D-Modul

In der Mathematik ist ein D-Modul ein Modul über einem Ring von Differentialoperatoren.

Definition

Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ und sei $A_{n}(K)$ die Algebra der Polynome in den Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n},\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}$ mit den Kommutator-Relationen

$\left[x_{i},x_{j}\right]=\left[\partial _{i},\partial _{j}\right]=\left[\partial _{i},x_{j}\right]=0$ für alle $i\not =j$

$\left[\partial _{i},x_{i}\right]=1$ für alle $i$.

Es folgt für jedes Polynom $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ die Beziehung

$\left[\partial _{i},f\right]={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}.$

Ein D-Modul ist ein Linksmodul über dem Ring $A_{n}(K)$.

Beispiele

• $A_{n}(K)$ ist ein D-Modul.
• Der Polynomring $K\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]$ wird ein D-Modul, indem man $x_{i}$ durch Linksmultiplikation und $\partial _{i}$ durch partielle Ableitung nach $x_{i}$ wirken lässt.
• Für $K=\mathbb {R}$ bzw. $K=\mathbb {C}$ ist der Ring der (reell bzw. komplex) differenzierbaren Funktionen in $n$ Variablen ein D-Modul, indem man $x_{i}$ durch Linksmultiplikation mit der $i$-ten Variablen und $\partial _{i}$ durch partielle Ableitung nach der $i$-ten Variablen wirken lässt.

Literatur

• S.C.Coutinho: A primer of algebraic D-modules. London Mathematical Society Student Texts. 33. Cambridge: Cambridge Univ. Press. xii, 207 p. (1995)