Diskussion:Permutationsmatrix

Problem: Zeilen oder Spalten?

Wie so oft, gibt es zwei Möglichkeiten. Im Moment ist der Artikel inkonsistent, denn die Formel $P_{\sigma }P_{\tau }=P_{\sigma \tau }$ passt nicht zu $P_{\sigma }(g)=(g_{\sigma (i)})$. (Begründung: Identifiziere Vektoren mit Abbildungen $\{1,\ldots ,n\}\to K$, dann ist entspricht die zweite Formel $P_{\sigma }g=g\circ \sigma$, aber damit werden Links- und Rechtsoperation vermischt.)--Gunther 16:08, 14. Feb 2006 (CET)

Hallo verstehe nicht ganz was du eigentlich meinst.

$P_{\tau }=P_{\sigma \tau }\!$ passt nicht zu $P_{\sigma }(g)=(g_{\sigma (i)})\!$

zweiteres steht so nicht im Artikel bzw ist mir nicht klar was $g_{\sigma (i)}\!$ sein soll mfg Wdvorak 19:19, 14. Feb 2006 (CET)

Sorry, das war auch nicht zu verstehen. Ich habe da die Notation aus dem englischen Artikel mit hineingemixt (der dasselbe Problem hat). Also: Wenn gilt:

$P_{\pi }{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{\pi (1)}\\\vdots \\v_{\pi (n)}\end{pmatrix}}$

dann gilt nicht:

$P_{\pi }P_{\sigma }=P_{\pi \circ \sigma }$

Beides steht momentan in dieser Form im Artikel. Man muss entweder in der ersten Formel $v_{\pi ^{-1}(1)},\ldots$ statt $v_{\pi (1)},\ldots$ schreiben oder in der zweiten Formel $\pi \circ \sigma$ durch $\sigma \circ \pi$ ersetzen.--Gunther 19:49, 14. Feb 2006 (CET)

gut glaube jetzt das problem jetzt erkannt zu haben hab mich dafür entschieden die erste Formel zu ändern (und daher auch die definiton spaltenweise zu machen) wäre nett wenn du noch mal darüber schauen könntest ob das jetzt so zusammen passt mfg Wdvorak 09:00, 15. Feb 2006 (CET)

Ich finde die im Artikel gewählte Konvention ungünstig. $P_{\pi }v$ sollte die Komponenten von $v$ gemäß der Permutation $\pi$ vertauschen und nicht gemäß der Inversen $\pi ^{-1}$. In der Literatur zur linearen Algebra wird auch normalerweise die andere Variante gewählt. Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:14, 21. Jan. 2014 (CET)

Fehler in Definition?

Hi, kann es sein, dass der Teil $\pi :\lbrace 1,\dots ,n\rbrace \to \lbrace 1,\dots ,n\rbrace$ nur die identische Permutation definiert? Müsste es nicht $\pi :\lbrace 1,\dots ,n\rbrace \to \lbrace \pi \left(1\right),\dots ,\pi \left(n\right)\rbrace$ heißen? --jpp ?! 14:03, 14. Apr 2006 (CEST)

ja ich denke da hast du recht - hab das gleich mal ausgebessert Wdvorak 17:13, 14. Apr 2006 (CEST)

Nein. Das heißt ausgeschrieben: "pi ist eine Funktion mit Definitionsmenge $\{1,\ldots ,n\}$ und Zielmenge $\{1,\ldots ,n\}$". Genausowenig ist jede Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ automatisch die Funktion $f(x)=x$.--Gunther 21:52, 17. Apr 2006 (CEST)

Also ich weiß nicht, bist du dir da sicher? Im Artikel Permutation steht das anders drin. --jpp ?! 23:03, 17. Apr 2006 (CEST)

Das ist keine übliche Notation.--Gunther 23:38, 17. Apr 2006 (CEST)

Sollte dann der Artikel Permutation nicht entsprechend geändert werden? --jpp ?! 11:14, 18. Apr 2006 (CEST)

Der ist ja insgesamt eher informell, Verwechslungsgefahr sollte es jedenfalls keine geben.--Gunther 11:23, 18. Apr 2006 (CEST)

Falsche Schreibweise für Eingangsbeispiel

Von der Matrix in der Einleitung des Artikels wird behauptet, sie sei der Permutation (3,5,8,1,7,4,2,6) zugehörig. Das sieht aus meiner Sicht sehr nach Zykelschreibweise aus. Gemeint ist hier aber offenbar die Tabellenschreibweise. Was denkt ihr, welche Variante man verwenden sollte? Denn so ist es sicher nicht richtig. (nicht signierter Beitrag von Takirion (Diskussion | Beiträge) 12:17, 18. Feb. 2015‎ (CET))

Das ist die Tupelschreibweise für Permutationen. Die Zykelschreibweise verwendet normalerweise keine Kommas. Grüße, --Quartl (Diskussion) 12:28, 18. Feb. 2015 (CET)

(Anti)homomorphismus

Die letzte von mit rückgängig gemachte Änderung hatte die Formel $P_{\sigma \circ \pi }=P_{\sigma }P_{\pi }$ behauptet und dass die Abbildung von den Permutationen nach $GL_{n}$ daher ein Homomorphismus sei.

Die Version $P_{\sigma \circ \pi }=P_{\pi }P_{\sigma }$ ist richtig, wie folgende Rechnung zeigt: $\textstyle (P_{\sigma }P_{\pi })_{i,j}=\sum _{k}(P_{\sigma })_{i,k}(P_{\pi })_{k,j}=\sum _{k}\delta _{\sigma (i),k}\delta _{\pi (k),j}$, wobei nur die Definitionen der Matrizenmultiplikation und der Permutationsmatrizen verwendet wurden. Die $\delta _{\sigma (i),k}$ sind 0 für alle $k$ bis auf $k=\sigma (i)$. Also können wir weiterrechnen $\ldots =1\cdot \delta _{\pi (\sigma (i)),j}=\delta _{(\pi \circ \sigma )(i),j}=(P_{\pi \circ \sigma })_{i,j}$. Damit ist komponentenweise die Formel $P_{\sigma \circ \pi }=P_{\pi }P_{\sigma }$ nachgewiesen. Daher haben wir nur einen Antihomomorphismus, was mir auch nicht gefällt. Ich würde daher die alternative Definition für Permutationsmatrizen vorziehen, damit wir hier einen Homomorphismus haben. Aber das ist reine Geschmackssache.

Aber in der Literatur, insbesondere in älterer Literatur, ist das ein heilloses Durcheinander. Es gibt Autoren, die Permutationen von rechts operieren lassen, dann würde es auch wieder passen. In noch älterer Literatur kann es vorkommen, dass die Matrixindizes vertauscht sind, d.h. der erste Index steht für die Spalte, der zweite für die Zeile. Dann dreht sich die Matrizenmultiplikation um und Matrizen operieren von rechts auf den passenden Vektorräumen und dann würde es auch passen. In der englischen, russischen, italienischen Wikipedia hat man einen Antihomomorphismus, in der französischen, niederländischen Wikipedia hat man einen Homomorphismus. In der spanischen Wikipedia operieren die Permutationsmatrizen von rechts. Wir könnten hier diskutieren, ob wir uns der Definition der französischen Wikipedia $(P_{\pi })_{i,j}=\delta _{i,\pi (j)}$ anschließen und unseren Artikel entsprechend überarbeiten wollen. --FerdiBf (Diskussion) 10:31, 22. Dez. 2025 (CET)