Einheitsvektor

Ein Einheitsvektor ist in der analytischen Geometrie ein Vektor der Länge eins. In der linearen Algebra und der Funktionalanalysis wird der Begriff der Länge auf allgemeine Vektorräume zum Begriff der Norm verallgemeinert. Ein Vektor in einem normierten Vektorraum, das heißt einem Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist, heißt Einheitsvektor oder normierter Vektor, wenn seine Norm eins beträgt.

Definition

Ein Element $v$ eines normierten Vektorraumes $V$ heißt Einheitsvektor, wenn $\|{\vec {v}}\|=1$ gilt. Einheitsvektoren werden oft mit einem Zirkumflex gekennzeichnet ( ${\hat {v}}$ );^[1] weitere Schreibweisen sind ${\vec {v}}_{0}$ oder ${\vec {e}}$ ^[2].

Einordnung

Einen gegebenen, vom Nullvektor verschiedenen Vektor ${\vec {v}}$ kann man in einen Einheitsvektor transformieren, indem man ihn durch seine Norm (= seinen Betrag) dividiert:

{\hat {v}}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}

.

Dieser Vorgang heißt Normierung und man sagt, dass der Vektor ${\vec {v}}$ normiert wurde.^[3] Der so gewonnene Vektor ist der Einheitsvektor, der in dieselbe Richtung wie ${\vec {v}}$ zeigt.^[4] Er spielt z. B. eine Rolle beim Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren oder der Berechnung der Hesseschen Normalform. Umgekehrt lässt sich jeder Vektor schreiben als Produkt seiner Länge und des Einheitsvektors in seine Richtung: ${\vec {v}}=|{\vec {v}}|\cdot {\hat {v}}$ .

Die Elemente einer Basis (= Basisvektoren) werden oft als Einheitsvektoren gewählt, denn durch die Verwendung von Einheitsvektoren werden viele Rechnungen vereinfacht. Zum Beispiel ist in einem euklidischen Raum das Standardskalarprodukt zweier Einheitsvektoren gleich dem Kosinus des Winkels zwischen den beiden.

Endlichdimensionaler Fall

In den endlichdimensionalen reellen Vektorräumen $\mathbb {R} ^{n}$ besteht die am häufigsten bevorzugte Standardbasis aus den Standard-Einheitsvektoren oder kanonischen Einheitsvektoren^[5]

{\vec {e}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\;{\vec {e}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\;{\vec {e}}_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\;\dots ,\;{\vec {e}}_{n}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}

.

Diese Einheitsvektoren zeigen in Richtung der entsprechenden Koordinatenachsen.^[6]

Fasst man die kanonischen Einheitsvektoren zu einer Matrix zusammen, erhält man eine Einheitsmatrix. Die Menge der kanonischen Einheitsvektoren des $\mathbb {R} ^{n}$ bildet bezüglich des kanonischen Skalarprodukts eine Orthonormalbasis, d. h. je zwei kanonische Einheitsvektoren stehen senkrecht aufeinander (=„ortho“), alle sind normiert (=„normal“) und sie bilden eine Basis.

Beispiel

Die drei kanonischen Einheitsvektoren des dreidimensionalen Vektorraums $\mathbb {R} ^{3}$ werden in den Naturwissenschaften auch mit ${\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}$ bezeichnet:

{\vec {i}}={\vec {e}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {j}}={\vec {e}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {k}}={\vec {e}}_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}

Gelegentlich werden die ersten beiden kanonischen Einheitsvektoren auch ohne Pünktchen als ${\vec {\imath }},{\vec {\jmath }}$ geschrieben. In der Literatur verbreitet sind auch die Schreibweise mit Hütchen ${\hat {\imath }},{\hat {\jmath }},{\hat {k}}$ sowie die Schreibweise mit Fettdruck $\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k}$ (letztere auch manchmal mit Hütchen kombiniert).

Unendlichdimensionaler Fall

In unendlichdimensionalen unitären Vektorräumen (= VR mit Skalarprodukt) bildet die (unendliche) Menge der kanonischen Einheitsvektoren zwar noch ein Orthonormalsystem, aber nicht notwendig eine (Vektorraum-)Basis. In Hilberträumen gelingt es jedoch durch Zulassung unendlicher Summen, jeden Vektor des Raumes darzustellen, man spricht deshalb weiter von einer Orthonormalbasis.

Siehe auch

Wiktionary: Einheitsvektor – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Kartesisches Koordinatensystem

Einzelnachweise

↑ Raymond A. Serway, John W. Jewett: Principles Of Physics: A Calculus-based Text, Band 1. Cengage Learning, 2006, ISBN 978-0-534-49143-7, S. 19, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche
↑ I. N. Bronstein, K. A. Smendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt am Main 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 187.
↑ Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik. 5. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2022, ISBN 978-3-662-64388-4, S. 703.
↑ Einheitsvektor. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik: Band 2: Eig bis Inn. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2017, ISBN 978-3-662-53503-5, S. 13.
↑ Klaus Jänich: Mathematik 1. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2005, ISBN 3-540-21392-9, S. 144.
↑ Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure 1. 9. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2024, ISBN 978-3-662-69657-6, S. 48.

Literatur

Unit Vector. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

[1] Raymond A. Serway, John W. Jewett: Principles Of Physics: A Calculus-based Text, Band 1. Cengage Learning, 2006, ISBN 978-0-534-49143-7, S. 19, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche

[2] I. N. Bronstein, K. A. Smendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt am Main 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 187.

[3] Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik. 5. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2022, ISBN 978-3-662-64388-4, S. 703.

[4] Einheitsvektor. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik: Band 2: Eig bis Inn. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2017, ISBN 978-3-662-53503-5, S. 13.

[5] Klaus Jänich: Mathematik 1. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2005, ISBN 3-540-21392-9, S. 144.

[6] Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure 1. 9. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2024, ISBN 978-3-662-69657-6, S. 48.

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