토리첼리의 정리

토리첼리의 정리(Torricelli's theorem)는 수조 측면 하부의 대기와 개방된 비교적 작은 구멍을 통하여 유출되는 유체(Fluid)의 속도(Velocity) 값을 계산하는 공식으로, 이 때 구멍이 작아 수조의 수위 하강 속도는 무시하고 계산한다. 베르누이 정리 중 비압축성 흐름(incompressible flow) 방정식의 변형된 수식이다.

공식

기본 공식:

$\Rightarrow v={\sqrt {2gh}}$

v(m/s) - 유체 속도

g(m/s²)- 중력가속도

h(m) - 기준점에서의 높이

아래와 같은 공식에서 유도됩니다. (단, 위의 h는 아래의 z 와 같습니다. 기호만 다름)

${v^{2} \over 2}+gz+{p \over \rho }={\text{constant}}$

$gz+{p_{atm} \over \rho }={v^{2} \over 2}+{p_{atm} \over \rho }$

$\Rightarrow v^{2}=2gz\,$ :$\Rightarrow v={\sqrt {2gz}}$

조건

비압축성 유체(incompressible fluid), 비점성 유체(inviscid fluid), 대기(1atm : atmosphere)에 개방, 수위의 하강 속도를 무시할 정도의 작은 구멍(토출구)

h₁은 기준면(수조바닥)에서 수조 수위까지의 높이

h₂는 기준면(수조바닥)에서 토출면(작은 구멍)까지의 높이

h는 토출면(작은 구멍)에서 수조 수위까지의 높이

베르누이 방정식에서의 유도

ν₁²/2 + gh₁ + p₁/ρ = ν₂²/2 + gh₂ + p₂/ρ 에서

• p₁ 과 p₂는 모두 대기압 상태이므로 같은 값을 가지고, ρ는 비압축성유체로 정의 되므로 p₁/ρ 와 p₂/ρ는 동일한 값을 가짐

→ ν₁²/2 + gh₁ + p₁/ρ = ν₂²/2 + gh₂ + p₂/ρ → ν₁²/2 + gh₁ = ν₂²/2 + gh₂

• ν₁ 은 주어진 공식의 조건에서 수위의 하강 속도를 무시하므로 0으로 간주함

→ ν₁²/2 + gh₁ = ν₂²/2 + gh₂ → gh₁ = ν₂²/2 + gh₂ → gh₁ - gh₂ = ν₂²/2 → g(h₁-h₂) = ν₂²/2

• h₁-h₂는 토출면(작은 구멍)에서 수조 수위까지의 높이이므로

→ g(h₁-h₂) = ν₂²/2 → gh = ν₂²/2 → ν₂²/2 = gh

• 양변에 2를 곱하면

→ ν₂² = 2gh → ν = √2gh 로 유도됨.

같이 보기

• 다르시의 법칙
• 동압
• 푸아죄유의 법칙
• 나비에-스토크스 방정식
• 파스칼의 원리
• 포텐셜 유동
• 압력
• 크리핑 유동
• 스트로스 흐름 상수
• 유동 함수

참고 문헌

• 김경호. 〈6.4 베르누이 방정식의 응용〉. 《수리학》 초판. 한티미디어.