Diskussion:Hohenberg-Kohn-Theorem

Ich glaube hier ist noch einiges im Argen. Ich bin zwar nicht bewandert genug um mich zu trauen das zu ändern, aber ich muss sagen ich verstehe schonmal nicht was diese Zeile soll: $V_{1}({\vec {r}})n({\vec {r}})=V_{1}({\vec {r}})-V_{2}({\vec {r}})+V_{2}({\vec {r}})$ (außer $n({\vec {r}})=1$, was ja hier nicht wirklich Sinn macht). Außerdem sehe ich bei $E_{1}+E_{2}\leq E_{1}+E_{2}$ keinen Widerspruch solange ich das $\leq$ habe und kein echtes $<$ da steht...

Ich glaube, hier ist noch mehr komisch: Wieso folgt aus $V_{1}({\vec {r}})n({\vec {r}})=\left(V_{1}({\vec {r}})-V_{2}({\vec {r}})+V_{2}({\vec {r}})\right)n({\vec {r}})$ auf einmal $V_{1}({\vec {r}})n({\vec {r}})=\left(V_{1}({\vec {r}})-V_{2}({\vec {r}})\right)n({\vec {r}})$? --Felixbecker2 15:20, 10. Mär. 2007 (CET)

Das letzte ist in Ordnung, falls $V_{1}({\vec {r}})$ und $n({\vec {r}})$ positiv sind, da es sich ja um Ungleichungen handelt und man dort einen positiven Term weglassen kann. Aber ansonsten bin ich auch der Meinung, dass der Beweis so noch nicht stimmt.

Der Beweis scheint insbesondere für $V_{1}({\vec {r}})-V_{2}({\vec {r}})=const.$ fehlerhaft zu sein, da dieser Fall keine echte Ungleichung nach sich zieht. (nicht signierter Beitrag von 77.191.0.235 (Diskussion) 20:37, 11. Jul 2012 (CEST))

Der Beweis stimmt so, bezieht sich aber nur auf das erste Theorem und ist selbst davon nur die zweite Hälfte, da er nur die Injektivität zwischen Wellenfunktion und Dichtefunktion beweist, nicht aber die von Potential und Wellenfunktion. Zum letzten Hinweis von nowiki ist zu sagen, dass das Theorem tatsächlich nur für Potentiale gilt, die sich höchstens um eine Konstante ändern. Das ist aber letztlich irrelevant (Eichung/Eichtheorie) 15.10.2013 (nicht signierter Beitrag von 2001:4CA0:24F1:C100:B966:CCBD:A6CD:B928 (Diskussion | Beiträge) 13:53, 15. Okt. 2013 (CEST))

DFT = ab initio???

Ist es nicht so, dass die DFT gerade KEINE ab initio Methode ist?

Was ist bei entartetem Grundzustand?

Meines Wissens nach liegt ein eindeutige Elektronendichteverteilung nur für einen nicht entarteten Grundzustand zwingend vor. Bei einem entartetem Grundzustand ist es durchaus möglich, dass mehrere Elektronendichteverteilungen vorliegen(zugeordnet zu den verschiedenen Eigenzuständen (nicht zwingend injektiv bezüglich Eigenzustand -> Elektronendichteverteilung)). Der Beweis in diesem Artikel beschränkt sich ja auch auf genau diesen Fall. -- Geralt 17:46, 11. Okt. 2011 (CEST)

Hab mal die Einführung geändert: Für einen entarteten Grundzustand kann man zeigen, dass zu jeder Grundzustands-Elektronendichte eindeutig ein externes Potential zugeordnet werden kann. Der im Artikel stehende Umkehrschluss ist jedoch falsch. Wenn jemand Zeit und Motivation hat, kann er das ja noch einpflegen. -- Geralt 20:45, 12. Okt. 2011 (CEST)

Das kommt davon

Das kommt davon, wenn man unbedingt was im Internet veröffentlichen will, was man selber nicht kapiert. Und bei dem ganzen Formelzeug fragt man sich dann, wozu das Ganze, wem nützt das, wer kann damit was anfangen?

Überarbeitung

Ich habe den Bausten herausgenommen, dass der entartete Grundzustand fehlen würde. Ich war viel mehr der Meinung, dass eine ordentliche Einleitung und ganze Sätze im Beweis fehlen, die ich anstelle formuliert habe. Ich bin mir nicht sicher, wozu $\rho ({\vec {r}})({\vec {r}})$ im Integral $\int V_{1}({\vec {r}})\rho ({\vec {r}})({\vec {r}})\,\mathrm {d^{3}} r$ vorkommt, das sieht nach einem Fehler von diesem Edit aus und nehme ich auch raus. --Lpd-Lbr (d) 18:50, 4. Nov. 2019 (CET)

Dirac schon 1930?

By adding the electric densities arising from all the wave functions we can obtain the total electric density for the atom. If we adopt the equations of the self-consistent field as amended for exchange, then this total electric density (the matrix) has one important property, namely, if the value of the total electric density at any time is given, then its value at any later time is determined by the equations of motion. This means that the whole state of the atom is completely described simply by this electric density; it is not necessary to specify the individual three-dimensional wave functions that make up the total electric density.

So Dirac in seinem 1930-paper zu Thomas-Fermi. Ist das nicht die bahnbrechende Aussage von Hohenberg-Kohn? Weder sie noch andere scheinen das irgendwo zu erwähnen, oder weiß da jemand was näheres? --Bleckneuhaus (Diskussion) 16:51, 19. Nov. 2021 (CET)

Hallo Bleckneuhaus, das Hohenberg-Kohn (HK) Theorem ist eine ziemliche Trivialität und folgt im Endeffekt mit so 3 Zeilen Herleitung aus dem Variationsprinzip. Es war schon vielen anderen Physikern davor bewusst, so bestimmt auch Dirac, aber sie fanden es mit Verlaub einfach zu "billig" es explizit aufzuschreiben. HK haben haben auch anfangs ein wenig Spott aus der Physiker community dafür erhalten. Nach dem Kohn-Sham (KS) paper haben die anderen aber nicht mehr gelacht ... Später hat Elliot Lieb HK mathematisch formalisiert (1983) auf Banach-Räumen, mit Legendre-Transformation, Konvexitätskriterien etc. Viele Physiker haben später gesehen, dass HK doch nicht so trivial auf den ersten Blick ist. Es gibt viele Erweiterungen für HK: Z.B. das Runge-Gross (RG) Theorem für Zeitabhängige Dichtefunktionaltheorie (TDDFT), Gilberts Theorem für reduzierte Dichtematrixfunktionaltheorie, Mermins Theorem für Klassische DFT, das Gross-Oliveira-Kohn (GOK) Theorem für Ensemble DFT usw. Deren Herleitungen sind zum Teil viel difficiler und interessanter. --The Quantum Chemist (Diskussion) 23:50, 9. Mär. 2025 (CET)

Danke, ich habe daraufhin Dirac in der Einleitung mit erwähnt. Richtig so? --Bleckneuhaus (Diskussion) 21:09, 10. Mär. 2025 (CET)