선형 형식

수학에서 선형 형식(線形形式, linear form, 선형 범함수(線形汎函數, linear functional), 일차 형식(一次形式, one-form), 또는 공변 벡터(共變-, covector)라고도 불림)은 벡터 공간에서 스칼라의 체(종종 실수 또는 복소수)로 가는 선형 변환이다.

V가 체 k 위의 벡터 공간일 때, V에서 k로 가는 모든 선형 범함수의 집합은 점별 덧셈과 스칼라 곱셈이 정의된 체 k 위의 벡터 공간이다. 이 공간은 V의 쌍대 공간이라고 불리며, 때로는 위상 쌍대 공간이 함께 고려될 때 대수적 쌍대 공간이라고도 불린다. 이는 종종 Hom(V, k)로 표기되거나, 체 k가 암시될 때는 $V^{*}$로 표기된다. $V'$, $V^{\#}$ 또는 $V^{\vee }$와 같은 다른 표기도 사용된다. 벡터가 열 벡터로 표현될 때(일반적으로 기저가 고정된 경우), 선형 범함수는 행 벡터로 표현되며, 특정 벡터에 대한 값은 행렬 곱으로 주어진다(행 벡터가 왼쪽에 위치).

예시

모든 벡터를 0으로 매핑하는 상수 영 함수는 자명하게 선형 범함수이다. 다른 모든 선형 범함수(아래에 있는 것과 같은)는 전사이다(즉, 그 치역은 모든 k이다).

• 벡터의 색인화: 3차원 벡터의 두 번째 요소는 $[0,1,0]$이라는 일차 형식으로 주어진다. 즉, $[x,y,z]$의 두 번째 요소는 $$[0,1,0]\cdot [x,y,z]=y.$$
• 평균: $n$차원 벡터의 평균 요소는 $\left[1/n,1/n,\ldots ,1/n\right]$라는 일차 형식으로 주어진다. 즉, $$\operatorname {mean} (v)=\left[1/n,1/n,\ldots ,1/n\right]\cdot v.$$
• 표본화: 커널을 이용한 표본화는 일차 형식으로 간주될 수 있으며, 여기서 일차 형식은 적절한 위치로 이동된 커널이다.
• 순 현금흐름, $R(t),$의 순현재가치는 $w(t)=(1+i)^{-t}$라는 일차 형식으로 주어지며, 여기서 $i$는 할인율이다. 즉, $$\mathrm {NPV} (R(t))=\langle w,R\rangle =\int _{t=0}^{\infty }{\frac {R(t)}{(1+i)^{t}}}\,dt.$$

Rⁿ에서의 선형 범함수

실수 좌표 공간 $\mathbb {R} ^{n}$의 벡터가 열 벡터로 표현된다고 가정하자. $$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.$$

각 행 벡터 $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}$에 대해 $$f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},$$ 로 정의되는 선형 범함수 $f_{\mathbf {a} }$가 존재하며, 모든 선형 범함수는 이 형태로 표현될 수 있다.

이는 행 벡터 $\mathbf {a}$와 열 벡터 $\mathbf {x}$의 행렬 곱 또는 스칼라곱으로 해석될 수 있다. $$f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.$$

정사각 행렬의 대각합

정사각 행렬 $A$의 대각합 $\operatorname {tr} (A)$은 주대각선에 있는 모든 요소의 합이다. 행렬은 스칼라로 곱할 수 있고, 같은 차원의 두 행렬은 더할 수 있다. 이러한 연산은 모든 $n\times n$ 행렬의 집합을 벡터 공간으로 만든다. 대각합은 이 공간에 대한 선형 범함수이다. 왜냐하면 모든 스칼라 $s$와 모든 $n\times n$ 행렬 $A{\text{와 }}B$에 대해 $\operatorname {tr} (sA)=s\operatorname {tr} (A)$ 및 $\operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)$이기 때문이다.

(정)적분

선형 범함수는 함수해석학 (함수들의 벡터 공간 연구)에서 처음 등장했다. 선형 범함수의 대표적인 예는 적분이다. 리만 적분으로 정의된 선형 변환 $$I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$$ 는 구간 $[a,b]$에서 연속 함수들의 벡터 공간 $C[a,b]$에서 실수로 가는 선형 범함수이다. $I$의 선형성은 적분에 대한 표준 사실들로부터 따른다. $${\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).\end{aligned}}$$

평가

$P_{n}$을 구간 $[a,b]$에서 정의된 $\leq n$차의 실수값 다항 함수들의 벡터 공간이라고 하자. 만약 $c\in [a,b]$라면, $\operatorname {ev} _{c}:P_{n}\to \mathbb {R}$를 평가 범함수라고 하자. $$\operatorname {ev} _{c}f=f(c).$$ 매핑 $f\mapsto f(c)$는 선형이다. 왜냐하면 $${\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c)\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}$$ 이기 때문이다.

만약 $x_{0},\ldots ,x_{n}$이 $[a,b]$에서 서로 다른 $n+1$개의 점이라면, 평가 범함수 $\operatorname {ev} _{x_{i}},$ $i=0,\ldots ,n$은 $P_{n}$의 쌍대 공간의 기저를 형성한다 (Lax (1996)는 라그랑주 보간법을 사용하여 이 마지막 사실을 증명한다).

비-예시

$a\neq 0$인 직선의 방정식 $f(x)=a+rx$ (예를 들어, $f(x)=1+2x$)을 갖는 함수 $f$는 $\mathbb {R}$에 대한 선형 범함수가 아니다. 왜냐하면 선형이 아니기 때문이다. 그러나 아핀 선형이다.

시각화

1차 형식 α의 기하학적 해석은 상수 값의 초평면들의 스택으로, 각 초평면은 α가 특정 스칼라 값으로 매핑하는 벡터에 해당하며, 증가의 "방향"과 함께 옆에 표시된다.      영 평면은 원점을 통과한다.

유한 차원에서 선형 범함수는 특정 값으로 매핑되는 벡터들의 집합인 레벨 집합으로 시각화될 수 있다. 3차원에서 선형 범함수의 레벨 집합은 서로 평행한 평면들의 집합이며, 고차원에서는 평행한 초평면이다. 선형 범함수를 시각화하는 이 방법은 종종 Misner, Thorne & Wheeler (1973)의 Gravitation과 같은 일반 상대성이론 서적에서 소개된다.

응용

구적법에의 응용

만약 $x_{0},\ldots ,x_{n}$이 [a, b]에서 $n+1$개의 서로 다른 점이라면, 위에 정의된 선형 범함수 $\operatorname {ev} _{x_{i}}:f\mapsto f\left(x_{i}\right)$는 $\leq n$차 다항식 공간인 P_n의 쌍대 공간의 기저를 형성한다. 적분 범함수 I 또한 P_n에 대한 선형 범함수이므로, 이 기저 요소들의 선형 결합으로 표현될 수 있다. 즉, 모든 $f\in P_{n}$에 대해 $$I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})$$ 인 계수 $a_{0},\ldots ,a_{n}$이 존재한다. 이것이 수치 구적법 이론의 기초를 이룬다.

양자 역학에서

선형 범함수는 양자 역학에서 특히 중요하다. 양자 역학 시스템은 힐베르트 공간으로 표현되며, 이는 자신들의 쌍대 공간과 반동형이다. 양자 역학 시스템의 상태는 선형 범함수와 동일시될 수 있다. 더 자세한 정보는 브라-켓 표기법을 참조하라.

분포

초함수 이론에서, 분포라고 불리는 특정 종류의 초함수는 시험 함수 공간에 대한 선형 범함수로 실현될 수 있다.

쌍대 벡터와 쌍선형 형식

3차원 유클리드 공간에서 선형 범함수(1차 형식) α, β 및 그 합 σ와 벡터 u, v, w. 벡터와 교차하는 (1차 형식) 초평면의 수는 스칼라곱과 같다.

유한 차원 벡터 공간 V에 대한 모든 비퇴화 쌍선형 형식은 동형 사상 V → V^∗ : v ↦ v^∗를 유도한다. $$v^{*}(w):=\langle v,w\rangle \quad \forall w\in V,$$

여기서 V에 대한 쌍선형 형식은 $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle$로 표기된다 (예를 들어, 유클리드 공간에서 $\langle v,w\rangle =v\cdot w$는 v와 w의 스칼라곱이다).

역 동형 사상은 V^∗ → V : v^∗ ↦ v이다. 여기서 v는 모든 $w\in V$에 대해 $$\langle v,w\rangle =v^{*}(w)$$ 를 만족하는 V의 유일한 원소이다.

위에 정의된 벡터 v^∗ ∈ V^∗는 $v\in V$의 쌍대 벡터라고 불린다.

무한 차원 힐베르트 공간에서는 리스 표현 정리에 의해 유사한 결과가 성립한다. V에서 그 연속 쌍대 공간 V^∗로 가는 매핑 V ↦ V^∗가 존재한다.

기저와의 관계

쌍대 공간의 기저

벡터 공간 V가 반드시 직교하지 않아도 되는 기저 $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}$을 가진다고 하자. 그러면 쌍대 공간 $V^{*}$는 다음과 같은 특별한 성질로 정의되는 쌍대 기저 ${\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}$를 가진다. $${\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\begin{cases}1&{\text{if}}\ i=j\\0&{\text{if}}\ i\neq j.\end{cases}}$$

또는 더 간결하게, $${\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{ij}$$

여기서 $\delta _{ij}$는 크로네커 델타이다. 여기서 기저 범함수의 위첨자는 지수가 아니라 반변 인덱스이다.

쌍대 공간 ${\tilde {V}}$에 속하는 선형 범함수 ${\tilde {u}}$는 계수("성분") u_i를 가지는 기저 범함수의 선형 결합으로 표현될 수 있다. $${\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}.$$

그러면 범함수 ${\tilde {u}}$를 기저 벡터 $\mathbf {e} _{j}$에 적용하면 다음과 같다. $${\tilde {u}}(\mathbf {e} _{j})=\sum _{i=1}^{n}\left(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}\right)\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left(\mathbf {e} _{j}\right)\right]$$

이는 범함수의 스칼라 배의 선형성과 범함수 합의 점별 선형성 때문이다. 그러면 $${\begin{aligned}{\tilde {u}}({\mathbf {e} }_{j})&=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\mathbf {e} }_{j}\right)\right]\\&=\sum _{i}u_{i}{\delta }_{ij}\\&=u_{j}.\end{aligned}}$$

따라서 선형 범함수의 각 성분은 해당 기저 벡터에 범함수를 적용함으로써 추출될 수 있다.

쌍대 기저와 내적

공간 V가 내적을 가질 때, 주어진 기저에 대한 쌍대 기저의 공식을 명시적으로 작성할 수 있다. V가 (반드시 직교하지는 않는) 기저 $\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}$을 가진다고 하자. 3차원 (n = 3)에서 쌍대 기저는 명시적으로 다음과 같이 쓸 수 있다. $${\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\left\langle {\frac {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}\,(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})}{\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}},\mathbf {v} \right\rangle ,$$ 여기서 $i=1,2,3,$ ε은 레비치비타 기호이고 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$는 V에 대한 내적 (또는 스칼라곱)이다.

고차원에서는 다음과 같이 일반화된다. $${\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )=\left\langle {\frac {\sum _{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star \mathbf {e} _{i_{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{i_{n}})}{\star (\mathbf {e} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n})}},\mathbf {v} \right\rangle ,$$ 여기서 $\star$는 호지 쌍대이다.

환 위에서

가군은 계수가 체에 속한다는 제약을 제거한 벡터 공간의 일반화이다. 환 R 위의 가군 M이 주어졌을 때, M에 대한 선형 형식은 M에서 R로 가는 선형 변환이며, 후자는 자기 자신 위의 가군으로 간주된다. 선형 형식의 공간은 k가 체이든 아니든 항상 Hom_k(V, k)로 표기된다. V가 왼쪽 가군이면 그것은 오른쪽 가군이다.

가군에 "충분한" 선형 형식의 존재는 사영성과 동등하다.

이중 기저 보조 정리—R-가군 M은 사영적이다. 만약 그리고 오직 만약 $A\subset M$인 부분집합과 선형 형식 $\{f_{a}\mid a\in A\}$가 존재하여, 모든 $x\in M$에 대해 유한히 많은 $f_{a}(x)$만이 0이 아니고, 다음이 성립할 때이다. $$x=\sum _{a\in A}{f_{a}(x)a}$$

체의 변경

 선형 복소 구조 및 복소화 문서를 참고하십시오.

$X$가 $\mathbb {C}$ 위의 벡터 공간이라고 가정하자. 스칼라 곱셈을 $\mathbb {R}$로 제한하면 $X$의 실수화라고 불리는 실수 벡터 공간 $X_{\mathbb {R} }$가 생긴다. $\mathbb {C}$ 위의 모든 벡터 공간 $X$는 복소 구조를 갖춘 $\mathbb {R}$ 위의 벡터 공간이기도 하다. 즉, $X=X_{\mathbb {R} }\oplus X_{\mathbb {R} }i$를 $\mathbb {R}$-벡터 공간으로 (형식적으로) 쓸 수 있는 실수 벡터 부분 공간 $X_{\mathbb {R} }$이 존재한다.

실수 대 복소수 선형 범함수

$X$의 모든 선형 범함수는 복소수 값을 가지는 반면, $X_{\mathbb {R} }$의 모든 선형 범함수는 실수 값을 가진다. 만약 $\dim X\neq 0$이면, $X$ 또는 $X_{\mathbb {R} }$ 중 어느 하나에 대한 선형 범함수는 비자명하다 (즉, 항등적으로 $0$이 아님). 이것은 전사일 때만 그러하며 (왜냐하면 $\varphi (x)\neq 0$이면 어떤 스칼라 $s$에 대해 $\varphi \left((s/\varphi (x))x\right)=s$이기 때문), $X$에 대한 선형 범함수의 상은 $\mathbb {C}$이고 $X_{\mathbb {R} }$에 대한 선형 범함수의 상은 $\mathbb {R}$이다. 결과적으로, $X$에서 선형 범함수이면서 $X_{\mathbb {R} }$에서 선형 함수인 유일한 함수는 자명한 범함수이다. 다시 말해, $X^{\#}\cap X_{\mathbb {R} }^{\#}=\{0\}$이며, 여기서 $\,{\cdot }^{\#}$는 공간의 대수적 쌍대 공간을 나타낸다. 그러나 $X$에 대한 모든 $\mathbb {C}$-선형 범함수는 $\mathbb {R}$-선형 연산자이다 (즉, 가법적이고 $\mathbb {R}$에 대해 동차적이다). 그러나 항등적으로 $0$이 아닌 한 $X$에 대한 $\mathbb {R}$-선형 범함수는 아니다. 왜냐하면 그 범위($\mathbb {C}$)가 $\mathbb {R}$에 대해 2차원이기 때문이다. 반대로, 0이 아닌 $\mathbb {R}$-선형 범함수는 범위가 너무 작아서 $\mathbb {C}$-선형 범함수가 될 수 없다.

실수부와 허수부

$\varphi \in X^{\#}$이면, 그 실수부를 $\varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi$로, 그 허수부를 $\varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi$로 표기한다. 그러면 $\varphi _{\mathbb {R} }:X\to \mathbb {R}$ 및 $\varphi _{i}:X\to \mathbb {R}$는 $X_{\mathbb {R} }$에 대한 선형 범함수이며 $\varphi =\varphi _{\mathbb {R} }+i\varphi _{i}$이다. 모든 $z\in \mathbb {C}$에 대해 $z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz)=\operatorname {Im} (iz)+i\operatorname {Im} z$라는 사실은 모든 $x\in X$에 대해 다음을 의미한다. $${\begin{alignedat}{4}\varphi (x)&=\varphi _{\mathbb {R} }(x)-i\varphi _{\mathbb {R} }(ix)\\&=\varphi _{i}(ix)+i\varphi _{i}(x)\\\end{alignedat}}$$ 결과적으로, $\varphi _{i}(x)=-\varphi _{\mathbb {R} }(ix)$ 및 $\varphi _{\mathbb {R} }(x)=\varphi _{i}(ix)$이다.

할당 $\varphi \mapsto \varphi _{\mathbb {R} }$은 전단사 $\mathbb {R}$-선형 연산자 $X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}$를 정의하며, 그 역함수는 $g\mapsto L_{g}$라는 할당으로 정의되는 맵 $L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}$이다. 이 맵은 $g:X_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R}$를 다음으로 정의되는 선형 범함수 $L_{g}:X\to \mathbb {C}$로 보낸다. $$L_{g}(x):=g(x)-ig(ix)\quad {\text{ for all }}x\in X.$$ $L_{g}$의 실수부는 $g$이고, 전단사 $L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}$는 $\mathbb {R}$-선형 연산자이다. 즉, 모든 $r\in \mathbb {R}$ 및 $g,h\in X_{\mathbb {R} }^{\#}$에 대해 $L_{g+h}=L_{g}+L_{h}$ 및 $L_{rg}=rL_{g}$를 의미한다. 마찬가지로 허수부에 대해서도, 할당 $\varphi \mapsto \varphi _{i}$는 $\mathbb {R}$-선형 전단사 $X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}$를 유도하며, 그 역함수는 $I\in X_{\mathbb {R} }^{\#}$를 $x\mapsto I(ix)+iI(x)$로 정의되는 $X$에 대한 선형 범함수로 보내는 맵 $X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}$이다.

이 관계는 1934년 헨리 뢰비히에 의해 발견되었으며 (비록 보통 F. 머레이에게 공이 돌려지지만), 자연스러운 방식으로 임의의 유한 체 확장으로 일반화될 수 있다. 이는 많은 중요한 결과를 가져오며, 그 중 일부는 이제 설명될 것이다.

속성 및 관계

$\varphi :X\to \mathbb {C}$가 실수부 $\varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi$와 허수부 $\varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi$를 갖는 $X$에 대한 선형 범함수라고 가정하자.

그러면 $\varphi =0$은 $\varphi _{\mathbb {R} }=0$과 동치이며, 이는 $\varphi _{i}=0$과도 동치이다.

$X$가 위상 벡터 공간이라고 가정하자. 그러면 $\varphi$는 연속이다. 만약 그리고 오직 만약 그 실수부 $\varphi _{\mathbb {R} }$가 연속인 경우에만, 또는 $\varphi$의 허수부 $\varphi _{i}$가 연속인 경우에만 그러하다. 즉, $\varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },$ 및 $\varphi _{i}$ 세 가지 모두 연속이거나 모두 연속이 아니다. 이 사실은 "연속"이라는 단어를 "유계"라는 단어로 대체해도 여전히 유효하다. 특히, $\varphi \in X^{\prime }$는 $\varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }$와 동치이며, 여기서 프라임은 공간의 연속 쌍대 공간을 나타낸다.

$B\subseteq X$라고 하자. 만약 모든 단위 길이 (즉, $|u|=1$)의 스칼라 $u\in \mathbb {C}$에 대해 $uB\subseteq B$라면,틀:그룹 각주 $$\sup _{b\in B}|\varphi (b)|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|.$$ 마찬가지로, 만약 $\varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi :X\to \mathbb {R}$가 $\varphi$의 복소수 부분을 나타낸다면, $iB\subseteq B$는 다음을 의미한다. $$\sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{i}(b)\right|.$$ $X$가 노름 $\|\cdot \|$을 갖는 노름 공간이고 $B=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$가 닫힌 단위 공이라면, 위의 상한은 $\varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },$ 및 $\varphi _{i}$의 작용소 노름 (일반적인 방식으로 정의됨)이므로 $$\|\varphi \|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\varphi _{i}\right\|.$$ 이 결론은 일반적인 위상 벡터 공간에서 극집합의 균형 집합에 대한 유사한 명제로 확장된다.

• $X$가 첫 번째 좌표에서 반선형인 (복소수) 내적 $\langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle$을 갖는 복소수 힐베르트 공간이라고 가정하자 (두 번째 좌표에서는 선형). 그러면 $X_{\mathbb {R} }$는 $\langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle$의 실수부를 갖는 실수 힐베르트 공간이 된다. 명시적으로, $X_{\mathbb {R} }$에 대한 이 실수 내적은 모든 $x,y\in X$에 대해 $\langle x|y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \langle x|y\rangle$로 정의되며, 이는 모든 벡터 $x$에 대해 ${\sqrt {\langle x|x\rangle _{\mathbb {R} }}}={\sqrt {\langle x|x\rangle }}$이기 때문에 $\langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle$와 동일한 노름을 $X$에 유도한다. $\varphi \in X^{\prime }$ (각각 $\varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }$)에 리스 표현 정리를 적용하면, 모든 벡터 $x$에 대해 $\varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }|\,x\right\rangle$ (각각 $\varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}|\,x\right\rangle _{\mathbb {R} }$)가 되는 유일한 벡터 $f_{\varphi }\in X$ (각각 $f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\in X_{\mathbb {R} }$)의 존재를 보장한다. 이 정리는 또한 $\left\|f_{\varphi }\right\|=\|\varphi \|_{X^{\prime }}$ 및 $\left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$임을 보장한다. $f_{\varphi }=f_{\varphi _{\mathbb {R} }}$임을 쉽게 확인할 수 있다. 이제 $\left\|f_{\varphi }\right\|=\left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|$이고 이전 등식들은 $\|\varphi \|_{X^{\prime }}=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$임을 의미하며, 이는 위에서 도달한 결론과 동일하다.

무한 차원에서

 연속 선형 연산자 문서를 참고하십시오.

아래의 모든 벡터 공간은 실수 $\mathbb {R}$ 또는 복소수 $\mathbb {C}$ 위에 있다.

$V$가 위상 벡터 공간인 경우, 연속 선형 범함수의 공간 — 연속 쌍대 공간 —은 종종 단순히 쌍대 공간이라고 불린다. $V$가 바나흐 공간인 경우, 그 (연속) 쌍대 공간도 바나흐 공간이다. 일반적인 쌍대 공간과 연속 쌍대 공간을 구별하기 위해 전자를 때때로 대수적 쌍대 공간이라고 부른다. 유한 차원에서는 모든 선형 범함수가 연속이므로 연속 쌍대 공간은 대수적 쌍대 공간과 같지만, 무한 차원에서는 연속 쌍대 공간이 대수적 쌍대 공간의 적절한 부분 공간이다.

(반드시 국소 볼록하지 않은) 위상 벡터 공간 X에 대한 선형 범함수 f는 연속이다. 만약 그리고 오직 만약 $|f|\leq p$를 만족하는 X에 대한 연속 반노름 p가 존재하는 경우에만 그러하다.

닫힌 부분 공간 특징화

연속 선형 범함수는 실해석학에 유용한 특성을 가진다. 선형 범함수는 핵이 닫혀 있을 때만 연속이며, 비자명 연속 선형 범함수는 (위상) 벡터 공간이 완비가 아니더라도 열린 사상이다.

초평면과 극대 부분 공간

$X$의 벡터 부분 공간 $M$은 극대라고 불린다. 만약 $M\subsetneq X$ (즉 $M\subseteq X$이고 $M\neq X$)이고, $M\subsetneq N\subsetneq X$인 $X$의 벡터 부분 공간 $N$이 존재하지 않을 때이다. $X$의 벡터 부분 공간 $M$은 극대이다. 만약 그리고 오직 만약 그것이 $X$에 대한 어떤 비자명 선형 범함수의 핵인 경우에만 그러하다 (즉, $M=\ker f$이며, 여기서 $f$는 항등적으로 0이 아닌 $X$에 대한 선형 범함수이다). $X$의 아핀 초평면은 극대 벡터 부분 공간의 변환이다. 선형성에 의해, $X$의 부분 집합 $H$는 아핀 초평면이다. 만약 그리고 오직 만약 $H=f^{-1}(1)=\{x\in X:f(x)=1\}$인 $X$에 대한 어떤 비자명 선형 범함수 $f$가 존재하는 경우에만 그러하다. $f$가 선형 범함수이고 $s\neq 0$가 스칼라라면 $f^{-1}(s)=s\left(f^{-1}(1)\right)=\left({\frac {1}{s}}f\right)^{-1}(1)$이다. 이 등식은 $f$의 서로 다른 레벨 집합들을 연관시키는 데 사용될 수 있다. 더욱이, $f\neq 0$이라면, $f$의 핵은 아핀 초평면 $H:=f^{-1}(1)$로부터 $\ker f=H-H$로 재구성될 수 있다.

여러 선형 범함수 간의 관계

동일한 핵을 갖는 두 선형 범함수는 비례한다 (즉, 서로의 스칼라 배이다). 이 사실은 다음 정리로 일반화될 수 있다.

정리—$f,g_{1},\ldots ,g_{n}$이 X에 대한 선형 범함수라면, 다음은 동치이다.

1. f는 $g_{1},\ldots ,g_{n}$의 선형 결합으로 쓸 수 있다. 즉, $sf=s_{1}g_{1}+\cdots +s_{n}g_{n}$인 스칼라 $s_{1},\ldots ,s_{n}$이 존재한다.
2. $\bigcap _{i=1}^{n}\ker g_{i}\subseteq \ker f$.
3. 모든 $x\in X$ 및 모든 $i=1,\ldots ,n$에 대해 $|f(x)|\leq rg_{i}(x)$를 만족하는 실수 r이 존재한다.

N을 핵으로 갖는 X에 대한 비자명 선형 범함수 f, $f(x)=1$을 만족하는 $x\in X$, 그리고 U가 X의 균형 부분 집합이라고 하자. 그러면 $N\cap (x+U)=\varnothing$은 모든 $u\in U$에 대해 $|f(u)|<1$인 것과 동치이다.

한-바나흐 정리

 이 부분의 본문은 한-바나흐 정리입니다.

벡터 부분 공간에 대한 모든 (대수적) 선형 범함수는 전체 공간으로 확장될 수 있다. 예를 들어, 위에 설명된 평가 범함수는 $\mathbb {R}$의 모든 다항식 벡터 공간으로 확장될 수 있다. 그러나 이 확장이 항상 선형 범함수를 연속으로 유지하면서 이루어질 수 있는 것은 아니다. 한-바나흐 정리 계열은 이러한 확장이 가능한 조건을 제공한다. 예를 들어,

한-바나흐 지배 확장 정리(Rudin 1991, Th. 3.2)—만약 $p:X\to \mathbb {R}$가 하위선형 함수이고, $f:M\to \mathbb {R}$가 선형 부분 공간 $M\subseteq X$에 대한 선형 범함수이며, M에서 p에 의해 지배된다면, 전체 공간 X로의 f의 선형 확장 $F:X\to \mathbb {R}$가 존재하며, 이는 p에 의해 지배된다. 즉, $$F(m)=f(m)$$ 를 모든 $m\in M$에 대해 만족하고, $$|F(x)|\leq p(x)$$ 를 모든 $x\in X$에 대해 만족하는 선형 범함수 F가 존재한다.

선형 범함수족의 동등 연속성

X가 위상 벡터 공간 (TVS)이고 연속 쌍대 공간 $X'$를 가진다고 하자.

$X'$의 부분집합 H에 대해 다음은 동치이다.

1. H는 동등 연속이다.
2. H는 X에서 $0$의 어떤 근방의 극집합에 포함된다.
3. H의 (사전)극집합은 X에서 $0$의 근방이다.

H가 $X'$의 동등 연속 부분 집합이라면, 다음 집합들도 동등 연속이다. 약한-* 폐포, 균형 폐포, 볼록 폐포, 그리고 볼록 균형 폐포. 또한, 알라오글루 정리는 $X'$의 동등 연속 부분 집합의 약한-* 폐포가 약한-* 콤팩트하다는 것을 의미한다 (따라서 모든 동등 연속 부분 집합은 약한-* 상대 콤팩트하다).

같이 보기

• 비연속 선형 사상
• 국소 볼록 공간
• 양수 선형 범함수
• 다중선형 형식
• 위상 벡터 공간

참고 문헌

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