Euler-Rodrigues-Formel

In der Mathematik und Mechanik dient die Euler-Rodrigues Formel nach Leonhard Euler und Olinde Rodrigues der Beschreibung einer Drehung in drei Dimensionen. Mit vier Euler-Parametern $a, b, c, d$ , für die $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 1$ gilt, definiert

Q := (\begin{matrix} a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2} & 2 (b c - a d) & 2 (b d + a c) \\ 2 (b c + a d) & a^{2} + c^{2} - b^{2} - d^{2} & 2 (c d - a b) \\ 2 (b d - a c) & 2 (c d + a b) & a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2} \end{matrix})

eine Drehmatrix. Diese Formel basiert auf der Rodrigues-Formel, benutzt aber eine andere Parametrisierung.

Benutzt wird die Formel in Flugsimulatoren und Computerspielen.

Eigenschaften

Symmetrie

Die Parameter ( $a, b, c, d$ ) und ( $- a, - b, - c, - d$ ) beschreiben dieselbe Rotation, was daran liegt, dass sie in der Q-Matrix immer paarweise miteinander multipliziert werden und so die Minus-Zeichen neutralisiert werden. Von dieser Symmetrie abgesehen, definieren vier Parameter die Drehmatrix in eindeutiger Weise.

Vektorformulierung

Aus den Parametern $b, c, d$ kann ein Vektor $\vec{φ} = (b, c, d)^{⊤}$ gebildet werden. Darin bezeichnet das hochgestellte $⊤$ die transponierte Matrix, sodass $\vec{φ}$ ein Spaltenvektor ist. Dann gilt für alle $\vec{x}$ :

Q \vec{x} = \vec{x} + 2 a \vec{φ} \times \vec{x} + 2 \vec{φ} \times (\vec{φ} \times \vec{x}) .

So motiviert sich die Bezeichnung für $a$ als skalarer Parameter und $b, c, d$ als Vektorparameter. Mit der Kreuzproduktmatrix

[\vec{φ}]_{\times} = (\begin{matrix} 0 & - d & c \\ d & 0 & - b \\ - c & b & 0 \end{matrix})

zeigt sich

Q = E_{3} + 2 a [\vec{φ}]_{\times} + 2 [\vec{φ}]_{\times} [\vec{φ}]_{\times} = (2 a^{2} - 1) E_{3} + 2 a [\vec{φ}]_{\times} + 2 \vec{φ} {\vec{φ}}^{⊤}

Darin ist $E_{3}$ die Einheitsmatrix. Diese entsteht bei $\vec{φ} = \vec{0}$ mit den Euler-Parametern $(a, b, c, d) = (\pm 1, 0, 0, 0)$ . Bei 180°-Drehungen ist $a = 0$ und $| \vec{φ} | = 1$ .

Drehwinkel und Drehachse

Jede Drehung in drei Dimensionen ist eindeutig bestimmt durch einen Drehwinkel $ϕ$ und eine Drehachse, die durch einen Einheitsvektor $\vec{e} = (e_{x}, e_{y}, e_{z})^{⊤}$ mit $e_{x}^{2} + e_{y}^{2} + e_{z}^{2} = 1$ definiert wird. Dann lauten die Euler-Parameter der Drehung:

a = \cos (ϕ / 2)

b = \sin (ϕ / 2) e_{x}

c = \sin (ϕ / 2) e_{y}

d = \sin (ϕ / 2) e_{z}

Wenn $ϕ$ um eine volle 360°-Drehung zunimmt, entstehen die Euler-Parameter $(- a, - b, - c, - d)$ , die – wie oben bereits bemerkt – dieselbe Drehung repräsentieren.

Der Vektorparameter lautet hier also $\vec{φ} = \sin (φ / 2) \hat{e}$ . Mit diesen Parametern und den Doppelwinkelfunktionen entsteht die Rodrigues-Formel für die Drehmatrix:

Q = E_{3} + \sin (φ) [\hat{e}]_{\times} + (1 - \cos ϕ) [\hat{e}]_{\times} [\hat{e}]_{\times}

Parameter einer Drehmatrix

Ist die Drehmatrix $Q$ gegeben und sind die Euler-Parameter gesucht, dann werden sie wie folgt gewonnen.^[1] Hat $Q$ nur positive Diagonalelemente, dann ist

Sp (Q) = 3 a^{2} - b^{2} - c^{2} - d^{2} = 4 a^{2} - 1 \to a = \pm \frac{1}{2} \sqrt{Sp (Q) + 1}

Die restlichen Parameter entstehen aus

q_{i} = \frac{Q_{k j} - Q_{j k}}{4 a}

mit

i	1	2	3
q_i	b	c	d
j	2	3	1
k	3	1	2

Sind teilweise negative Diagonalelemente vorhanden, dann sei $Q_{i i}$ das größte Diagonalelement und

q_{i} = \frac{1}{2} \sqrt{1 + 2 Q_{i i} - Sp (Q)}

Mit diesem Wert und $j, k$ aus obiger Tabelle ermittelt sich

a = \pm \frac{Q_{k j} - Q_{j k}}{4 q_{i}}, q_{j} = \frac{Q_{j i} + Q_{i j}}{4 q_{i}}, q_{k} = \frac{Q_{k i} + Q_{i k}}{4 q_{i}}

Berechnung der Drehmatrix einmal mit $a$ und einmal mit $- a$ und Vergleich mit der gegebenen Drehmatrix liefert schließlich das Vorzeichen von $a$ .

Verknüpfung zweier Rotationen

Die Verknüpfung zweier Rotationen ergibt wieder eine Rotation. Aus Euler-Parametern $a_{1}, b_{1}, c_{1}, d_{1}$ für die erste Drehung $Q_{1}$ und $a_{2}, b_{2}, c_{2}, d_{2}$ für die zweite Drehung $Q_{2}$ ergibt sich die kombinierte Drehung $Q_{2} Q_{1}$ aus erster Drehung und anschließender zweiter Drehung aus den Euler-Parametern

a = a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2} - c_{1} c_{2} - d_{1} d_{2}

b = a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2} - c_{1} d_{2} + d_{1} c_{2}

c = a_{1} c_{2} + c_{1} a_{2} - d_{1} b_{2} + b_{1} d_{2}

d = a_{1} d_{2} + d_{1} a_{2} - b_{1} c_{2} + c_{1} b_{2}

.

Auch hier gilt wieder $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 1$ , was durch Einsetzen bestätigt werden kann. Letztere Identität hat über

a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 1 = (a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2} + d_{1}^{2}) (a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2} + d_{2}^{2})

einen direkten Bezug zum Euler’schen Vier-Quadrate-Satz und den Quaternionen.

Verbindung mit anderen Konstrukten

Quaternionen

Die Euler-Parameter können als Komponenten einer Einheitsquaternion angesehen werden. Der Parameter $a$ ist ihr reeller Anteil und $b, c, d$ ihr imaginärer. Mit den Einheitsquaternionen $q_{1, 2} = a_{1, 2} + i b_{1, 2} + j c_{1, 2} + k d_{1, 2}$ , die aus den Euler-Parametern zweier Drehungen $Q_{1, 2}$ bestehen, können die Euler-Parameter der kombinierten Drehung $Q_{2} Q_{1}$ elegant mit dem Produkt der Quaternionen berechnet werden:

a + i b + j c + k d = q_{1} q_{2}

Hier sind $i, j$ und $k$ die komplex-imaginären Einheiten, die sich mit den Hamilton-Regeln $i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1$ nicht kommutativ verknüpfen. Beispielsweise ist $j k = - k j = i$ .

Pauli-Matrizen

Die unitären 2 × 2-Matrizen

\begin{matrix} E_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = σ_{0}, & σ_{x} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) = i σ_{2} \\ σ_{y} = (\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}) = i σ_{1}, & σ_{z} = (\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & - i \end{matrix}) = i σ_{3} \end{matrix}

mit der imaginären Einheit $i^{2} = - 1$ der komplexen Zahlen hängen mit den Pauli-Matrizen $σ_{0, 1, 2, 3}$ zusammen, die im Standardmodell der Elementarteilchenphysik und in der Quantenmechanik verwendet werden.

Die Matrizen $σ_{x, y, z}$ transformieren sich ähnlich obiger Hamilton-Regeln der komplex-imaginären Einheiten der Quaternionen:

σ_{x}^{2} = σ_{y}^{2} = σ_{z}^{2} = σ_{x} σ_{y} σ_{z} = - E_{2}

Entsprechend können diese unitären 2 × 2-Matrizen ebenfalls zur Beschreibung von Rotationen herangezogen werden. Details dazu findet sich bei Quaternion, SU(2) und Spin-Gruppe.

Die zu einer Rotation korrespondierende unitäre 2 × 2-Matrix lautet unter Verwendung der Euler-Parameter:

U = (\begin{matrix} a + i d & b + i c \\ - b + i c & a - i d \end{matrix}) = a E_{2} + b σ_{x} + c σ_{y} + d σ_{z} = a σ_{0} + i b σ_{2} + i c σ_{1} + i d σ_{3}

Siehe auch

Einzelnachweise

↑ Axel Volkwein: Numerische Simulation von flexiblen Steinschlagschutzsystemen. Hrsg.: Institut für Baustatik und Konstruktion, Eidgenössische Technische Hochschule Zürich. vdf Hochschulverlag AG, 2004, ISBN 978-3-7281-2986-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 30. Juni 2017]).

[1] Axel Volkwein: Numerische Simulation von flexiblen Steinschlagschutzsystemen. Hrsg.: Institut für Baustatik und Konstruktion, Eidgenössische Technische Hochschule Zürich. vdf Hochschulverlag AG, 2004, ISBN 978-3-7281-2986-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 30. Juni 2017]).

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