Determinantal point process

Ein determinantal point process (deutsch: determinantaler Punktprozess) oder kurz DPP ist ein Punktprozess, dessen $n$-Punkt-Korrelationsfunktion eine Determinante eines Integralkerns ist. Solche Prozesse trifft man in der Spektraltheorie der Zufallsmatrizen, in der Kombinatorik, sowie im Machine Learning und der Physik an.

In der Theorie der Zufallsmatrizen haben manche dieser Prozesse erstaunliche – sogenannte universelle – Eigenschaften und man erhält in vielen Situation den gleichen Prozess, unabhängig von der darunterliegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung. Viele Fragen zu diesem Phänomen sind noch nicht geklärt und Bestandteil moderner mathematischer Forschung.

Definition

Wir betrachten einen lokalkompakten, hausdorffschen Raum $V$ und ein Radon-Maß $\mu$ darauf (invariante Radon-Maße existieren nur in hausdorffschen Räumen, welche auch lokalkompakt sind).

Weiter sei $K(x,y)$ ein messbarer, positiver Integralkern eines lokalen Spurklasseoperators

$K\colon L^{2}(V,\mu )\to L^{2}(V,\mu )$.

Ein simpler Punktprozess $\zeta$ ist ein determinantal point process, falls für jedes $n\geq 1$ seine $n$-Punkt-Korrelationsfunktion $\rho ^{(n)}$ existiert und gilt

$\rho ^{(n)}(\mathrm {d} x_{1},\dots ,\mathrm {d} x_{n})=\operatorname {det} [K(x_{i},x_{j})]_{1\leq i,j\leq n}\prod \limits _{i=1}^{n}\mu (\mathrm {d} x_{i})$

oder äquivalent

$\rho ^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n})=\operatorname {det} [K(x_{i},x_{j})]_{1\leq i,j\leq n}$

Erläuterungen

Da Korrelationsfunktionen positiv sind, muss zwingend auch $K(x,y)$ positiv sein.

Seien $M_{1},\dots ,M_{n}\subset \zeta$ disjunkt, dann gilt

$\mathbb {E} [\zeta (M_{1})\cdots \zeta (M_{n})]=\int _{M_{1}\times \cdots \times M_{n}}\operatorname {det} [K(x_{i},x_{j})]_{1\leq i,j\leq n}\mu (\mathrm {d} x_{1})\cdots \mu (\mathrm {d} x_{n})$.

Pfaffian point processes

Verallgemeinerungen der determinantal point processes sind pfaffian point processes, deren $n$-Punkt-Korrelationsfunktionen Pfaffsche Determinanten sind:

$\rho ^{(n)}(\mathrm {d} x_{1},\dots ,\mathrm {d} x_{n})=\operatorname {Pf} [K(x_{i},x_{j})]_{1\leq i,j\leq n}\prod \limits _{i=1}^{n}\mu (\mathrm {d} x_{i})$,

wobei $K(x,y)$ ein antisymmetrischer $2\times 2$-Kern ist:

$K(x,y)={\begin{pmatrix}K_{11}(x,y)&K_{12}(x,y)\\K_{21}(x,y)&K_{22}(x,y)\end{pmatrix}}$

und $K(x,y)^{\mathrm {t} }=-K(y,x)$.

Beispiele

Beispiele aus der statistischen Mechanik

Der Fermion process und der Boson process.

Theorie der Zufallsmatrizen

Die empirischen Spektralmaße von einer großen Klasse von unitären Matrizen konvergieren (unter entsprechender Skalierung) zu determinantal point processes mit folgenden Kernen:

Sine₂-Prozess

$\operatorname {K_{Sine}} (x,y):={\frac {\sin(\pi (x-y))}{\pi (x-y)}}$

Airy₂-Prozess

→ Hauptartikel: Airy-Prozess

$\operatorname {K_{Airy}} (x,y):={\frac {\operatorname {Ai} (x)\operatorname {Ai} '(y)-\operatorname {Ai} '(x)\operatorname {Ai} (y)}{x-y}}$,

wobei $\operatorname {Ai}$ die Airy-Funktion bezeichnet.

Universalität

Die $\operatorname {Sine} _{\beta }$‑, $\operatorname {Airy} _{\beta }$‑ und $\operatorname {Bessel} _{\beta }$-Prozesse charakterisieren die Eigenwerte einer großen Klasse unendlichdimensionaler Zufallsmatrizen.

Literatur

• Greg W. Anderson, Alice Guionnet, Ofer Zeitouni: An Introduction to Random Matrices. Cambridge University Press, 2009.