Alexander Muchin gab sein Debüt bei einem FIS-Rennen im Januar 2014 in Almaty und wurde 23. von 65 Startern. Auch in den Folgejahren startete er hauptsächlich auf dieser Rennebene, zudem bestritt er 2015, 2016 und 2018U-23-Langlauf-Weltmeisterschaften. Bestes Ergebnis hierbei war Rang 13 im Skiathlon in Goms 2018, mit der Staffel wurde er zudem Achter. Bestes Resultat im internationalen Seniorenbereich wurde Ende 2017 ein neunter Platz in Kontiolahti über 15 Kilometer Freistil.
Im Frühjahr 2018 vollzog Muchin seinen Wechsel zum Biathlonsport, trat aber bis zum Jahresende noch bei Langlaufbewerben in seiner Heimat an. Sein Debüt im IBU-Cup gab der Kasache im Januar 2019 am Arber, zudem startete er bei den Juniorenwelt- und Europameisterschaften. Über den Sommer verbesserte Muchin sein Schießen klar, sodass er in Ridnaun und Obertilliach erste Top-20-Platzierungen im IBU-Cup erzielte. Seinen Einstand auf der höchsten Rennebene gab er bei den Biathlon-Weltmeisterschaften 2020, auch für die restlichen Weltcuprennen in Nové Město und Kontiolahti stand der Kasache im Aufgebot. Seither ist er Teil der Nationalmannschaft und schloss mit dem Anfang Januar 2021 in Oberhof erzielten 28. Platz im Sprint und den damit gewonnenen Weltcuppunkten fast nahtlos an den unerwarteten Rücktritt Roman Jeremins an, der der zum Zeitpunkt einzige konkurrenzfähige kasachische Biathlet war. Weiterhin wurde Muchin am Saisonende in Östersund Sprint-30., schloss den Winter auf Weltranglistenplatz 71 ab und verpasste im August bei den Sommerbiathlonweltmeisterschaften als Vierter der Verfolgung seine erste Medaille nur um gut eine Sekunde.
Im Winter 2023/24 steigerte sich Muchin erheblich. Mit Ausnahme von fünf Wettkämpfen klassierte er sich in jedem teilgenommenen Rennen unter den besten 40, erreichte in der Lenzerheide nach zwei Top-30-Ergebnissen erstmals einen Massenstart und lief Anfang Januar im Sprint von Oberhof trotz eines Schießfehlers auf Rang 16, was sein mit Abstand bestes Individualergebnis darstellte. Bei den Weltmeisterschaften kam als Bestresultat Rang 28 im Verfolger zustande; zudem lief er gemeinsam mit Wladislaw Kirejew, Ässet Düissenow und Nikita Akimow auf Platz zehn, was das stärkste Abschneiden einer kasachischen Herrenstaffel seit März 2017 darstellte. Maßgeblich dafür war die Leistung Muchins, der als Startläufer als drittplatzierter Athlet auf Kirejew übergab. Am Saisonende belegte er den 33. Rang in der Gesamtwertung, womit er nicht nur seine eigene Bestmarke aufstellte, sondern Dmitri Pantows 43. Platz im Winter 1994/95 unterbot und somit die höchste Weltranglistenplatzierung eines kasachischen Herren in der Weltcupgeschichte erreichte.
In den Saisons 2024/25 und 2025/26 erzielte Muchin überraschend keinen einzigen Weltcuppunkt, dafür waren sowohl eine verschlechterte Lauf- als auch Schießform verantwortlich. Lediglich bei den Asienspielen 2025 gelang ihm mit der Staffel der Gewinn der Silbermedaille, im Februar beendete er die Saison vorzeitig. 2025/26 wurde er sogar teilweise im IBU-Cup eingesetzt, verpasste aber auch dort vordere Platzierungen deutlich. Für die Olympischen Spiele in Italien fand er keine Berücksichtigung.
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