FC-Gruppe

In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine FC-Gruppe (engl. FC-group, kurz für finite conjugate group) eine Gruppe, in der jede Konjugationsklasse endlich ist. Äquivalent dazu ist, dass alle Zentralisatoren endlichen Index haben.

Definition

Ist $G$ eine Gruppe, so ist das FC-Zentrum (engl. FC-center bzw. FC-centre, kurz für finite conjugate center bzw. finite conjugate centre) von $G$ die Menge

$\Delta (G)=\{x\in G\mid |x^{G}|<\infty \}$

aller Gruppenelemente mit endlicher Konjugationsklasse. Nach der Bahnformel (angewandt auf Konjugation als Gruppenwirkung) ist das FC-Zentrum ebenfalls die Menge

$\Delta (G)=\{x\in G\mid [G:Z_{G}(x)]<\infty \}$

aller Gruppenelemente mit Zentralisator von endlichem Index.

Eine Gruppe $G$ heißt FC-Gruppe, falls $G=\Delta (G)$ gilt.

Beispiele

• Jede endliche Gruppe und jede abelsche Gruppe ist eine FC-Gruppe.
• Jede Gruppe mit endlicher Kommutatorgruppe ist eine FC-Gruppe. Insbesondere ist jede Gruppe, deren Zentrum endlichen Index hat, eine FC-Gruppe.
• Untergruppen und Quotientengruppen von FC-Gruppen sind selbst FC-Gruppen.
• Die direkte Summe von FC-Gruppen ist selbst eine FC-Gruppe, nicht aber unbedingt das direkte Produkt von unendlich vielen FC-Gruppen.
• Für jede Gruppe $G$ ist ihr FC-Zentrum $\Delta (G)$ eine FC-Gruppe.

Eigenschaften

• Für eine Gruppe $G$ ist ihr FC-Zentrum $\Delta (G)$ eine Untergruppe. Es ist sogar eine charakteristische Untergruppe.
• Sei $G$ eine Gruppe und $\Delta ^{+}(G)=\{x\in \Delta (G)\mid \operatorname {ord} (x)<\infty \}$ die Teilmenge der Torsionselemente des FC-Zentrums. Dann ist $\Delta ^{+}(G)$ eine charakteristische Untergruppe des FC-Zentrums $\Delta (G)$. Daher kann man den Quotienten $\Delta (G)/\Delta ^{+}(G)$ bilden. Er ist eine torsionsfreie abelsche Gruppe.
• Sei $G$ eine Gruppe und $H\leq \Delta (G)$ eine endlich erzeugte Untergruppe des FC-Zentrums $\Delta (G)$. Dann hat der Zentralisator $Z_{G}(H)$ endlichen Index in $G$ und das Zentrum $\operatorname {Z} (H)$ hat endlichen Index in $H$. Insbesondere ist die Kommutatorgruppe $H'$ von $H$ endlich. Ist sogar $H\leq \Delta ^{+}(G)$, so ist $H$ ein endlicher Normalteiler von $G$.

Anwendungen

Sei $G$ eine Gruppe und $K$ ein Körper. Ein Primring ist ein Ring, für den das Nullideal $\{0\}$ ein Primideal ist. Ein Satz von Connell sagt aus, dass die Gruppenalgebra $K[G]$ genau dann ein Primring ist, wenn $G$ keinen nicht-trivialen endlichen Normalteiler hat. Passman nutzte die Projektion von $K[G]$ auf $K[\Delta (G)]$ sowie die Verbindung zwischen $\Delta ^{+}(G)$ und endlichen Normalteilern von $G$, um einen kürzeren Beweis von Connells Satz zu finden.

Literatur

• Donald S. Passman: The Algebraic Structure of Group Rings. John Wiley & Sons, New York / Sydney / London / Toronto 1977, ISBN 0-471-02272-1, 4.1: Finite Conjugate Groups, S. 113–120 (englisch). 

• W.R. Scott: Group Theory. Dover, 1987, ISBN 0-486-65377-3, 15.1: FC groups, S. 441–447 (englisch). 

• B.H. Neumann: Groups with finite classes of conjugate subgroups. In: Mathematische Zeitschrift. Band 63, 1955, S. 76–96, doi:10.1007/BF01187925 (englisch).