vec {v}}_{i}\otimes {\vec {v}}^{i}$, wo ${\vec {v}}^{i}$ dual zu den Eigenvektoren ${\vec {v}}_{i}$ sind $({\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {v}}^{j}=\delta _{i}^{j})$:

${\frac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {T} }}={\vec {v}}^{i}\otimes {\vec {v}}_{i}$ (keine Summe)

Die Eigenwerte von $\mathbf {T} =c\,{\vec {v}}_{1}\otimes {\vec {v}}^{1}+a({\vec {v}}_{2}\otimes {\vec {v}}^{2}+{\vec {v}}_{3}\otimes {\vec {v}}^{3})+b({\vec {v}}_{2}\otimes {\vec {v}}^{3}-{\vec {v}}_{3}\otimes {\vec {v}}^{2})$ sind $\lambda _{1}=c,\,\lambda _{2}=a+\mathrm {i} b,\,\lambda _{3}=a-\mathrm {i} b$ mit den Eigenvektoren ${\vec {v}}_{1},\,{\vec {w}}_{2}={\vec {v}}_{2}+\mathrm {i} {\vec {v}}_{3},\,{\vec {w}}_{3}={\vec {v}}_{2}-\mathrm {i} {\vec {v}}_{3}$. Hier ist:

${\frac {\partial \lambda _{1}}{\partial \mathbf {T} }}={\vec {v}}^{1}\otimes {\vec {v}}_{1},\quad {\frac {\partial \lambda _{k}}{\partial \mathbf {T} }}={\frac {1}{2}}{\overline {{\vec {w}}^{k}\otimes {\vec {w}}_{k}}},\quad k=2,3$ (keine Summe)

mit ${\vec {w}}^{2}={\vec {v}}^{2}+\mathrm {i} {\vec {v}}^{3},\,{\vec {w}}^{3}={\vec {v}}^{2}-\mathrm {i} {\vec {v}}^{3}$ und der Überstrich markiert den konjugiert komplexen Wert.

Konvektive Koordinaten

Siehe auch: Konvektive Koordinaten

Konvektive Koordinaten $y_{1},y_{2},y_{3}\in \mathbb {R}$

Kovariante Basisvektoren ${\vec {B}}_{i}={\frac {\mathrm {d} {\vec {X}}}{\mathrm {d} y_{i}}}$,    ${\vec {b}}_{i}={\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} y_{i}}}$

Kontravariante Basisvektoren ${\vec {B}}^{i}={\frac {\mathrm {d} y_{i}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}:=\mathrm {GRAD} (y_{i})$,    ${\vec {b}}^{i}={\frac {\mathrm {d} y_{i}}{\mathrm {d} {\vec {x}}}}:=\mathrm {grad} (y_{i})$

${\vec {B}}_{i}\cdot {\vec {B}}^{j}={\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {b}}^{j}=\delta _{i}^{j}$

Deformationsgradient $\mathbf {F} ={\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {B}}^{i}$

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient $\mathbf {l} ={\dot {\vec {b}}}_{i}\otimes {\vec {b}}^{i}=-{\vec {b}}_{i}\otimes {\dot {\vec {b}}}^{i}$

Kovarianter Tensor $\mathbf {T} =T_{ij}{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}^{j}$

Kontravarianter Tensor $\mathbf {T} =T^{ij}{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}$

Geschwindigkeitsgradient

Siehe auch: Geschwindigkeitsgradient

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient:$\mathbf {l} =\mathrm {grad} ({\vec {v}})={\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}$

Divergenz der Geschwindigkeit: $\mathrm {div} ({\vec {v}})=\mathrm {Sp} (\mathbf {l} )$

Winkelgeschwindigkeit oder Wirbelstärke ist der duale axiale Vektor

${\vec {\omega }}={\stackrel {A}{\vec {\mathbf {l} }}}=-{\frac {1}{2}}{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {l} )={\frac {1}{2}}\mathrm {rot} ({\vec {v}})$

${\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\mathrm {det} (\mathbf {F} )=\mathrm {det} (\mathbf {F} )\mathbf {F} ^{\top -1}:{\dot {\mathbf {F} }}=\mathrm {det} (\mathbf {F} )\mathrm {Sp} ({\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1})=\mathrm {det} (\mathbf {F} )\,\mathrm {div} ({\vec {v}})$

Objektive Zeitableitungen

Siehe auch: Euklidische Transformation

Bezeichnungen wie in #Konvektive Koordinaten.

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient $\mathbf {l} ={\dot {\vec {b}}}_{i}\otimes {\vec {b}}^{i}=-{\vec {b}}_{i}\otimes {\dot {\vec {b}}}\,^{i}=\mathbf {d} +\mathbf {w}$

Räumliche Verzerrungsgeschwindigkeit $\mathbf {d} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {l} +\mathbf {l} ^{\top })$

Wirbel- oder Spintensor $\mathbf {w} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {l} -\mathbf {l} ^{\top })$

Objektive Zeitableitungen von Vektoren

Gegeben:${\vec {v}}=v_{i}{\vec {b}}^{i}=v^{i}{\vec {b}}_{i}$:

${\begin{array}{rclcl}{\stackrel {\Delta }{\vec {v}}}&=&{\dot {\vec {v}}}+\mathbf {l} ^{\top }\cdot {\vec {v}}&=&{\dot {v}}_{i}{\vec {b}}^{i}\\{\stackrel {\nabla }{\vec {v}}}&=&{\dot {\vec {v}}}-\mathbf {l} \cdot {\vec {v}}&=&{\dot {v}}^{i}{\vec {b}}_{i}\\{\stackrel {\circ }{\vec {v}}}&=&{\dot {\vec {v}}}-\mathbf {w} \cdot {\vec {v}}\end{array}}$

Objektive Zeitableitungen von Tensoren

Gegeben:$\mathbf {T} =T_{ij}{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}^{j}=T^{ij}{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}$

${\begin{array}{rclcl}{\stackrel {\Delta }{\mathbf {T} }}&=&{\dot {\mathbf {T} }}+\mathbf {T\cdot l} +\mathbf {l} ^{\top }\cdot \mathbf {T} &=&{\dot {T}}_{ij}{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}^{j}\\{\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}&=&{\dot {\mathbf {T} }}-\mathbf {l\cdot T} -\mathbf {T\cdot l} ^{\top }&=&{\dot {T}}^{ij}{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\\{\stackrel {\circ }{\mathbf {T} }}&=&{\dot {\mathbf {T} }}+\mathbf {T\cdot w} -\mathbf {w\cdot T} \\{\stackrel {\diamond }{\mathbf {T} }}&=&{\dot {\mathbf {T} }}+\mathrm {Sp} (\mathbf {l} )\mathbf {T} -\mathbf {l\cdot T} -\mathbf {T\cdot l} ^{\top }\end{array}}$

Materielle Zeitableitung

Siehe auch: Substantielle Ableitung

${\dot {f}}({\vec {x}},t)={\frac {\mathrm {D} f}{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathrm {grad} (f)\cdot {\vec {v}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla )f$

${\dot {\vec {f}}}({\vec {x}},t)={\frac {\mathrm {D} {\vec {f}}}{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial t}}+\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {v}}={\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {f}}$

#Kartesische Koordinaten:${\frac {\mathrm {D} f}{\mathrm {D} t}}:={\frac {\partial f}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}$

#Zylinderkoordinaten:${\frac {\mathrm {D} f}{\mathrm {D} t}}:={\frac {\partial f}{\partial t}}+v_{\rho }{\frac {\partial f}{\partial \rho }}+{\frac {v_{\varphi }}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}$

#Kugelkoordinaten:${\frac {\mathrm {D} f}{\mathrm {D} t}}:={\frac {\partial f}{\partial t}}+v_{r}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {v_{\varphi }}{r\sin(\vartheta )}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}+{\frac {v_{\vartheta }}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \vartheta }}$

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5. 
• M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6. 
• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz. 6., unveränderte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5. 
• Konrad Königsberger: Analysis. überarbeitete Auflage. Band 2. 4. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-43580-8. 
• C. Truesdell: Festkörpermechanik II. In: S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band VIa/2. Springer, 1972, ISBN 3-540-05535-5.