Coeficient de Poisson

Eixamplament per efecte Poisson del plànol longitudinal mitjà d'un prisma comprimit al llarg del seu eix, el grau d'eixamplament depèn del coeficient de Poisson, en aquest cas s'ha utilitzat $\nu \approx 0,5$

El coeficient de Poisson (denotat mitjançant la lletra grega $\nu$) és una constant elàstica que proporciona una mesura de l'estrenyiment de secció d'un prisma de material elàstic lineal i isòtrop quan s'estira longitudinalment i s'aprima en les direccions perpendiculars a la d'estirament. El nom d'aquest coeficient és en honor del físic francès Simeon Poisson.

La majoria dels materials tenen valors de la relació de Poisson que oscil·len entre 0,0 i 0,5. Per als materials tous, com el cautxú, on el mòdul aparent és molt major que el mòdul de cisallament, el coeficient de Poisson és pròxim a 0,5. Per a les escumes de polímer de cèl·lula oberta, la relació de Poisson és pròxima a zero, ja que les cèl·lules tendeixen a col·lapsar en compressió. Molts sòlids típics tenen relacions de Poisson de l'ordre de 0,2-0,3.

Origen

El coeficient de Poisson és una mesura de l'efecte Poisson, el fenomen pel qual un material tendeix a expandir-se en direccions perpendiculars a la direcció de compressió. Per contra, si el material s'estira en lloc de comprimir-se, normalment tendeix a contreure's en les direccions transversals a la direcció d'estirament. És freqüent observar que quan s'estira una goma elàstica, aquesta es torna notablement més fina. De nou, la relació de Poisson serà la relació entre la contracció relativa i l'expansió relativa i tindrà el mateix valor que l'anterior. En alguns casos poc freqüents, un material s'encongirà realment en la direcció transversal quan es comprimeixi (o s'expandirà quan s'estiri), la qual cosa donarà lloc a un valor negatiu del coeficient de Poisson.

El coeficient de Poisson d'un material estable, isotròpic, lineal elàstic ha d'estar entre -1,0 i +0,5 a causa del requisit que el mòdul de Young, el mòdul de cisallament i el mòdul de compressibilitat tinguin valors positius. La majoria dels materials tenen valors de la relació de Poisson que oscil·len entre 0,0 i 0,5. Un material isòtrop perfectament incompressible deformat elàsticament a petites deformacions tindria una relació de Poisson d'exactament 0,5. La majoria dels acers i polímers rígids, quan s'utilitzen dins dels seus límits de disseny (abans de fluència), presenten valors d'aproximadament 0,3, que augmenten fins a 0,5 per a la deformació posterior al rendiment, que es produeix en gran manera a volum constant. El cautxú té una relació Poisson de gairebé 0,5. La relació de Poisson del suro és pròxima a 0, mostrant molt poca expansió lateral quan es comprimeix, i la del vidre està entre 0,18 i 0,30. Alguns materials, com algunes escumes polimèriques, els plecs d'origami, i unes certes cèl·lules poden presentar un coeficient de Poisson negatiu, i es denominen augètics. Si aquests materials auxètics s'estiren en una direcció, es tornen més gruixuts en la direcció perpendicular. Per contra, alguns materials anisòtrops, com els nanotubs de carboni, els materials de làmina plegada en ziga-zaga, i metamaterials auxètics en forma de bresca per nomenar alguns, poden presentar una o més relacions de Poisson superiors a 0,5 en determinades direccions.

Suposant que el material és estirat o comprimit en una sola direcció (l'eix x en el diagrama adjunt):

$\nu =-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {trans} }}{d\varepsilon _{\mathrm {axial} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {y} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {z} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}$

on

• $\nu$ és el coeficient de Poisson resultant

$\varepsilon _{\mathrm {trans} }$ és la variació dimensional transversal $\varepsilon _{\mathrm {axial} }$ és la variació dimensional axial una variació dimensional positiva significa extensió mentre que una negativa significa contracció.

Relació de Poisson per canvis de geometria

Canvi de longitud

Figura 1: Un cub amb costats de longitud L d'un material isòtrop linealment elàstic sotmès a tensió al llarg de l'eix x, amb una relació de Poisson de 0.5. La galleda verda està sense tensió, el vermell està expandit en la direcció x per ΔL. La galleda verda està sense tensió, el vermell està expandit en la direcció x per ΔL a causa de la tensió, i contret en les direccions i i z per ΔL'

Per a un cub estirat en la direcció x (vegeu la figura 1) amb un augment de longitud de $\Delta L$ en la direcció x, i una disminució de longitud de $\Delta L'$ en les direccions i i z, les deformacions diagonals infinitesimals són definides per

$d\varepsilon _{x}={\frac {dx}{x}}\qquad d\varepsilon _{i}={\frac {dy}{i}}\qquad d\varepsilon _{z}={\frac {dz}{z}}.$

Si la relació de Poisson és constant a través de la deformació, integrant aquestes expressions i utilitzant la definició de la relació de Poisson s'obté

$-\nu \int _{L}^{L+\Delta L}{\frac {dx}{x}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dy}{i}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dz}{z}}.$

Resolent i exponenciant, la relació entre $\Delta L$ i $\Delta L'$ és llavors

$\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{-\nu }=1+{\frac {\Delta L'}{L}}.$

Per a valors molt petits de $\Delta L$ i $\Delta L'$, s'obté una aproximació de primer ordre

$\nu \approx -{\frac {\Delta L'}{\Delta L}}.$

Canvi volumètric

Ara es pot calcular el canvi relatiu de volum ΔV/V d'un cub a causa de l'estirament del material. Usant $V=L^{3}$ i $V+\Delta V=(L+\Delta L)\left(L+\Delta L'\right)^{2}$:

${\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)\left(1+{\frac {\Delta L'}{L}}\right)^{2}-1$

Utilitzant la relació derivada anteriorment entre $\Delta L$ i $\Delta L'$:

${\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{1-2\nu }-1$

i per a valors molt petits de $\Delta L$ i $\Delta L'$, s'obté l'aproximació de primer ordre:

${\frac {\Delta V}{V}}\approx (1-2\nu ){\frac {\Delta L}{L}}$

Per a materials isòtrops podem utilitzar relació de Lamé

$\nu \approx {\frac {1}{2}}-{\frac {E}{6K}}$

on $K$ és el mòdul de compressibilitat i $E$ és el mòdul de Young.

Canvi d'amplària

Figura 2: Comparació entre les dues fórmules, una per a petites deformacions, una altra per a grans deformacions

Si una vareta amb diàmetre (o amplària, o gruix) d i longitud L està sotmesa a tensió de manera que la seva longitud canviarà en ΔL llavors el seu diàmetre d canviarà en:

${\Delta d \over d}=-\nu {\frac {\Delta L}{L}}$

La fórmula anterior només és vàlida en el cas de deformacions petites; si les deformacions són grans, pot utilitzar-se la següent fórmula (més precisa):

$\Delta d=-d\left(1-{\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)}^{-\nu }\right)$

on $d$ és el diàmetre original $\Delta d$ és el canvi de diàmetre de la vareta $\nu$ és la relació de Poisson $L$ és la longitud original, abans de l'estirament $\Delta L$ és el canvi de longitud.

El valor és negatiu perquè disminueix amb l'augment de la longitud.

Materials característics

Materials isòtrops

Si s'agafa un prisma mecànic fabricat en el material el coeficient de Poisson del qual pretenem mesurar i se sotmet aquest prisma a una força de tracció aplicada sobre les seves bases superior i inferior, el coeficient de Poisson es pot mesurar com: la raó entre l'escurçament d'una longitud situada en un pla perpendicular a l'adreça de la càrrega aplicada, dividit en l'allargament longitudinal produït. Aquest valor coincideix igualment amb el quocient de deformacions, de fet la fórmula usual per al coeficient de Poisson és:

$\nu =-{\frac {\varepsilon _{trans}}{\varepsilon _{long}}}$ o $\nu =-{\frac {\frac {\Delta D}{D_{o}}}{\frac {\Delta L}{L_{o}}}}$

On ε és la deformació.

Per a un material isòtrop elàstic perfectament incompressible, aquest és igual a 0,5. La major part dels materials pràctics en l'enginyeria ronden entre 0,0 i 0,5, encara que existeixen alguns materials composts anomenats materials auxètics que tenen un coeficient de Poisson negatiu. Termodinàmicament, pot provar-se que tot material té coeficients de Poisson en l'interval (-1, 0,5), atès que l'energia elàstica de deformació (per unitat de volum) per a qualsevol material isòtrop al voltant del punt d'equilibri (estat natural) pot escriure's aproximadament com:

$\varepsilon _{def}\approx \varepsilon _{def}+K\left(\sum _{i}\epsilon _{ii}\right)^{2}+G\sum _{i,j}\left(\varepsilon _{ik}-{\frac {\delta _{ij}\varepsilon V}{3}}\right)^{2}+o(\epsilon _{ij}^{3})$

L'existència d'un mínim relatiu de l'energia per a aquest estat d'equilibri requereix:

$K={\frac {E}{3(1-2\nu )}}>0$

$G={\frac {E}{2(1+\nu )}}>0$

Aquesta última condició només es pot complir si el coeficient de Poisson compleix $-1<\nu <0,5$

Llei de Hooke generalitzada

Coneixent l'anterior es pot concloure que en deformar-se un material en una direcció produirà deformacions sobre els altres eixos, la qual cosa al seu torn produirà esforços en tots els eixos. Pel que és possible generalitzar la llei de Hooke com:

${\begin{cases}\varepsilon _{x}={\frac {1}{E}}[\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})]\\\varepsilon _{y}={\frac {1}{E}}[\sigma _{y}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{z})]\\\varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}[\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})]\end{cases}}$

És possible generalitzar la Llei de Hooke (per a forces de compressió) en tres dimensions:

$\varepsilon _{xx}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{xx}-\nu \left(\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right)\right]$

$\varepsilon _{yy}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{yy}-\nu \left(\sigma _{xx}+\sigma _{zz}\right)\right]$

$\varepsilon _{zz}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{zz}-\nu \left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}\right)\right]$

on:

• $\varepsilon _{xx}$, $\varepsilon _{yy}$, i $\varepsilon _{zz}$ són les deformacions en la direcció dels eixos $x$, $i$ i $z$

$\sigma _{xx}$, $\sigma _{yy}$, i $\sigma _{zz}$ són el stress en la direcció dels eixos $x$, $i$ i $z$ $E$ és mòdul de Young (el mateix en totes les adreces: $x$, $i$, i $z$ per a materials isotròpics) $\nu$ és la relació de Poisson (la mateixa en totes les adreces: $x$, $i$ i $z$ per a materials isotròpics)

Materials ortòtrops

Per a materials ortotròpics (com la fusta), el quocient entre la deformació unitària longitudinal i la deformació unitària transversal depèn de la direcció d'estirament, pot comprovar-se que per a un material ortòtrop el coeficient de Poisson aparent pot expressar-se en funció dels coeficients de Poisson associats a tres direccions mútuament perpendiculars. De fet, entre les dotze constants elàstiques habituals que defineixen el comportament d'un material elàstic ortòtrop, només nou d'elles són independents, ja que han de complir-se les restriccions entre els coeficients de Poisson principals i els mòduls de Young principals:

${\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}$

${\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}={\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}$

${\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}={\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}$

Llavors la llei de Hooke es pot expressar en forma matricial com:

${\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}$

on

• $E_{i}$ és el Mòdul de Young al llarg de l'eix $i$
• $G_{ij}$ és el Mòdul de cisallament en direcció $j$ en el pla que la seva normal està en la direcció $i$
• $\nu _{ij}$ és la relació de Poisson que correspon a una contracció en la direcció $j$ quan s'aplica una extensió en direcció $i$.

Transversalment isòtrop

Els materials transversalment isòtrops tenen un pla d'isotropia en el qual les propietats elàstiques són isòtropes. Si suposem que aquest pla d'isotropia és $i-z$, llavors la llei de Hooke presa la forma.

${\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {yz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {zx}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xy}}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}$

on hem utilitzat el pla d'isotropia $i-z$ per a reduir el nombre de constants, és a dir, $E_{i}=E_{z},~\nu _{xy}=\nu _{xz},~\nu _{yx}=\nu _{zx}$.

La simetria dels tensors de tensió i deformació implica que

${\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}={\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}~,~~\nu _{yz}=\nu _{zy}~.$

Això ens deixa amb sis constants independents $E_{x},E_{i},G_{xy},G_{yz},\nu _{xy},\nu _{yz}$. No obstant això, la isotropia transversal dona lloc a una restricció addicional entre $G_{yz}$ i $E_{i},\nu _{yz}$ que és

$G_{yz}={\frac {E_{i}}{2(1+\nu _{yz})}}~.$

Per tant, hi ha cinc propietats elàstiques independents del material, dues de les quals són relacions de Poisson. Per al supòsit pla de simetria, el major de $\nu _{xy}$ i $\nu _{yx}$ és la relació més gran de Poisson. Les altres relacions de Poisson major i menor són iguals.

Valors per a diversos materials

El coeficient de Poisson és adimensional. Per veure el valor del coeficient de Poisson per a diversos materials consultar els valors del coeficient de Poisson de les constants elàstiques de diferents materials.

Materials amb coeficient de Poisson negatiu

Alguns materials coneguts com a augètics presenten coeficients de Poisson negatiu. Quan són sotmesos a deformació positiva en sentit longitudinal, la deformació transversal també serà positiva, és a dir que augmentés l'àrea de la secció. Per a aquests materials, usualment es deu a enllaços moleculars en orientació particular.

Conversions

Fórmules de conversió
Els materials elàstics lineals homogenis isotròpics tenen les seves propietats elàstiques determinades inequívocament per una parella qualsevol dels mòduls d'entre els següents; per tant, donats dos mòduls d'entre els següents, qualsevol dels altres pot ser calculat d'acord amb aquestes fórmules.
	$(\lambda ,\,G)$	$(E,\,G)$	$(K,\,\lambda )$	$(K,\,G)$	$(\lambda ,\,\nu )$	$(G,\,\nu )$	$(E,\,\nu )$	$(K,\,\nu )$	$(K,\,E)$	$(M,\,G)$
$K=\,$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$			${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$			$M-{\tfrac {4G}{3}}$
$E=\,$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$	${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$	$2G(1+\nu )\,$		$3K(1-2\nu )\,$		${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$
$\lambda =\,$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$	${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	$M-2G\,$
$G=\,$			${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$
$\nu =\,$	${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$					${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$M=\,$	$\lambda +2G\,$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$	$3K-2\lambda \,$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$	${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$

Vegeu també

• Mòdul d'elasticitat longitudinal (I)
• Mòdul d'elasticitat transversal (G)

Referències

Bibliografia

• Ortiz Berrocal, L., Elasticitat, McGraw-Hill, 1998, ISBN 84-481-2046-9.