헨젤 환

가환대수학에서 헨젤 환(Hensel環, 영어: Henselian ring)은 잉여류체에서의 다항식의 근이 환에서의 근으로 항상 올려질 수 있는 가환환이다.

정의

국소 가환환 $(R,{\mathfrak {m}},\kappa )$이 주어졌다고 하자. (여기서 ${\mathfrak {m}}$은 $R$의 유일한 극대 아이디얼이며, $\kappa =R/{\mathfrak {m}}$은 그 잉여류체이다.) 그렇다면, 몫 사상 $R\to \kappa$으로 유도되는, 다항식환 사이의 환 준동형

$\phi \colon R[x]\to \kappa [x]$

이 존재한다.

임의의 일계수 다항식 $p\in R[x]$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $\phi (p)\in \kappa [x]$ 역시 일계수 다항식이다. 체 계수의 다항식환은 유일 인수 분해 정역이므로, $\phi (p)$는 다음과 같이 일계수 기약 다항식들의 곱으로 (순서를 무시하면 유일하게) 표현된다.

$\phi (p)={\tilde {q}}_{1}{\tilde {q}}_{2}\dotsm {\tilde {q}}_{k}$

${\tilde {q}}_{1},{\tilde {q}}_{2},\dotsc ,{\tilde {q}}_{k}\in \kappa [x]$

(반면, 일반적 국소 가환환 위의 다항식환은 일반적으로 유일 인수 분해 정역이 아니다.)

이제, 이 인수 분해가 $R[x]$에서 유래하는지, 즉

$\phi (q_{i})={\tilde {q}}_{i}\qquad (i\in \{1,\dotsc ,k\})$

$p=q_{1}q_{2}\dotsm q_{k}$

가 되는 $(q_{i})_{i\in \{1,\dotsc ,k\}}$가 존재하는지 여부를 생각할 수 있다.

특히, 만약 ${\tilde {q}}_{i}=(x-{\tilde {a}}_{i})$인지 여부를 생각할 수 있다. 이 경우, $q_{i}=(x-a_{i})$라면, $\kappa$ 계수에서 존재하는 근 ${\tilde {a}}_{i}$가 $R$에서도 존재한다는 것이 된다.

국소 가환환 $(R,{\mathfrak {m}},\kappa )$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 가환환을 헨젤 국소환(Hensel局所環, 영어: Henselian local ring)이라고 한다.

• 임의의 일계수 다항식 $p\in R[x]$ 및 $\phi (p)({\tilde {a}})=0$이며 $(\mathrm {d} \phi (p)/\mathrm {d} x)({\tilde {a}})\neq 0$인 ${\tilde {a}}\in \kappa$에 대하여, $p(a)=0$이자 $\phi (a)={\tilde {a}}$인 $a\in R$가 존재한다.
• 임의의 일계수 다항식 $p\in R[x]$ 및 $\phi (p)({\tilde {a}})=0$이며 $(\mathrm {d} \phi (p)/\mathrm {d} x)({\tilde {a}})\neq 0$인 ${\tilde {a}}\in \kappa$에 대하여, $p(a)=0$이자 $\phi (a)={\tilde {a}}$인 $a\in R$가 유일하게 존재한다.
• 임의의 일계수 다항식 $p\in R[x]$ 및 ${\tilde {q}}{\tilde {r}}=\phi (p)$인 ${\tilde {q}},{\tilde {r}}\in \kappa [x]$에 대하여, 만약 $\textstyle \gcd _{\kappa [x]}\{{\tilde {q}},{\tilde {r}}\}=1$이라면, $\phi (q)={\tilde {q}}$, $\phi (r)={\tilde {r}}$, $p=qr$인 $q,r\in R[x]$가 존재한다.

순 헨젤 국소환

만약 헨젤 국소환 $(R,{\mathfrak {m}},\kappa )$의 잉여류체 $\kappa$가 스스로의 분해 가능 폐포라면 ($\kappa =\kappa ^{\operatorname {sep} }$), $R$를 순 헨젤 국소환(純Hensel局所環, 영어: strictly Henselian local ring)이라고 한다.

헨젤 환

헨젤 환은 유한 개의 헨젤 국소환들의 직접곱과 동형인 가환환이다.

성질

헨젤 국소환의 범주 $\operatorname {HensLocRing}$는 국소 가환환과 국소환 준동형의 범주 $\operatorname {CLocRing}$의 충만한 부분 범주를 이루며, 이는 또한 반사 부분 범주를 이룬다. 즉, 포함 함자 $\operatorname {HensLocRing} \hookrightarrow \operatorname {CLocRing}$의 왼쪽 수반 함자

$(-)^{\operatorname {h} }\colon \operatorname {CLocRing} \to \operatorname {HensLocRing}$

가 존재한다. 이를 국소 가환환의 헨젤화(Hensel化, 영어: henselization)라고 한다. 즉, 국소 가환환 $R$에 대하여, 다음 보편 성질을 만족시키는 헨젤 국소환 $(R^{\operatorname {h} },{\mathfrak {m}}^{\operatorname {h} })$ 및 국소환 준동형

$\operatorname {h} \colon R\to R^{\operatorname {h} }$

이 항상 존재하며, 이를 $R$의 헨젤화라고 한다.

• 임의의 헨젤 국소환 $(R',{\mathfrak {m}}')$ 및 국소환 준동형 $f\colon R\to R'$에 대하여, $f=g\circ \operatorname {h}$인 국소환 준동형 $g\colon R^{\operatorname {h} }\to R'$이 유일하게 존재한다.

반면, 순 헨젤 국소환의 범주는 반사 부분 범주를 이루지 않는다. 임의의 국소 가환환의 순 헨젤화(영어: strict henselization)를 정의할 수 있으며 이는 동형 아래 유일하지만, 이는 자기 동형을 가져 보편 성질을 만족시키지 않는다.

예

다음과 같은 환들은 헨젤 환이다.

• 임의의 체
• 임의의 완비 국소환
  • $p$진 정수환 $\mathbb {Z} _{p}$
  • 체 $K$에 대하여, 형식적 멱급수환 $K[[x]]$
• 실수체나 복소수체 위의, 수렴하는 거듭제곱 급수들의 환

p진 정수환의 헨젤 보조 정리

임의의 소수 $p$에 대하여, p진 정수환 $\mathbb {Z} _{p}$은 국소 가환환이며, 그 극대 아이디얼은 $(p)$이며, 잉여류체는 유한체 $\mathbb {F} _{p}$이다. 이 경우, 헨젤 보조 정리에 따르면, 임의의 일계수 다항식이 $\mathbb {F} _{p}$ 계수의 근의 근을 가지며, 이 근에서 기울기가 0이 아니라면, 이 근은 $\mathbb {Z} _{p}$ 계수의 근으로 올려질 수 있다. 사실

$\mathbb {Z} _{p}=\varprojlim _{n\to \infty }\mathbb {F} _{p^{n}}$

이므로, 이는 임의의 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여 $\mathbb {F} _{p^{n}}$ 계수의 근을 갖는다는 것과 동치이다.

이는 합동 산술의 용어로 다음과 같이 쓸 수 있다. 임의의 정수 계수 다항식 $q\in \mathbb {Z} [x]$이 주어졌으며, 어떤 임의의 정수 ${\tilde {a}}\in \mathbb {Z}$에 대하여

$q({\tilde {a}})\equiv 0{\pmod {p}}$

${\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} x}}({\tilde {a}})\not \equiv 0{\pmod {p}}$

라고 하자. 그렇다면, 임의의 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여,

$q(a_{n})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}$

인 $a_{n}\in \mathbb {Z}$이 존재한다.

$p$진 정수의 경우, 헨젤 보조 정리는 사실 일종의 뉴턴 방법에 해당한다. 구체적으로, 만약

$q(a_{k})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}$

$(\mathrm {d} q/\mathrm {d} x)(a_{k})\not \equiv 0{\pmod {p^{k}}}$

인 $a_{k}\in \mathbb {Z}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면

$a_{k+1}=a_{k}-{\frac {q(a_{k})}{(\mathrm {d} q/\mathrm {d} x)(a_{k})}}$

로 놓자. 이는 일반적으로 정수가 아니지만, 가정에 의하여 $((\mathrm {d} q/\mathrm {d} x)(a_{k}))^{-1}$는 $p$진 정수이며, 따라서 $a_{k+1}$은 $p$진 정수로서 존재한다. 그렇다면 매클로린 급수에 따라서

$q(a_{k})\equiv a_{k}+{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} x}}(a_{k}){\pmod {p^{k+1}}}$

이 된다. 이 과정을 반복하면 어떤 유일한 $p$진 정수 $a_{\infty }$로 수렴하는 수열 $a_{1},a_{2},\dotsc$을 얻는다.

응용

대수기하학에서, 국소환이 자리스키 위상에서의 줄기환인 것처럼, 니스네비치 위상에서의 "국소환"은 헨젤 국소환이며, 에탈 위상에서의 "국소환"은 순 헨젤 국소환이다.

역사

쿠르트 헨젤이 20세기 초에 (현대적인 용어로는) $p$진 정수환 $\mathbb {Z} _{p}$가 헨젤 국소환임을 증명하였다. 1951년에 아즈마야 고로가 이를 추상화하여 헨젤 환의 개념을 도입하였다.

나가타 마사요시가 1953년에 헨젤화의 존재를 증명하였다.

각주

• Kurke, H.; Pfister, G.; Roczen, M. (1975). 《Henselsche Ringe und algebraische Geometrie》. Mathematische Monographien (독일어) 2. Volkseigener Betrieb Deutscher Verlag der Wissenschaften. MR 0491694. 
• Raynaud, Michel (1970). 《Anneaux locaux henséliens》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 169. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0069571. ISBN 978-3-540-05283-8. ISSN 0075-8434. MR 0277519. 

외부 링크

• “Hensel ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hensel lemma”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hensel’s lemma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Henselian ring”. 《nLab》 (영어). 
• “§10.148 Henselian local rings”. 《The Stacks Project》 (영어).